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1、第 1 页 共 27 页2020 年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）1（3 分）4 的倒数为()A14B2C1D42（3 分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()ABCD3（3 分）如图，已知/ABDE，130，235，则BCE的度数为()A70B65C35D54（3 分）下列计算正确的是()A222()ababB246aaaC1052aaaD235aaa5（3 分）下列说法正确的是()A明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C了解一批花炮的燃放质量，应采用
2、抽样调查方式D一组数据的众数一定只有一个6（3 分）一个圆锥的底面半径10r，高20h，则这个圆锥的侧面积是()A100 3B200 3C100 5D200 57（3 分）二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示，下列结论：240bac；0abc；40ab；420abc第 2 页 共 27 页其中正确结论的个数是()A4B3C2D18（3 分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋 2020 次移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1 个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2 个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020 次移动中，跳棋不可
3、能停留的顶点是()AC、EBE、FCG、C、EDE、C、F二、填空题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）9（3 分）分解因式：24xyx10（3 分）若代数式226x在实数范围内有意义，则x的取值范围是11（3 分）计算：9182212（3 分）如图，若反比例函数(0)kyxx的图象经过点A，ABx轴于B，且AOB的面积为 6，则k13（3 分）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间(x 小时）3.5x3.55x56.5x6.5x第 3 页 共 27 页人数12864若该校共有1200 名学生，试估计
4、全校每周课外阅读时间在5 小时以上的学生人数为14（3 分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5 只李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只已知李红家原有库存15 只，出门10 次购买后，家里现有口罩35 只请问李红出门没有买到口罩的次数是次15（3 分）如图 1，已知四边形ABCD是正方形，将DAE，DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点），若4GF，6EG，则DG的长为16（3 分）阅读理解：对于32(1)xnxn这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：3232222(1)()()
5、()()()()(1)xnxnxn xxnx xnxnx xn xnxnxnxnx理 解 运 用：如 果32(1)0 xnxn，那 么2()(1)0 xn xnx，即 有0 xn或210 xnx，因此，方程0 xn和210 xnx的所有解就是方程32(1)0 xnxn的解解决问题：求方程3520 xx的解为三、（本大题2 个小题，每小题5 分，满分10 分）17（5 分）计算：0112()44tan 45318（5 分）解不等式组2142311323xxxx四、（本大题2 个小题，每小题6 分，满分12 分）19（6 分）先化简，再选一个合适的数代入求值：2799(1)xxxxx20（6 分）
6、第 5 代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G第 4 页 共 27 页下载速度的15 倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600 兆的公益片，小明比小强所用的时间快140 秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2 个小题，每小题7 分，满分14 分）21（7 分）已知一次函数(0)ykxb k的图象经过(3,18)A和(2,8)B两点（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数(0)ykxb k的图象与反比例函数(0)mymx的图象只有一个交点，求交点坐标22（7 分）如图1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2 是其示意图汽车的车厢采用液压机
7、构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5，卸货时，车厢与水平线AD成60，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45，若2AC米，求BC的长度（结果保留一位小数）（参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14，sin700.94，cos700.34，tan702.75，21.41)六、（本大题2 个小题，每小题8 分，满分16 分）23（8 分）今年24月某市出现了200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗图1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计
8、图请回答下列问题（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的第 5 页 共 27 页概率24（8 分）如图，已知AB是O的直径，C是O上的一点，D是AB上的一点，DEAB于D，DE交BC于F，且EFEC（1）求证：EC是O的切线；（2）若4BD，8BC，圆的半径5OB，求切线EC的长七、（本大题2 个小题，每小题10 分，满分 20 分）25（10 分）如图，已知抛物线2y
9、ax过点9(3,)4A（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，3(2M，0)且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：2MCMA MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标26（10 分）已知D是Rt ABC斜边AB的中点，90ACB，30ABC，过点D作第 6 页 共 27 页Rt DEF使90DEF，30DFE，连接CE并延长CE到P，使EPCE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N（1）如图 1，当D，B，F共线时，求证：EBEP；30EFP；（2）如图 2，当D，
10、B，F不共线时，连接BF，求证：30BFDEFP第 7 页 共 27 页2020 年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）1（3 分）4 的倒数为()A14B2C1D4【分析】根据倒数的意义，乘积是1 的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答【解答】解：4 的倒数为14故选：A【点评】本题主要考查倒数的意义解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置2（3 分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()ABCD【分析】根据轴对称
