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1、第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第1页第21届全国中学生物理竞赛预赛题试卷本卷共九题，满分140分。一、（15分）填空1a原子大小的数量级为_m。b原子核大小的数量级为_m。c氦原子的质量约为_kg。d一个可见光光子的能量的数量级为_J。e在标准状态下，1cm3气体中的分子数约为_。（普朗克常量h6.631034Js 阿伏加德罗常量NA6.021023 mol1）2已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80。试判断下列说法是否正确，并简述理由。a 反射光子数为入射光子数的80；b每个反射光子的能量是入射光子能量的80。二、（15分）质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于
2、倾角30 的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用 t表示 m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。求 ml与m2之比。2004.9.5 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第2页三、（15分）测定电子荷质比（电荷 q与质量m之比qm）的实验装置如图所示。真空玻璃管内，阴极K发出的电子，经阳极A与阴极 K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极
3、板C、D间的区域。若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点。现已知极板的长度 l5.00cm，C、D间的距离 dl.50cm，极板区的中点M到荧光屏中点 O的距离为 L12.50cm，U200V，P点到 O点的距离3.0yOPcm；B6.3 104T。试求电子的荷质比。（不计重力影响）。四、（15分）要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0 到东经 135.0 之间的区域，则卫星应定
4、位在哪个经度范围内的上空？地球半径R06.37106m。地球表面处的重力加速度g 9.80m/s2。第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第3页五、（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R。杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B
5、。现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及 cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径 R1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距 O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n11.56，酒的折射率 n21.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第4页七、（15分）如图所示，B是
6、质量为 mB、半径为 R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为 mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放 A，A、B便开始运动。设A杆的位置用表示，为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与 B速度的大小（表示成的函数）。八、（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0的电阻和 2.0的电阻构成的无穷组合电路相接。求图中10 F的电容器与 E点相接的极板上的电荷量。第 21 届全
7、国中学生物理竞赛预赛试题第5页九、（18分）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮 D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘 A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码 1（两者未粘连）。已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为 l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接
8、触经历的时间。第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第6页第 21 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答一、1a1010b1015c6.61027d 1019e 2.710192a正确，b 不正确理由：反射时光频率不变，这表明每个光子能量h 不变评分标准：本题 15 分第 1 问 10 分，每一空2 分第 2 问 5 分，其中结论占2 分，理由占3 分二、第一次，小物块受力情况如图所示，设T1为绳中张力，a1为两物块加速度的大小，l 为斜面长，则有1111amTgm(1)1221sinamgmT(2)2121tal(3)第二次，m1与 m2交换位置设绳中张力为T2，两物块加速度的大小为a2，则有2
9、222amTgm(4)2112sinamgmT(5)22321tal(6)由(1)、(2)式注意到=30得gmmmma2121122(7)由(4)、(5)式注意到=30得gmmmma2112222(8)由(3)、(6)式得921aa(9)由(7)、(8)、(9)式可解得191121mm(10)评分标准本题 15 分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各 2 分，求得（10）式再给3 分m1gm2N1 T1 T1 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第7页三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为 l 的极板区域所需的时间01
10、vlt(1)当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE 方向垂直于极板由C指向 D，电子的加速度mqEa(2)而dUE(3)因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t1内垂直于极板方向的位移21121aty(4)电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度1atyv(5)设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P 点所需时间为t2022vlLt(6)在 t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移22tyyv(7)P 点离开 O 点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移21yyy(8)由以上各式得电子的荷质比为yUlLdmq20v(9)加上磁场
11、B 后，荧光屏上的光点重新回到O 点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即BqqE0v(10)注意到(3)式，可得电子射入平行板电容器的速度BdU0v(11)代入(9)式得ylLdBUmq2(12)第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第8页代入有关数据求得C/kg106.111mq(13)评分标准本题 15 分（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各 1 分，（10）式 3 分，（12）、（13）式各 2分四、如图所示，圆为地球赤道，S为卫星所在处，用R 表示卫星运动轨道的半径由万有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期T（亦即地球自转周期）可
12、得222TmRRMmG(1)式中 M 为地球质量，G 为引力常量，m 为卫星质量另有gRGM20(2)由图可知0cosRR(3)由以上各式，可解得312024arccosgTR(4)取 T=23 小时 56 分 4 秒（或近似取T=24 小时），代入数值，可得3.81（5）由此可知，卫星的定位范围在东经7.533.810.135到3.1563.810.75之间的上空评分标准本题 15 分（1）、（2）、（3）式各 2 分，(4)、(5)式共 2 分，得出最后结论再给7 分五、用 E 和 I 分别表示abdc 回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知12vvBlE(
