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1、高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 1/16 1.2 空间几何体的三视图一、三维目标1了解平行投影与中心投影的概念和简单性质。2理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则。3能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形。二、导学提纲1平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线。在平行投影中，投影线时，叫做正投影，否则叫做。2空间几何体的三视图是指、。3三视图的排列规则是放在正视图的下方，长度与正视图一样，放在正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。4三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从、观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。5三视图对于认
2、识空间几何体有何作用？你有何体会？三小试牛刀1下列命题正确的是（）A一个点在一个平面内的投影仍是一个点B一条线段在一个平面内的投影仍是线段C一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线D一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形2一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是（）A正方形B长方形C三角形D圆3一个正方形的平行投影的形状可能是。4一个几何体的三视图如下图。则这个几何体的名称是。四、典例剖析1如图甲所示，在正方体1111DCBAABCD中，E、F 分别是1AA、11DC的中点，G是正方形11BBCC的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教
3、 A 版必修 2 2/16。分析：在面ABCD 和面1111DCBA上的投影是图乙（1）；在面11AADD和面11BBCC上的投影是图乙（2）；在面11AABB和面11DDCC上的投影是图乙（3）。答案：（1）（2）（3）点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力。画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影。如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间相象来完成。2如图（1）所示，E、F 分别为正方体面ADAD、面BCBC的中心，则四边形ED
4、BF在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）的。分析：四边形EDBF在正方体DCBAABCD的面ADAD、面BCBC上的投影是C；在面DCDC上的投影是B；同理，在面ABAB、面ABCD、面DCBA上的投影也全是 B。答案：B C 3右图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状。分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体。答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体，该几何体的形状如图所示。高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2
5、 3/16 4下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）AB C D分析：正方体的三视图都是正方形，所以不符合题意，排除A、B、C。答案：D 点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题。5 某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。答案：B 6用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）A8 B 7 C6 D5 分析：由正视图和侧视图可
6、知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5 个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有 6 个小正方体。答案：C 空间几何体的三视图No.038 班级姓名学号成绩A 组1直线的平行投影可能是（）A点B线段C射线D曲线2如图所示，空心圆柱体的正视图是（）高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 4/16 3如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）ABCD4三棱柱111CBAABC，如图所示，以11BBCC的前面为正前方画出的三视图正确的是（）B 组5如图所示是一个几何体，则其几何体俯视图是（）6下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是（
7、）7下列各图，是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（）高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 5/16 8如图，图（1）、（2）、（3）是图（4）所表示的几何体的三视图，其中图（1）是，图（2）是，图（3）是。（说出视图名称）C 组9根据图中的三视图想象物体原形，并分别画出物体的实物图。10如图，E、F 分别是正方体1AC的面11AADD和面11BBCC的中心，则四边形EBFD1在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是图中（把所有可能图形的序号都填上）。1.2 空间几何体的直观图一、三维目标1体会平面图形和空间图形的直观图的含义。2结合画直观图的实例，掌握直
8、观图的斜二测画法及步骤。3会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。4会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。二、导学提纲1表示空间图形的，叫做空间图形的直观图。2用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成于x轴、y轴或z轴的线段。平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度；平行于y轴的线段，长度变为原来的。3斜二测画法是一种特殊的投影画法。4用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？三、小试牛刀1利用斜二测画法叙述正确的是（）A正三角形的直观图是正三角形B 平行四边形的直观图是平行四边形C矩形的直观图是矩形D
9、圆的直观图一定是圆2下列结论正确的是（）A相等的线段在直观图中仍然相等B若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C两个全等三角形的直观图一定也全等D两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形3直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若 AB/x 轴，则画出直观图后对应的线段BA，若yAB/轴，则画出直观图后对应的线段BA=。4水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知2,3CBCA，则 AB边上的高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 6/16 中线的实际长度为。四、典例剖析1已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为
10、4，则此正方形的面积是（）A16 B 64 C16 或 64 D都不对分析：根据直观图的画法，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为 16，边长为 4 的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64。答案：C 2利用斜二测画法画直观图时：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形。以上结论中，正确的是。分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原
