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1、福建省长汀、连城一中等六校2020 届高三上学期期中联考试题数学（文）第 I 卷（选择题，共60 分）一、选择题(本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。)1.已知集合062xxxA，2xxB，则（）A.3,2 B.3,2 C.2,3 D.2,32.若复数z满足5)21(iz,其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z（）A.i21 Bi21 Ci21 Di213.“在ba,内0)(xf”是“)(xf在ba,内单调递减”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件4.已知在平面直角坐标系xoy中，1,2A，
2、1,mB，若OBOA/，则m（）A.2 B.2 C.21 D.215.设变量yx,满足10202yyxyx，则目标函数yxz2的最小值为（）A2B3C4 D 56.设等差数列na的前n项和为nS，若352aa，则59SS()A.109 B.1815 C.59 D.5187.设5tan,2log,25.05.0cba，则（）A.cab B.cba C.bca D.cab8我们知道：在平面内，点),(00yx到直线0CByAx的距离公式2200BACByAxd，通过类比的方法，可求得：在空间中，点)3,4,2(到直线0222zyx的距离为()A3 B5 C.6 D55189.中国传统扇文化有着极其
3、深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A.)53(B.)15(C.)15(D.)53(10.函数)62sin(2)(xxf的图像为C，以下结论错误的是（）A.图像C关于直线65x对称B.图像C关于点0,127对称C.函数)(xf在区间3,6内是增函数D.由xy2sin2图像向右平移6个单位长度可以得到图像C11 已知直三棱柱111CBAABC中，90ABC，2,11CCBCAB，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A53
4、B53 C54 D5412.已知实数ba,满足0ln42baa，Rc，则22)2()(cbca的最小值为()A553 B59 C55 D51第卷（非选择题90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分,请将正确答案填入答题卷中。）13.已知第一象限的点ba,在直线012yx上，则ba21的最小值为 _.14.数列na中，若21a，nnanna11，则na .15.在ABC中，内角CBA,所对应的边长分别为cba,，且53cosA，2coscosBcCb，则ABC的外接圆面积为_16.已知)(xf是R上的偶函数，且1,13110,3)(xxxxfx，若关于x的方程0)()(2
5、xmfxf有三个不相等的实数根，则m的取值范围 _.三、解答题（本大题共6小题，共70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分12 分）已知函数21sincossin3)(2xxxxf.（1）求函数)(xf的单调递减区间；（2）若2,0 x，求)(xf的取值范围.18.（本小题满分12 分）已知数列na的前n项和为nS，NnSnn,221.（1）求数列na的通项公式；（2）122loglog1nnnaab，记数列nb的前n项和为nT，求证:1nT.19.（本小题满分12 分）已知函数axxexfx2213)(.（1）若函数)(xf的图象在0 x处的切线方程为b
6、xy2，求ba,的值；（2）若函数)(xf在R上是增函数，求实数a的最大值20.（本小题满分12 分）如图，在底面为梯形的四棱锥SABCD中，已知/ADBC，90ASC，2DSDCDA，2SCSA.（1）求证：ACSD；（2）求三棱锥BSAD的体积.21.（本小题满分12 分）已知xaxxxfln1)(,0,aRa且.（1）试讨论函数)(xfy的单调性；（2）若0(0,)x使得(0,)x都有0()()f xf x恒成立，且0()0f x，求满足条件的实数a的取值集合选考题：请考生在第22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分22.（本小题满分10 分）选修4-4：极坐标
7、与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为sincos3yx，其中为参数，(0,).在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为4,22，直线l的极坐标方程为0225)4sin(.（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点.求点M到直线l的距离的最大值.23.（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲设函数xxf)(.（1）设4)2()1(xfxf的解集为A，求集合A；（2）已知m为（1）中集合A中的最大整数，且mcba（其中a，b，c均为正实数），求证：8111ccbbaa.答案一、选择题(本大题共12