11、图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分完全重合3（3 分）如图，已知/ABDE，130，235，则BCE的度数为()第 8 页 共 27 页A70B65C35D5【分析】根据平行线的性质和130，235，
12、可以得到BCE的度数，本题得以解决【解答】解：作/CFAB，/ABDE，/CFDE，/ABDEDE，1BCF，2FCE，130，235，30BCF，35FCE，65BCE，故选：B【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答4（3 分）下列计算正确的是()A222()ababB246aaaC1052aaaD235aaa【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、2222()aabbab，原计算错误，故此选项不符合题意；B、2a 与4a 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、1055aaa，
13、原计算错误，故此选项不符合题意；D、235aaa，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键5（3 分）下列说法正确的是()A明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨第 9 页 共 27 页B抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是12，故本选
14、项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率6（3 分）一个圆锥的底面半径10r，高20h，则这个圆锥的侧面积是()A100 3B200 3C100 5D200 5【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积【解答】解：这个圆锥的母线长22102010 5，这个圆锥的侧面积1210 10 5100 52故选：C【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这
15、个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长7（3 分）二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示，下列结论：240bac；0abc；40ab；420abc其中正确结论的个数是()A4B3C2D1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论，利用抛物线的对称轴为2x，判断第 10 页 共 27 页出结论，先由抛物线的开口方向判断出0a，进而判断出0b，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出0c，判断出结论，最后用2x时，抛物线在x轴下方，判断出结论，即可得出结论【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，方程20axbxc有两个不相等的实数根，240bac，故 正确，由图象知，
16、抛物线的对称轴直线为2x，22ba，40ab，故 正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a，40ab，0b，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，0c，0abc，故 正确，由图象知，当2x时，0y，420abc，故 错误，即正确的结论有3 个，故选：B【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键8（3 分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋 2020 次移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1 个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2 个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2
17、020 次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()AC、EBE、FCG、C、EDE、C、F第 11 页 共 27 页【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6 格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1123(1)2kk k，然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6 格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1123(1)2kk k，应停在第1(1)72k kp格，这时P是整数，且使10(1)762k kp，分别取1k，
18、2，3，4，5，6，7 时，1(1)712k kp，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5 格没有停棋，若72020k，设7(1kt t，2，3)代入可得，11(1)77(1)22k kpmt t，由此可知，停棋的情形与kt时相同，故第 2，4，5 格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到故选：D【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解二、填空题（本大题8 个小题，每小题3 分，满分24 分）9（3 分）分解因式：24xyx(2)(2)x yy【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式2(4)(2)(2)x
19、 yx yy，故答案为：(2)(2)x yy【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键10（3 分）若代数式226x在实数范围内有意义，则x的取值范围是3x【分析】根据二次根式有意义的条件可得260 x，再解即可【解答】解：由题意得：260 x，解得：3x，故答案为：3x第 12 页 共 27 页【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数分式分母不为零11（3 分）计算：918223 2【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案【解答】解：原式3 222 2223 2故答案为：3 2【点评】此题主要考查了二次
20、根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键12（3 分）如图，若反比例函数(0)kyxx的图象经过点A，ABx轴于B，且AOB的面积为 6，则k12【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题【解答】解：ABOB，|62AOBkS，12k，反比例函数的图象在二四象限，0k，12k，故答案为12【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13（3 分）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间(x 小时）3.5x3.55x56.5x6.5x第 13 页 共 27 页