11、来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以错。答案：3一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2 的正三角形，则原三角形的面积是（）A62B64C3D都不对分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的22倍，而正三角形的高是3，所以原三角形的高为62，于是其面积为.6262221答案：A 4一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A2221B221C21D22分析：平面图形是上底长为1，下底长为21，高为2 的直角梯形。计算得面积为.22答案：D 5斜二测画法中
12、，位于平面直角坐标系中的点)4,4(M的直观图中对应点是M，则点M的找法是。分析：在x轴的正方向上取点1M，使1MO4，在y轴上取点2M，使22MO，高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 7/16 过1M和2M分别作平行于y轴和x轴的直线的交点就是.M答案：在yOx中，过点)0,4(和y轴平行的直线与过)2,0(和x轴平行的直线的交点即是。6根据图中所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状。分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔。从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔。解：由此可以推测该物体大致形
13、状如图所示。7若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（）A42倍B2倍C 22倍D2倍分析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上的高发生变化。直观图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的42，则直观图的面积是原来三角形面积的42倍。答案：A 空间几何体的直观图No.039 班级姓名学号成绩A 组1 根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox、Oy、Oz轴画成对应的xO、yO、zO，高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 8/16 做yOx与zOx的度数分别为（）A90,90B90,45C90,135D45或90,1352关于“
14、斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（）A原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变B原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的21C画与直角坐标系xOy对应的yOx时，yOx必须是45D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同3两条相交直线的平行投影是（）A两条相交直线B一条直线C一条折线D两条相交直线或一条直线4下列叙述中正确的个数是（）相等的角，在直观图中仍相等；长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。A0 B 1 C2 D3 B 组5水平放置的ABC
15、有一边在水平线上，它的直观图是正111CBA，则ABC（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形6一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45、腰和上底均为1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A2221B221C21D227一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图，下列画法正确的是（）8如图所示的水平放置的三角形的直观图，D是CBA中CB边的中点，那么BA、DA、CA三条线段对应原图形中线段AB、AD、AC中（）A最长的是AB，最短的是AC 高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 9/16 B最长的是AC，最短的是AB C最长的是AB，最短
16、的是AD D 最长的是AD，最短的是AC 9平面直角坐标系中点)4,4(M在直观图中对应点M，则M的找法是。10若线段 AB平行于投影面，O是 AB上一点，且nmOBAO:，则 O的平行投影O分 AB的平行投影BA的长度之比为。C 组11如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。12画水平放置的正五边形的直观图。1.3 空间几何体的表面积与体积一、三维目标1体会球的体积和表面积公式的推导过程，了解无限分割取极限的思想方法。2记住球的体积公式和表面积公式，会运用公式进行计算。二、导学提纲自学1棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的
17、侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。2几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、。3几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。4柱体、锥体、台体的体积有何关系？三、小试牛刀1一个长方体的三个面的面积分别为6,3,2，则这个长方体的体积为（）A6 B6C3 D322一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为（）A2 B22C4D8 3长、宽、高分别为cba,的长方体的表面积S=。4圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为13，则这个圆台的体积V=。三、典例剖析高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 1
18、0/16 1已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为 S，求圆锥的侧面积。解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即SS圆柱侧，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为rS2，由题意得圆锥的高为rS2，又圆柱的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长22)2(rSrl，根据圆锥的侧面积公式得.24)2(24222SrrSrrrlS?圆锥侧2两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A1:2:3 B 1:7:19 C3:4:5 D1:9:27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以
19、两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为 1:2:3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为:2)2(3:)3(22hrhr?2)3(3r3h27:8:1，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为.19:7:1)827(:)18(:1答案：B 3三棱锥ABCV的中截面是111CBA，则三棱锥111CBAV与三棱锥BCAA1的体积之比是（）A1:2 B 1:4 C1:6 D1:8 分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥BCAA1转化为三棱锥ABCA1，这样三棱锥111CBAV与三棱锥ABCA1的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。答案：B 4如图所
20、示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为（）A1 B 21C31D61活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱.,ACABPAVACABPA则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 11/16 的体积为.611213131PASVABC答案：D 点评：本题订考查几何体的三视图和体积，给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图
21、确定该几何体的结构特征，再利用公式求得，此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视。5若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）A318B315C3824D31624分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为.3824324212243答案：C 6如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A33B 332C 3D3分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三