13、1)RI2E(2)令 F 表示磁场对每根杆的安培力的大小，则IBlF(3)令 a1和 a2分别表示ab 杆、cd 杆和物体M 加速度的大小，T 表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知1maF(4)2maTMg(5)2maFT(6)RR0O S 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第9页由以上各式解得RmlBa212221vv(7)RmMlBMgRa2212222vv(8)评分标准本题 15 分（1）式 3 分，（2）式 2分，（3）式 3 分，（4）、（5）、（6）式各 1 分，（7）、(8)式各 2 分六、把酒杯放平，分析成像问题1未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和 n01在图
14、 1 中，P 为画片中心，由P 发出经过球心 C 的光线 PO 经过顶点不变方向进入空气中；由 P发出的与 PO 成角的另一光线PA 在 A 处折射设A 处入射角为i，折射角为r，半径 CA 与 PO 的夹角为，由折射定律和几何关系可得rninsinsin01i2在 P AC 中，由正弦定理，有iPCRsinsin3考虑近轴光线成像，、i、r 都是小角度，则有innr01(4)iPCR(5)由(2)、(4)、(5)式、n0、n1、R 的数值及cmCOPOPC8.4，可得i31.16ir56.1由 6、式有r由上式及图1 可知，折射线将与PO 延长线相交于P，P即为 P 点的实像画面将成实像于P
15、处在 CA P中，由正弦定理有rPCRsinsin(9)又有r考虑到是近轴光线，由9)、式可得RrrPC(11)O i C A P r P?n1n0=1 图 1 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第10页又有RPCPO(12)由以上各式并代入数据，可得cmPO9.7(13)由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O 点 7.9cm 处 已知 O 到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物2斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和 n2，如图 2 所示，考虑到近轴光线有innr21(14)代入 n1和 n2
16、的值，可得ir16.115与式比较，可知r16由上式及图2 可知，折射线将与OP 延长线相交于P，P即为 P 点的虚像画面将成虚像于P处计算可得RrrPC(17)又有RPCPO(18)由以上各式并代入数据得PO13cm（19）由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距 O 点 13cm即距杯口21cm虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像评分标准:本题 15 分求得（13）式给 5 分，说明“看不出”再给2 分；求出（19）式，给5 分，说明“看到”再给 3 分七、由题设条件知，若从地面参考系观测
17、，则任何时刻，A 沿竖直方向运动，设其速度为vA，B 沿水平方向运动，设其速度为vB若以 B 为参考系，从B观测，则A 杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R 的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示由图得AVvsinA(1)BAcosvV(2)C i r A 图 2 P OP?n1n2O R vBvAVA A B 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第11页因而cotABvv(3)由能量守恒2BB2AAA2121cosvvmmgRm(4)由(3)、(4)两式及AB2mm得2
18、Acos1cos2singRv(5)2Bcos1cos2cosgRv(6)评分标准：本题（15）分（1）、（2）式各 3 分，（4）式 5 分，（5）、（6）两式各2分八、设 B、C 右方无穷组合电路的等效电阻为BCR，则题图中通有电流的电路可以简化为图1 中的电路 B、C 右方的电路又可简化为图2 的电路，其中CBR是虚线右方电路的等效电阻由于B、C右方的电路与B、C 右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有CBBCRR(1)由电阻串、并联公式可得CBCBBCRRR221(2)由式(1)、(2)两式得022BCBCRR解得0.2BCR(3)图 1 所示回路中的电流为AAI10.0218
19、3010241020(4)电流沿顺时针方向。设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和 C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和 Q3，极性如图 3 所示由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即0231QQQ(5)A、E 两点间的电势差3311CQCQUUEA(6)2Q10V 18Q24V 20V 10QCC2B A C D C3E 30图 3 20V 301024V 1810V BCRB C BCCBR1.02.0B C 图 1 图 2 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第12页又有VVUUEA0.710.03010（7）B、E 两点间的电势差3322CQCQUUE
20、B（8）又有V26V10.02024EBUU（9）根据(5)、(6)、(7)、(8)、(9)式并代入C1、C2和 C3之值后可得C103.143Q（10）即电容器 C3与 E 点相接的极板带负电，电荷量为C103.14评分标准：本题 17 分求得（3）式给 3 分，（4）式 1 分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式各 2 分，指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1 分九、设从烧断线到砝码1 与弹簧分离经历的时间为t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图1 所示：图中，F 表示t 时间内任意时刻弹簧的弹力，T 表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg 为重力，T0为悬挂
21、托盘的绳的拉力因D 的质量忽略不计，有TT20(1)在时间t 内任一时刻，砝码1 向上运动，托盘向下运动，砝码2、3 则向上升起，但砝码2、3 与托盘速度的大小是相同的设在砝码1 与弹簧分离的时刻，砝码1 的速度大小为v1，砝码 2、3 与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有1vmIImgF(2)2vmIImgT(3)2vmIImgT(4)20vmIIITmgF(5)式中 IF、Img、IT、0TI分别代表力F、mg、T、T0在t 时间内冲量的大小。注意到式(1)，有TTII20(6)由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得1231vv(7)在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1 一起向
22、上运动，下端与托盘一起向下运动以l1表示在t图 1 F mg 1 T mg 2 T mg 3 F T0mg 第 21 届全国中学生物理竞赛预赛试题第13页时间内弹簧上端向上运动的距离，l2表示其下端向下运动的距离由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1 的速度的1/3，故有1231ll(8)另有021lll(9)在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有22122212022132121lmglmglmgmmklvv(10)由(7)、(8)、(9)、(10)式得020212123mglklmv(11)砝码 1 与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升
23、到最大高度经历时间为t1，有11gtv(12)砝码 2、3 和托盘的受力情况如图2 所示，以a表示加速度的大小，有maTmg(13)maTmg(14)mamgT0(15)TT20（16）由(14)、(15)和(16)式得ga31(17)托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有22atv(18)由(7)、(12)、(17)和(18)式，得gtt121v(19)即砝码 1 自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇题中要求的时间12tt总(20)由(11)、(12)、(20)式得02021232mglklmgt总(21)评分标准：本题 18 分.求得（7）式给 5 分，求得（11）式给 5 分，（17）、（19）、（20）、（21）式各 2 分T mg 2 T mg 3 T0mg 图 2