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1、宁夏银川市第二中学2020 届高三上学期12 月月考试题数学（理）一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2log,04Ay yxx，集合1xBx e，则AB等于A.,2B.(0,)C.(,0)D.R【答案】D【解析】2|log,042Ay yxx，|10 xBx e，,ABR故选 D 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2
2、.设复数z满足12zi(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是（）A.2zB.复数 z的虚部是iC.1ziD.复数 z在复平面内所对应的点在第一象限【答案】D【解析】分析：先求出1 iz，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可.详解：2 1i21i1i1i1iz22112z，复数z 的虚部是1，1zi，复数 z 在复平面内所对应的点为1,1，显然在第一象限.故选 D 点睛：本题考查复数的除法运算，求模长，定虚部，写共轭，及几何意义，属于基础题.3.在等差数列 an 中，若 a3 5，a5 9，则 a7()A.12 B.13 C.12 D.13【答案】B【解析】设公差为d，则 2
3、da5a3 95 4，则d 2，故a7a34d 54(2)13，故选 B.4.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5 斗栗.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1 斗为 10 升，则下列判断正确的是()A.a，b，c依次成公比为2 的等比数列，且507aB.a，b，c依次成公比为2 的等
4、比数列，且507cC.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且507aD.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且507c【答案】D【解析】由条件知a，b，c依次成公比为12的等比数列，三者之和为50 升，根据等比数列的前n项和，即502450.7cccc故答案为D.5.函数()sin(2)f xx的图象向右平移6个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）A.6B.3C.4D.23【答案】B【解析】【分析】求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即00g，求出，比较可得.【详解】函数sin 2fxx的图象向右平移6个单位后得到sin 2sin 2x63g xx.此函数图象
5、关于原点对称，所以0sin03g.所以k,kZ3.当k0时，3故选 B.【点睛】由sinyx的图象，利用图象变换作函数sin(0,0)yAxA的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位.6.在公比为2 的等比数列 an中，前n项和为Sn，且S72S61，则a1+a5（）A.5 B.9 C.17 D.33【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质找到76,SS的关系计算即可得出首项与公比,再求15aa即可.【详解】由等比数列前n项和的性质11nnSa
6、qS可知,当6n时7162SaS,又7621SS,得11a,故4151 1 217aa.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列前n项和的性质11nnSaqS,属于中等题型.7.ABC中A为其内角，设3,sin2aA，1cos,3bA，且/ab，则sincosAA（）A.22B.2C.2D.2【答案】B【解析】分析：直接利用向量的共线的充要条件，列出方程，解出A值，代入sincos245AAsin A即可.详解：a=（32，sinA），b=（cosA，13）且ab，sinAcosA=3123=12，sin2A=1，a是锐角，所以2A=90，A=45sincos2452902AAsin Asin.故
7、选 B 点睛：本题考查向量共线的充要条件的应用，三角函数的化简求值，属于基础题8.设,x y满足24,1,22.xyxyxy则zxyA.有最小值7，最大值3B.有最大值3，无最小值C.有最小值2，无最大值D.有最小值7，无最大值【答案】C【解析】x，y满足的平面区域如图：当直线y=x+z经过A时z最小，经过 B时 z 最大，由242=2xyxy得到A（2，0）所以 z 的最小值为2+0=2，由于区域是开放型的，所以 z 无最大值；故选 C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时