22、角形的高为3，所以这个几何体的体积为.3331312V答案：A 7已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形。高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 12/16（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S。解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4 的四棱锥。设底面矩形为ABCD。如图所示，6,8 BCAB，高.4VO（1）.644)68(31V（2）设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角
23、形，在VBC中，BC边上的高为24)28(4)2(22221ABVOh，在VAB中，AB边上的高为.5)26(4)2(22222BCVOh所以此几何体的侧面积.22440)582124621(2S点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问。8如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）AB 2C3D4分析：设圆锥的母线长为l，则213l，所以圆锥的表面积为.3)21(1S答案：C 9正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（）A427B49C 4327D439
24、分析；可得正三棱锥的高3)3()32(2h，于是.4393343312V答案：D 10若圆柱的高扩大为原来的4 倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4 倍，则圆柱的体积扩大为原来的倍。分析：圆柱的体积公式为hrV2圆柱，底面半径不变，高扩大为原来的4 倍，其体积也变为原来的4 倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4 倍时，其体积变为原来的1642倍。高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 13/16 答案：4 16 11右图是一个正方体，H、G、F 分别是棱AB、AD、1AA的中点。现在沿GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯
25、掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？分析：因为锯掉的正方体的一个角，所以HA与 AG、AF都垂直，即 HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形 AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥。解：设正方体的棱长淡a，则正方体的体积为.3a三棱锥的底面是AGFRt，即FAG为90，G、F 又分别为AD、AA1的中点，所以.21aAGAF所以AFG的面积为.812121212aaa又因 AH是三棱锥的高，H又是 AB的中点，所以.21aAH所以锯掉的部分的体积为.48181213122aaa又因48148133aa，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.48112已知一圆锥的侧面展开图为半圆
26、，且面积为S，则圆锥的底面面积是。分 析：如 图，设 圆 锥 底 面 半 径 为r母 线 长 为l由 题 意 得,2,22rlSl解得.2Sr所以圆锥的底面积为.222SSr答案：.2S13如图，一个正三棱柱容顺路，底面边长为a，高为a2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是。分 析：图 中 容 器 内 水 面 的 高 度 为h，水 的 体 积 为V，则.hSVABC又图 23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABCS43，高度为a2，则.23243aSaSVABCABC?答案：a2314已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸
27、（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A334000cmB338000cm高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 14/16 C32000cmD34000cm分析：该几何体是四棱锥，并且长为20cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20cm，底面是边长为20cm的正方形（如俯视图），所以底面积是24002020cm，所以该几何体的体积是.3800020400313cm答案：B 15 问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为).0(5,4,3aaaa用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则 a的取值范围是。探究
28、：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a5的边重合在一起，表面积为28242a，三棱柱有两种，边长为a4的边重合在一起，表面积为32242a，边长为a3的边重合在一起，表面积为36242a，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为48122a，最小的是一个四棱柱，这说明.3150201248122824222aaaa答案：3150a空间几何体的表面积与体积No.040 班级姓名学号成绩A 组1正方体的全面积是96，则正方体的体积是（）A648B64C16 D96 2若圆台的上、下底面半径分别是1 和 3，它的侧面积是两底面面积和的2
29、倍，则圆台的母线长是（）A2 B 2.5 C5 D10 3若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（）A2倍B 3 倍C2 倍D5 倍4如图，在四正体BCDA中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且分别截BC、DC于点 E、F。如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥BEFDA与三棱锥EFCA的表面积分为1S、2S，则必有（）A21SSB21SSC21SSD 不能高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 15/16 确定5、如图，在正方体1111DCBAABCD中，三棱锥CABD11的表面积与正方体的表面积的比为（）A2:1B3:1C2
30、:1D2:3B 组5六棱柱的两底面是正六边形，侧面是全等的矩形，它的底面边长为4，高为 12，则它的全面积是（）A288348B 288324C144348D 1443246若长方体的三个面的面积分别是.6,3,2则长方体的体积为（）A32B6C6 D12 7五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别为4cm和 6cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是5cm，则它的侧面积是。8正三棱锥的底面边长是a，高是a2，则它的全面积为。9圆台的两个底面半径是2cm、4cm，截得这个圆台的圆锥的高为6cm，则这个圆台的体积是。C 组10由 8 个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，且有四个顶点A、B、C、D
31、在同一个平面内，ABCD 是边长为20cm的正方形，求此几何体的表面积和体积。11一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2。12圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，顶点均在上、下底面的圆周上是正三角形，如果三棱柱的体积为V，圆柱的底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积为多高中数学空间几何体单元三维目标学案新人教 A 版必修 2 16/16 少？13：如图所示，在长方体1111DCBAABCD中，用截面截下一个棱锥DDAC，求棱锥DDAC的体积与剩余部分的体积之比。14：如图，已知三棱锥BCDA的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1 且30BAC，M、N分别在棱 AC和 AD上，求 BM+MN+NB的最小值。