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1、河北省石家庄市辛集中学2020 届高三上学期期中考试数学（文）一、单选题（每题5 分）1.设集合2|340Mx xx，|05Nxx，则MN等于（）A.(0,4B.0,4)C.(1,0)D.1,0)【答案】B【解析】【分析】化简集合M，进而求交集即可.【详解】由题意可得：2|340|14Mx xxxx，又|05Nxx，所以MN0,4)，故选：B【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.下列 3 个命题中，正确的个数为（）命题“2,10 xR x”的否定是“200,10 xR x”；“pq为真”是“pq为真”的充分条件；“若p则q为真”是“若q则p为真”的充要条件
2、.A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定需注意量词的变化以及结论的否定，所以正确；若“pq为真”则都为真，若“pq为真”则有可能一真一假，所以正确；“p则q为真”与“q则p为真”互为逆否命题，所以正确.考点：简易逻辑.3.已知i是虚数单位，则复数122ii等于（）A.iB.iC.5iD.45i【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算,化简即可得解.【详解】复数122ii化简可得122ii122+=22+iiii22+52=5ii=i所以选 A【点睛】本题考查了复数的乘法、除法和加法运算，属于基础题。4.要得到函数22 3 cossin 23yxx的图象，只需将函数2
3、sin 2yx的图象（）A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位【答案】C【解析】【分析】化简函数22 3 cossin 23yxx，然后根据三角函数图象变换的知识选出答案.【详 解】依 题 意22 3cossin232sin 22sin 236yxxxx，故 只 需 将 函 数2sin 2yx的图象向左平移6个单位.所以选 C.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.5.如图，梯形ABCD中，/ABCD，且2ABCD，对角线,AC DB相交于点 O，若,ADa ABb，则OC（）A.36abB.36a
4、bC.233abD.233ab【答案】B【解析】【分析】根据图形以及相似关系将未知向量用已知向量表示，注意比例运用.【详 解】由 题 意 得，BDADABab，：CDOABO，12CODOCDOAOBAB，22()33BOBDab，221()333AOABBObabab，111236OCAOab.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算，难度一般.关键是能通过图形将未知的向量用已知的向量表示出来，这里比例关系的运用很重要.6.已知各项不为0 的等差数列na满足2578220aaa，数列nb是等比数列且77ba，则212b b等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C【解析】由题意可得：2
5、225787777722222320aaaadaadaa，7730,2aa，则：222 127794b bba.本题选择C选项.7.已知x，y满足10,0,3,xyxyx则22(1)(2)xy的取值范围是（）A.5,25B.1,25C.2,29D.5,292【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，2212xy表示点,x y与点1,2P的距离，由图可得，2212xy的最小值就是点1,2P到直线10 xy的距离，最小值是222212 12,1211xy的最大值是点B与点P的距离，由30 xxy，可得3,3B，223 13229PB，222221229,21229xyxy，2212x
6、y的取值范围是2,29，故选 C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，或者根据目标函数的几何意义）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.若两个正实数x，y满足411xy，且246xymm恒成立，则实数m的取值范围是A.(8,2)B.(,8)(2,)C.(2,8)D.(,2)(8,)【答案】C【解析】【分析】由414(4)()xyxyxy，展开后利用基本不等式即可得解.【详解】因为两个正实数
7、x，y满足411xy所以16414(4)()882 1616yxxyxyxyxy，当且仅当16yxxy时取等号，又246xymm恒成立，故2166mm，解得(2,8)m故选 C【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用9.设数列na的前n项和为nS，且*112,(2)nnnaaanN，则13S（）A.13243B.13223C.14243D.14223【答案】D【解析】【分析】由12nnnaa并项求和结合等比数列求和即可得解【详解】由题2412
8、1312312132222Saaaaa2621421414223故选：D【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题10.如图，长方体1111ABCDA B C D的体积为1V，E为棱1CC上的点,且113CECC，三棱锥EBCD的体积为2V，则21VV=（）A.13B.16C.19D.118【答案】D【解析】【分析】分别求出长方体1111ABCDA B C D和三棱锥EBCD的体积，即可求出答案.【详解】由题意，11ABCDVSCC，21111 1133 21318BCDABCDABCDVSCESCCSCC，则21118VV.故选 D.【点睛】本题考查了长方体与三棱锥
9、的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.11.若三棱锥PABC中，PAPB，PBPC，PCPA，且1PA，2PB，3PC，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.72B.14C.28D.56【答案】B【解析】【分析】将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果.【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两 者的 外接 球是 同一个，外接 球的 球心 是长方体的体 对角 线的 中点处。设球 的半 径为 R，则2222227123242RRR表面积为2414.SR故答案为：B.【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要