21、人数12864若该校共有1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5 小时以上的学生人数为400人【分析】用总人数每周课外阅读时间在5 小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论【解答】解：64120040012864（人)，答：估计全校每周课外阅读时间在5 小时以上的学生人数为400 人【点评】本题考查了频数（率)分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键14（3 分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5 只李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只已知李红家原有库存15 只，出门10 次购买后，家里现有口罩35
22、 只请问李红出门没有买到口罩的次数是4次【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10 次和家里现有口罩35 只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：10151 10535xyy，整理得：10530 xyy，解得：46xy故答案为：4【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大15（3 分）如图 1，已知四边形ABCD是正方形，将DAE，DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点），若4GF，6EG，则DG的
23、长为12第 14 页 共 27 页【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DGDADCx，4GF，6EG，6AEEG，4CFGF，6BEx，6BFx，6410EF，如图 1 所示：在Rt BEF中，由勾股定理得：222BEBFEF，222(6)(4)10 xx，221236816100 xxxx，210240 xx，(2)(12)0 xx，12x（舍)，212x12DG故答案为：12【点评】本题主要考查了翻折变换
24、、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键第 15 页 共 27 页16（3 分）阅读理解：对于32(1)xnxn这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：3232222(1)()()()()()()(1)xnxnxn xxnx xnxnx xn xnxnxnxnx理 解 运 用：如 果32(1)0 xnxn，那 么2()(1)0 xn xnx，即 有0 xn或210 xnx，因此，方程0 xn和210 xnx的所有解就是方程32(1)0 xnxn的解解决问题：求方程3520 xx的解为2x或12x或12x【分析】将原方程左边变形为3420 xxx，再进
25、一步因式分解得(2)(2)10 xx x，据此得到两个关于x的方程求解可得【解答】解：3520 xx，3420 xxx，2(4)(2)0 x xx，(2)(2)(2)0 x xxx，则(2)(2)10 xx x，即2(2)(21)0 xxx，20 x或2210 xx，解得2x或12x，故答案为：2x或12x或12x【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入三、（本大题2 个小题，每小题5 分，满分10 分）17（5 分）计算：0112()44t
26、an 453【分析】先计算02、4、11()3、tan45，再按运算顺序求值即可【解答】解：原式132411643第 16 页 共 27 页【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键18（5 分）解不等式组2142311323xxxx【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集【解答】解：2142311323xxxx，由 得：5x，由 得：1x，不等式组的解集为：15x【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小
27、小大中间找；大大小小找不到四、（本大题2 个小题，每小题6 分，满分12 分）19（6 分）先化简，再选一个合适的数代入求值：2799(1)xxxxx【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：2799(1)xxxxx(1)(79)(3)(3)x xxxxxx279(3)(3)xxxxx2(3)(3)(3)xxx33xx，当2x时，原式231235【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法20（6 分）第 5 代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的1
28、5 倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600 兆的公益片，小明比小强所用的时间快140 秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？第 17 页 共 27 页【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载 600 兆所用时间5G下载 600 兆所用时间140秒然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：60060014015xx，解得：4x，经检验：4x是原分式方程的解，且符合题意，15 460，答：该地4G的下载速度是每秒4 兆，则该地
29、5G的下载速度是每秒60 兆【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程五、（本大题2 个小题，每小题7 分，满分14 分）21（7 分）已知一次函数(0)ykxb k的图象经过(3,18)A和(2,8)B两点（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数(0)ykxb k的图象与反比例函数(0)mymx的图象只有一个交点，求交点坐标【分析】（1）直接把(3,18)，(2,8)代入一次函数ykxb 中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到0，解方程即可
30、得到结论【解答】解：（1）把(3,18)，(2,8)代入一次函数(0)ykxb k，得31828kbkb，解得2,12kb，一次函数的解析式为212yx；（2）一次函数(0)ykxb k的图象与反比例函数(0)mymx的图象只有一个交点，第 18 页 共 27 页212yxmyx只有一组解，即22120 xxm有两个相等的实数根，21242()0m，18m把18m代入求得该方程的解为：3x，把3x代入212yx得：6y，即所求的交点坐标为(3,6)【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法
31、是解题的关键22（7 分）如图1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2 是其示意图汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5，卸货时，车厢与水平线AD成60，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45，若2AC米，求BC的长度（结果保留一位小数）（参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14，sin700.94，cos700.34，tan702.75，21.41)【分析】直接过点C作CFAB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长【解答】方法一：解：如图1，过点C作CFAB于点F，在Rt ACF中，