8、，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.已知等差数列an 中，Sn是它的前n项和，若S160，且S170，则当Sn取最大值时的n值为（）A.7 B.8 C.9 D.16【答案】B【解析】【分析】利用等差数列前n项和的性质进行求解即可.【详解】由116168916()08()02aaSaa,即890aa.又179901700Saa.故890,0aa.故等差数列na是首项为正数,公差为负数的等差数列.故当8n时0na,当9n时0na.故当nS取最大值时8n.故选：B【点睛】本题主要考查首项为正,公差为负的
9、等差数列的性质,属于中等题型.10.各项均为正数的等比数列na的前n项和nS，若264a a，31a，则29()42nnSa的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等比中项得出2444,2aa，然后求得公比2,q首项114a，再利用公式求得nS，通项na代入用基本不等式求最值.【详解】因为264a a，且等比数列na各项均为正数，所以2444,2aa公比432,aqa首项114a所以1(1)2114nnnaqSq，通项11124nnnaa q所以29()2162164424824242nnnnnnSa当且仅当216,342nnn所以当3n时，2942
10、nnSa的最小值为8 故选 C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.11.已知O是等边ABC的外接圆，其半径为4，M是ABC所在平面内的动点，且1OM，则2MAMBMC的最大值为()A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，表示所求式子，计算最值，即可【详解】结合题意，绘制图形，可知,MAOAOMMBOBOM MCOCOM，4,1OCOM代入得到2224MAMBMCOAOMOBOMOCOMOCOM故222816328MAMBMC
11、OCOC OMOMOM OC而cos4cosOMOCOMOC故要计算最大值，可知当cos1的时候，取到最大值，故最大值为648，故选 C【点睛】考查了平面向量基本定理，关键表示出所求式子，难度偏难12.已知函数lnxfxx，关于x的不等式20?fxafx有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是A.52)52lnln，B.53)53lnln，C.52(52lnln，D.53(53lnln，【答案】A【解析】【详解】对函数求导可得21lnxfxx，令0fx，解得0 xe，令0fx，解得xe，所 以fx的 递 增 区 间 为0,e，递 减 区 间 为,e，故fx的 最 大 值1f ee，x时0,0f
12、xx时，故在0,1时，0fx，在1,时，0fx，所以0a时，由不等式20fxafx得0fx或fxa，而0fx或fxa，而0fx的解集为1,，整 数 解 有 无 数 多 个，不 合 题 意；0a时，由 不 等 式20fxafx，得0fx，解 集 为0,11,，整 数 解 有 无 数 多 个，不 合 题 意；0a时，由 不 等 式20fxafx得0fxafx或，所以0fx的解集为0,1无整数解若不等式20fxafx有且只有三个整数解，fx在0,e递增，有,e递减，而23e，24ff，所以三个正整数为2,3,4，而ln 242f，综上，实数a的取值范围是ln 5 ln 2,)52故本题答案选A13.
13、已知向量,a b的夹角为60，1,3ab，则5ab【答案】19【解析】试题分析：由题设,所以5ab.考点：向量的数量积公式及模的运算14.已知命题p：2,20 xR xxm，命题q：幂函数113()mf xx在0,是减函数，若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则实数m的取值范围是_【答案】,12,3【解析】【分析】化简命题p可得1m，化简命题q可得23m，由pq为真命题，pq为假命题，可得,p q一真一假，分两种情况讨论，对于p真q假以及p假q真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m的取值范围.【详解】对命题p，因为2,20 xR xxm，所以440m，解得1m；命题q，因
14、为幂函数113mfxx在0,是减函数，所以1103m，解得23m；因为“pq”为真命题，“pq”为假命题，所以pq、一真一假，若p真q假，可得1m且3m或2m，解得1m；若p假q真，可得1m，且23m，解得23m；实数m的取值范围是,12,3，故答案为,12,3.【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.15.数列 an满足a11，an+1 2an+1，（nN*），则数列 an 的前n项和Sn_【
15、答案】2n+12n【解析】【分析】根据递推公式构造等比数列1na,进而求得na的通项公式再进行求和即可.【详解】121nnaa,即1121nnaa,可得数列1na为首项为2,公比为 2 的等比数列,可得12nna,即21nna,所以数列na的前n项和12(22.2)nnSn12 1 2221 2nnnn.故答案为：122nn【点睛】本题主要考查了根据递推公式构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和与等比数列求和公式,属于中等题型.16.fx是R上可导的奇函数，fx是fx的导函数已知0 x时fxfx，1fe，则不等式2ln120ln1xxfxxe的解集为 _【答案】210,2ee【解析】【
