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1、2011 年高考数学一轮复习必备极限-数列的极限、数学归纳法1/7 第 92-93 课时：第十二章极限数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一）数列的极限1.定义：对于无穷数列an，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当 nN时，|an-A|恒成立，则称常数A为数列 an 的极限，记作Aannlim.2.运算法则：若limnna、limnnb存在，则有lim()limlimnnnnnnnabab；lim()limlimnnnnnnnabab)0lim(limlimlimnnnnnnnnnbbaba3.两种基本类型的极限：S=)11(
2、)1(1)1(0limaaaaann或不存在设()f n、()g n分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为pa、pb且)(0)(Nnng,则)()()(0)()(limqpqpbaqpngnfqpn不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11aSq（|q|1)=;（4）2221321lim()111nnnnn=;（5）.)2(lim2nnnn=;（6）等比数列 an 的公比为q=1/3,则nnnaaaaaa24221lim=;例 2将无限循环小数?21.0；1.32?21化为分数.例 3已知1)11(lim2bannnn,求实数a,b 的值;例 4数列 an,bn
3、满足nlim(2an+bn)=1,nlim(an 2bn)=1,试判断数列 an,bn 的极限是否存在，说明理由并求nlim(anbn)的值.例 5设首项为 a，公差为 d 的等差数列前n 项的和为 An,又首项为a,公比为 r 的等比数列前n 项和为 Gn,其中 a0,|r|0)的等比数列的前n 项之和为Sn,又设 Tn=1(1,2,)nnSnS,求nnTlim.例 7an的相邻两项an,an+1是方程 x2cnx+n)31(=0 的两根，又 a1=2,求无穷等比c1,c2,cn,的各项和.2011 年高考数学一轮复习必备极限-数列的极限、数学归纳法3/7 例 8在半径为R 的圆内作内接正方
4、形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。例 9如图，B1，B2，Bn,顺次为曲线y=1/x(x0)上的点，A1，A2，An顺次为ox 轴上的点，且三角形 OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An1BnAn为等腰三角形（其中 Bn为直角),如果 An的坐标为(xn,0).(1)求出 An的横坐标的表达式;(2)求|lim11nnnnnAAAA.二例题（数学归纳法）例 1用数学归纳法证明2nn2(n N,n 5),则第一步应验证n=;例 2用数学归纳法证明)1,(,12131211nNnnn,第一步验证不等式成立；例
5、3.是否存在常数a,b,c,使得等式122 232 n(n 1)212)1(nn(an2bnc)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)例 4.已知数列 an=n131211,记 Sn=a1+a2+a3+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.例 5证明：n213121122n(n N,n 2)例 6证明：xnnan1x+(n1)an能被(x a)2整除(a 0).An1A1 A2 An Bn B3 B2 B1 yxOrn rn+1 an 2011 年高考数学一轮复习必备极限-数列的极限、数学归纳法4/7 例 7.在 1 与 2 之间插入n个正数naaaa,321，使这2n个数成
6、等比数列；又在1 与 2 之间插入n个正数nbbbb,321使这2n个数成等差数列记nnnnbbbbBaaaaA321321,（）求数列nA和nB的通项；（）当7n时，比较nA与nB的大小，并证明你的结论例 8若数列 an满足对任意的n 有：Sn=2)(1naan,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.例 9已知数列bn是等差数列，bbbb112101145，。（）求数列bn的通项bn；（）设数列na的通项abnanlog11（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前 n 项和。试比较Sn与131loganb的大小，并证明你的结论。练习（数列的极限）1.已知 an 是等比数列,如果 a1 a
7、2 a3 18,a2a3a4 9,Sna1a2 an,那么nnSlim的值等于()(89年)(A)8(B)16(C)32(D)48 2.)211()511)(411)(311(limnnn的值等于()(91年)(A)0(B)1(C)2(D)3 3.在等比数列 an 中,a11,且前 n 项和 Sn满足nnna1Slim,那么 a1的取值范围是()(98年)(A)(1,)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,2)7.)等于 ()(A)0 (B)(C)(D)5 8122321222)2221(limnnnnnnCCC等于：（A）16 （B）8 （C）4（D）2 2011 年高考数学一轮复习必
8、备极限-数列的极限、数学归纳法5/7 9 已知各项均为正数的等比数列an 的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,nnnSS1lim=1,则公比q的取值范围是：（A）.q 1 （B）.0q1 （C）.0q1 10.32323221limnnnnnnnn的值为 ()(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在11.已知 an是公差不为0 的等差数列，Sn是an 的前 n 项和，那么nnnSnalim等于 _.12.已知等差数列an的公差 d0，首项 a10，Snnn1i1iinSlim则,aa1_.(93年)13.如果nnalim存在，且9423limnnnaa，则nnalim_ 14.11)2
9、(3)2(3limnnnnn_.(86年)15.)1n2n1n31n21n1(lim2222n_.(87年)16.已知等比数列an 的公比 q1，a1b(b 0)，则n876n321naaaaaaaalim_.17求nnnnnaaaalim=（a0);18数列?81.0,?8100.0,?810000.0,的前 n 项和及各项和S=.19.nlimnnn21)1(21211212121122.=.20.已知数列a1,a2,an,的前项和Sn与 an的关系是Sn ban1nb)(11,其中 b 是与 n 无关的常数,且 b 1；.求 an和 an1的关系式;.写出用 n 和 b 表示 an的表达
10、式;.当 0 b1 时,求极限 Sn.(87年)2011 年高考数学一轮复习必备极限-数列的极限、数学归纳法6/7 21在边长为a 的正方形ABCD 中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为,求所有正方形的面积之和.22已知直线L：xny=0(n N),圆 M：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x 1)2,又 L 与 M 交于点 A、B，L 与交于点C、D，求22|limCDABn.23.设 a1)n(n3221n (n1,2,3 ),b1)n(nann(n 1,2,3 ),用极限定义证明21limnnb.(85年)练习（
11、数学归纳法）1由归纳原理分别探求：(1)凸 n 边形的内角和f(n)=;(2)凸 n 边形的对角线条数f(n)=;(3)平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数 f(n)=.2平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n 条直线把平面分成f(n)个区域，则 f(n+1)=f(n)+.3 当 n 为正奇数时，求证 xn+yn被 x+y 整除，当第二步假设n=2k1 时命题为真，进而需验证n=，命题为真。4用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n1 2 3 (2n 1)(n N),从“k 到 k+1”左端应增乘的代
12、数式为 .5.用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n-1可以被 a2+a+1 整除(nN).6若 ai0(i=1,2,3,n),且 a1+a2+an=1,证明：a12+a22+an2n1.(n2,n N)2011 年高考数学一轮复习必备极限-数列的极限、数学归纳法7/7 7已知 An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+2)1(nnlg2x,其中 nN,n3,),101(x,试比较AN与 Bn的大小.8数列 an中，naaaaannnn122,12,211试证：.9.试证：不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列，当n1,n N且 a,b,c互不相等时，都有 an+cn2bn.(n N).10.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an(n N),(1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn的表达式；(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。11已知 an满足：(n1)an+1=(n+1)(an1),a2=6,bn=n+an(nN).(1)求出 bn的通项公式，(2)是否存在非零常数p、q 使数列 qpnan 成等差数列？若存在，试求出q、q 的关系，若不存在，说明理由.