8、小题，每小题5 分，共60 分.)1-5 BBABA 6-10 DCCDD 11-12 CB 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.)13、9 14、n2 15、1625 16、3,341,0三、解答题（本大题共6 小题，共70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1）21sincossin3)(2xxxxf1)62sin(2122cos12sin23xxx.3 分由2326222kxk，kZ，得653kxk，kZ.函数()f x的单调递减区间为65,3kk，kZ.6 分（2）由（1）得1)62sin()(xxf,2,0 x，65,662x,8
9、 分1,21)62sin(x，10 分2,21)(xf.即)(xf的取值范围为2,21.12 分18.解：（1）当1n时，222211Sa;1 分当2n时，nnnnnnnnnnSSa222222)22()22(111.5 分又21a满足上式,Nnann,2.6 分(2)由（1）得Nnann,2.111)1(1loglog1122?nnnnaabnnn,8 分11141313121211321nnbbbbTnn111n 11 分又Nn，1111nTn.12 分19.解(1),213)(2axxexfxaxexfx3)(，1 分则.3)0(af由题意知23a，即1a.3 分,213)(2xxexf
10、x，则.3)0(f于是3,023bb.31ba.5 分(2)由题意0)(xf，即03axex恒成立，xeax3恒成立 6 分设xexhx3)(，则13)(xexh.7 分令0)(xh，得3lnx当)3ln,(x时，0)(xh，)(xh为减函数；当),3ln(x时，0)(xh，)(xh为减函数，3ln1)3ln()(minhxh.3ln1a，即a的最大值为3ln1.12 分20.解：（1）设O为AC的中点，连接OS，OD，1分SASC，OSAC，DADC，DOAC，又,OS OD平面SOD，且OSODO，AC平面SOD，又SD平面SOD，ACSD.5 分（2）在ASC中，90ASC，O为AC的中
11、点，ASC为等腰直角三角形，且2AC，1OS，6 分在ACD中，O为AC的中点，ACD为等边三角形,且3OD，7 分在SOD中，222OSODSD，SOD为直角三角形，且90SOD，8 分SOOD又OSAC，且ABCDODABCDACOODAC平面平面,，SO平面ABCD.10 分B SADS BADVV13BADSSO.,3322121ODACSSCADBAD.331331SADBV.12 分21、解：由题意知0 x 1 分（1）0,111)()1()(2222xaxaxxxaaxaxaxaxxf 2 分当0a时，),0(0)(在xf上恒成立,()(0,)f x 在上单调递增.3 分当0a时
12、，由()0fx得1xa，由()0fx得10 xa1()(0,)f xa在上单调递减，在1(,)a上单调递增.4 分综上：当0a时，()(0,)f x 在上单调递增，无递减区间;当0a时，1()(0,)f xa在上单调递减，在1(,)a上单调递增.5 分（2）由题意函数存在最小值0()f x且0()0fx,6分当0a时，由（1）上单调递增且0)1(f,当)1,0(x时0)(xf，不符合条件;7 分当0a时，1()(0,)f xa在上单调递减，在1(,)a上单调递增,aaaff1ln11)1(min，只需0minf即01ln11aa,8 分记0,ln1)(xxxxg则1()1g xx 9 分由1(
13、)10g xx得01x，由()0g x得1x,()(0,1)g x 在上单调递增，(1,)在上单调递减,10 分0)1()(gxg11a即1a.11 分即满足条件a的取值集合为1.12 分22.解：（1）直线的极坐标方程为0225)4sin(，即05cossin.由cosx，siny，可得直线的直角坐标方程为05yx.2 分将曲线C的参数方程sincos3yx消去参数，得曲线C的普通方程为)0(1322yyx.(注：漏0y，扣 1 分)5 分（2）设)sin,cos3(Q(0)，6 分点P的极坐标4,22化为直角坐标为2,2，则)1sin21,1cos23(M.7 分点M到直线的距离23253sin25sin21cos23d.当sin()13，即56时，等号成立.点M到直线的距离的最大值为23.10 分23.解：（1）4)2()1(xfxf，即421xx，1 分当2x时，不等式化为421xx，解得：225x；当12x时，不等式化为421xx，解得：12x；当1x时，不等式化为421xx，解得：231x.综上可知，集合2325xxA.5 分（2）由（1）知1m，则1cba.6 分又a，b，c均为正实数，则abcacbaa210,同理bacbca20,cabcba20,则8222111cabbacabcccbbaa即8111ccbbaa.10 分