16、分析】构造函数g x，判定单调性，建立关于x 的不等式，计算结果，即可【详解】构造新函数xfxg xe，则xfxfxgxe，结合当0 x时，fxfx可知，g x在0 x时递增的.则00100,11ffggee.由2ln120ln1xxfxxe，得22ln1ln101xxfxxe，令2ln1txx，即01gg tg所以01t，得到211exx，解得210,2exe【点睛】考查了利用导函数判定原函数单调性，考查了构造函数的思想，难度偏难三解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（一）必考题：共60 分17.己知数列na的前n项和为nS，且3122nnSa（1）求数列na的通项公式
17、；（2）设32log1nnba，求数列11nnb b的前n项和nT【答案】（1）13nna；（2）21nn【解析】【分析】（1）运用1nnnaSS，证明数列na是等比数列，计算通项，即可（2）将通项na代入，得到nb的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可【详解】（1）数列na的前n项和为nS，且31.22nnSa当1n时，113122aa，解得：11a当2n时，113122nnSa，得：1132nnnnnaSSaa，整理得：13nnaa，即：13(nnaa常数)，所以：数列na是以11a，3为公比的等比数列，则：111 33(nnna首项符合)，故：13nna（2）由于13nna，所以32lo
18、g121nnban，所以：111111212122121nnb bnnnn，则：111111123352121nTnn，111221n，21nn【点睛】考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等18.设函数fxa b，其中2sin,cos24axx，sin,34bx，xR1求fx的最小正周期和对称轴；2若关于x的方程2fxm在,42x上有解，求实数m的取值范围【答案】（1）最小正周期T，对称轴为：5122kx，kZ；（2）0,1.【解析】【分析】1用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；2将方程有解转化为求函数的值
19、域，然后用正弦函数的性质解决【详解】212sinsin3cos22sin3cos21cos 23cos2sin23cos214444fxa bxxxxxxxxx2sin213x，最小正周期T，由232xk，得5122kx，kZ，所以fx的对称轴为：5122kx，kZ，2因为2fxm可化为2sin 213mx在,42x上有解，等价于求函数2sin 213yx的值域，,42x，22,363x，1sin2,132x0,1y故实数m的取值范围是0,1【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.考查了正弦函数的图像和性质，属基础题19.在数列na中，1112,2nnnaaannN(1)证明：数列na
20、n是等比数列，并求数列na的通项公式；(2)设4nnnabna，若数列nb的前n项和是nT，求证：2nT.【答案】（1）证明见解析；42nnna.（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由题设得1112nnaann，又121a，所以数列nan是首项为2，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式求出121222nnnan，即可求出na.（2）由(1)知412442142nnnnnnnabnnan，根据放缩法得112nnb，再由等比数列的求和公式即可证出.【详解】证明：(1)由题设得1112nnaann，又121a，所以数列nan是首项为2，公比为12的等比数列，所以121222nnnan，24
21、22nnnnan.(2)由(1)知412442142nnnnnnnabnnan，因为对任意1,212nnnN恒成立，所以112nnb.所以2311111112(1)222222nnnT.【点睛】本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式以及放缩法证明不等式，综合性比较强，不仅要熟记公式，更要灵活运用知识点.20.江心洲有一块如图所示的江边，OA，OB为岸边，岸边形成120角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边OB上取两点,P Q，用长度为1km的围网依托岸边线PQ围成三角形MPQ（MP，MQ两边为围网）；方案 2：在岸边OA，OB上分别取点,E F，用长
22、度为1km的围网EF依托岸边围成三角形EOF.请分别计算MPQ，EOF面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP，EOF面积的最大值分别为218km，2312km.其中方案2好.【解析】【分析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ和EOF面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好.【详解】方案1：设MPxkm，MQykm由已知“用长度为1km的围网，MP，MQ两边为围网”得,0,1x y且1xy2211111sinsin12222228MPQxySxyPMQ当且仅当12xy且2PMQ时，等号成立MPQ面积的最大值为218km方案2：设O