32、sinsin(605)sin65CFCABAC，sin6520.911.82CFAC，在Rt BCF中，第 19 页 共 27 页45ABC，CFBF，21.41 1.822.56622.6BCCF，答：所求BC的长度约为2.6 米方法二：解：如图2，过点A作AEBC于点E，在Rt ACE中，180654570C，coscos70CECAC，即cos7020.340.68CEAC，sinsin70AECAC，即sin7020.941.88AEAC，又在Rt AEB中，45ABC，AEBE，0.68 1.882.562.6BCBECE，答：所求BC的长度约为2.6 米【点评】此题主要考查了解直角
33、三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键六、（本大题2 个小题，每小题8 分，满分16 分）23（8 分）今年24月某市出现了200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗图1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），第 20 页 共 27 页图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图请回答下列问题（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B
34、、D两位患者的概率【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）轻症患者的人数200 80%160（人)；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数200(180%15%)10100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用1.5 1603(200 15%)1002.15200（万元）；（4）列表得：ABCDEA(,)B A(,)C A(
35、,)D A(,)E AB(,)A B(,)C B(,)D B(,)E BC(,)A C(,)B C(,)D C(,)E CD(,)A D(,)B D(,)C D(,)E D第 21 页 共 27 页E(,)A E(,)B E(,)C E(,)D E由列表格，可知：共有20 种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2 种情况，P（恰好选中B、21)2010D【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比24（8 分）如图，
36、已知AB是O的直径，C是O上的一点，D是AB上的一点，DEAB于D，DE交BC于F，且EFEC（1）求证：EC是O的切线；（2）若4BD，8BC，圆的半径5OB，求切线EC的长【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得90OCBECF，可证EC是O的切线；（2）由勾股定理可求6AC，由锐角三角函数可求5BF，可求3CF，通过证明OACECF，可得ECCFOAAC，可求解【解答】解：（1）连接OC，OCOB，OBCOCB，DEAB，90OBCDFB，第 22 页 共 27 页EFEC，ECFEFCDFB，90OCBECF，OCCE，EC是O的切线；（2）AB是O的直径，90
37、ACB，5OB，10AB，22100646ACABBC，cosBDBCABCBFAB，8410BF，5BF，3CFBCBF，90ABCA，90ABCBFD，BFDA，ABFDECFEFC，OAOC，OCAABFDECFEFC，OACECF，ECCFOAAC，5 3562OA CFECAC【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明OACECF是本题的关键七、（本大题2 个小题，每小题10 分，满分 20 分）25（10 分）如图，已知抛物线2yax过点9(3,)4A（1）求抛物线的解析式；第 23 页 共 27 页（2）已知直线l过点A，3
38、(2M，0)且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：2MCMA MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可（3）如图 2 中，设21(,)4P tt，根据PDCD构建方程求出t即可解决问题【解答】解：（1）把点9(3,)4A代入2yax，得到994a，14a，抛物线的解析式为214yx（2）设直线l的解析式为ykxb，则有934302kbkb，解得1234kb，直线l的解析式为1324yx
39、，令0 x，得到34y，3(0,)4C，第 24 页 共 27 页由2141324yxyx，解得114xy或394xy，1(1,)4B，如图 1 中，过点A作1AAx轴于1A，过B作1BBx轴于1B，则11/BBOCAA，13112332MBBMMCMO，131233(3)2MCMOMAMA，BMMCMCMA，即2MCMA MB（3）如图 2 中，设21(,)4P ttOC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，/PDOC，PDOC，13(,)24D tt，21133|()|4244tt，整理得：2260tt或220tt，解得17t或17或2或 0（舍弃），第 25 页 共 27 页
40、(17P，72)2或(17，72)2或(2,1)【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型26（10 分）已知D是Rt ABC斜边AB的中点，90ACB，30ABC，过点D作Rt DEF使90DEF，30DFE，连接CE并延长CE到P，使EPCE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N（1）如图 1，当D，B，F共线时，求证：EBEP；30EFP；（2）如图 2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：30BFDEFP【分析】（1）证明CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得
41、结论；根据同位角相等可得/BCEF，由平行线的性质得BPEF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得30PFEBFE；（2）如图 2，延长DE到 Q，使 EQDE，连接CD，PQ，FQ，证明()QEPDEC SAS，则 PQDCDB，由 QEDE，90DEF，知EF是 DQ 的 垂 直 平 分 线，证 明()FQPFDB SAS，再由EF是 DQ 的垂直平分线，可得结论【解答】证明（1）90ACB，30ABC，903060A，同理60EDF，60AEDF，/ACDE，90DMBACB，D是Rt ABC斜边AB的中点，/ACDM，第 26 页 共 27 页12BMBDB
42、CAB，即M是BC的中点，EPCE，即E是PC的中点，/EDBP，90CBPDMB，CBP是直角三角形，12BEPCEP；30ABCDFE，/BCEF，由 知：90CBP，BPEF，EBEP，EF是线段BP的垂直平分线，PFBF，30PFEBFE；（2）如图 2，延长DE到 Q，使 EQDE，连接CD，PQ，FQ，ECEP，DECQEP，()QEPDEC SAS，则 PQDCDB，QEDE，90DEFEF是 DQ 的垂直平分线，QFDF，第 27 页 共 27 页CDAD，60CDAA，120CDB，120120(60)6060FDBFDCEDCEDCEQPFQP，()FQPFDB SAS，QFPBFD，EF是 DQ 的垂直平分线，30QFEEFD，30QFPEFP，30BFDEFP【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型