23、Eakm，OFbkm在EOF中，由余弦定理得：2222cosEFOEOFOE OFEOF即222212cos3aba b22123aba bababab（当且仅当33ab时等号成立）121133sin2323212EOFSab（当且仅当33ab时等号成立）EOF面积的最大值为2312km31128方案2好【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.21.已知函数212fxxlnxmxx mR（1）若函数f（x）在（0，+）上是减函数，其实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在（0，+）上存在两个极值点x1，x2，证明：lnx1+l
24、nx22【答案】（1）1me（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由题知()0fx在0,上恒成立.参变分离求实数m的取值范围即可.(2)求导代入极值点分析12,x x满足的关系式,再代换m构造出关于12,x x的方程,再换元证明不等式即可.【详解】（1）由函数f（x）在（0,+）上是减函数,可知,f（x）lnxmx0 恒成立,mlnxx恒成立,故m()lnxxmax,令g（x）lnxx,x0,则g（x）21lnxx,当x（0,e）,g（x）21lnxx0,g（x）单调递增,当x（e,+）,则g（x）21lnxx0,g（x）单调递减,g（x）maxg（e）1e1me（2）由（1）f（x）lnxm
25、x,由f（x）在（0,+）上存在两个极值点,不妨设x1x2,知112200lnxmxlnxmx,则m12121212lnxlnxlnxlnxxxxx,又m1212lnxlnxxx,12121212lnxlnxlnxlnxxxxx,即lnx1+lnx211221211122211xxlnxxxxxlnxxxxx,设t12xx（0,1）,要证明：lnx1+lnx22,只要证121tlntt,只要证lnt211tt,即证lnt211tt0,构造函数h（t）lnt211tt,h（t）22214(1)(1)(1)tttt t0,h（t）在（0,1）上单调递增,h（t）h（1）0,即h（t）lnt211t
26、t0,lnx1+lnx2 2【点睛】本题主要考查根据函数的单调性求参数的范围问题,同时也考查了双极值点不等式问题,需要消参构造函数证明不等式,属于难题.（二）选考题：共10 分，请在第22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3242xcosysin，（为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），M是曲线C上任意一点，求ABM面积的最小值【答案】（1）26cos8sin+210（2）922【解析】【分析】(1)先将3242xcosy
27、sin化简成直角坐标方程,再利用xcosysin与222xy化简即可.(2)由ABM为以AB为底,M到AB的距离为高可知要求ABM面积的最小值即求M到AB的距离最大值.再设(32,42)Mcossin求解最值即可.【详解】（1）曲线C的参数方程为3242xcosysin,（为参数）,有3242xcosysin.上下平方相加得曲线C的直角坐标方程为22(3)(4)4xy,化简得2268210 xyxy将xcosysin与222xy,代入得曲线C的直角坐标方程有：26cos8sin210（2）设点(32,42)Mcossin到直线AB：x+y+2 0 的距离为d,则2 29229422sinsin
28、cosd,当 sin（4）1 时,d有最小值92 22,所以ABM面积的最小值S12ABd922【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标系的互化,同时与考查了圆上的点到直线距离最值的问题,属于中等题型.23.已知函数f（x）|2x1|a（1）当a 1 时，解不等式f（x）x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）12f（x+1），求实数a的取值范围【答案】（1）x|x3 或x13 （2）（2，+）【解析】【分析】(1)分12x与12x两种情况求解()1f xx即可.(2)代入()21f xxa到不等式1()(1)2f xf x中,再根据能成立问题,分x的不同取值去绝对值,参变分离求函数最
29、值即可.【详解】解（1）当a1 时,由f（x）x,得|2x1|1x+1当x12时,2x11x+1,解得x3当x12时,1 2x1x+1,解得x13 综上可知,不等式f（x）x+1 的解集为 x|x3 或x13（2）因为1()(1)2f xf x,得1212122axax.即2 2121axx.令()2 2121g xxx,则存在实数x,使得1()(1)2f xf x成立等价于min()ag x.因为123,211()61,22123,2xxg xxxxx,故当12x时,min1()()22g xg故2a.即实数a的取值范围为2,【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法,包括分情况讨论与利用三角不等式进行求解分析,属于中等题型.