10、有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
11、面积为（）A.2+2B.3+2C.1+2 2D.5【答案】A【解析】【分析】先得到几何体的立体图形，再计算表面积.【详解】1234511221222222SSSSSS故答案选A【点睛】本题考查了几何体的三视图，将三视图还原为立体图是解题的关键.13.已知点(,)x y 满足1122xyxyxy，目标函数2zaxy仅在点1,0处取得最小值，则a的范围为（）A.(1,2)B.(4,2)C.(2,1)D.(2,4)【答案】B【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，分0,0aa两类讨论即可.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：其中1,0C若0a，因目标函数2zaxy仅在点1,0处取得最小值，所以动
12、直线22azyx的斜率102a，故02a.若0a，因目标函数2zaxy仅在点1,0处取得最小值，所以动直线22azyx的斜率022a，故40a.综上，42a，选 B.【点睛】二元一次不等式组条件下二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34xy表示动直线340 xyz的横截距的三倍，而21yx则表示动点,P x y与1,2的连线的斜率含参数的目标函数的最值问题，注意根据斜率分类讨论.14.已知（4，），若 sin2 45，则 cos（）A.2 55B.2 55C.55D.55【答案】D【解析】【分析】先根据三角函数的值，缩小的范围，根据4sin25和
13、22sincos1得到sina和cos【详解】,4，2,22而4sin2522，即42，sincos022425sincos1sin cos，两式相加、相减得229sincos=51sincos53=515sincossincos，解得22 5551555sincos故选 D项.【点睛】本题考查通过三角函数值的正负缩小角的范围，对三角函数求值，属于中档题.15.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且120AOB，若(,)OCOAOBR，则的取值范围为（）A.2,2B.(1,2C.1,2D.1,2【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可【详解】解：设半径为
14、1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（12，32），B（1，0），C（cos，sin）（其中BOC203有OCOAOB（，R）即：（cos，sin）（12，32）+（1，0）；整理得：12+cos；32sin，解得：23sin，cos3sin，则+23sincos33sinsin+cos2sin（6），其中203；易得其值域为1，2 故选：D【点睛】本题考查了向量的线性运算，三角函数求值域等知识，属于中档题16.已知函数2()35fxxx，()lng xaxx，若对(0,)xe，12,(0,)x xe且12xx，使得()()(1,2)if xg xi，则实数a
15、的取值范围是（）A.1 6(,)e eB.746,)eeC.741,)eeD.7416(0,)eee【答案】B【解析】【分析】对?x（0，e），f（x）的值域为 114，5），g（x）a11axxx，推导出a 0，g（x）ming（1a）1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数a的取值范围【详解】当0,xe时，函数fx的值域为11,54.由11axgxaxx可知：当0a时，0gx，与题意不符，故0a.令0gx，得1xa，则10,ea，所以min11lng xgaa，作出函数g x在0,e上的大致图象如图所示，观察可知111415lnag eae，解得746eae
16、.故选：B【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题第 II 卷非选择题部分二、填空题（每小题5 分）17.设(0,)2，向量(cos,2)a，(1,sin)b，若ab，则 tan_【答案】12【解析】从题设可得cos2sin0，即1tan2，应填答案12。18.已知数列na满足11111,111nnaaa，则10a_.【答案】1719【解析】【分析】数列11na为以12为首项，1 为公差的等差数列。【详解】因11,a所以11112a又111111nnaa所以数列11na为以12为首项，1 为公差的等差数列
17、。所以11=12nna所以1010111917=10=12219aa故填1719【点睛】本题考查等差数列，属于基础题。19.已知函数32yxx在点P处的切线平行于直线44yx，则点P的横坐标为 _【答案】1【解析】【分析】先求出导函数，由切线斜率就是切点处的导数求出切点横坐标【详解】由题意2()31xf x，2314x，1x，1x时，0y，点(1,0)在直线44yx上，不合题意；1x时，2y，切线方程为24(1)yx，即42yx符合题意故答案1【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数为函数图象在该点处的切线斜率20.已知数列na的前n项和122nnnSa，若不等式223(5)nnn
18、a，对nN恒成立，则整数的最大值为 _【答案】4【解析】【详解】当1n时，21122Sa，得14a，当2n时，122nnnSa，又122nnnSa，两式相减得1222nnnnaaa，得122nnnaa，所以11122nnnnaa又1122a，所以数列2nna是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，12nnan，即(1)2nnan因为0na，所以不等式223(5)nnna，等价于2352nn记122311,224nnnbbb，2n时，112121223462nnnnnbnnbn所以3n时，1max331,()8nnnbbbb所以33375,5888，所以整数的最大值为4考点：1数列的通项公式；2
19、解不等式三、解答题21.已知函数2sin22cosfxxx（1）求函数yfx的单调递增区间；（2）求函数yfx在区间0,2上的值域。【答案】(1)3,88kkkZ;(2)0,21fx【解析】【分析】（1）利用降幂公式、辅助角公式，对fx进行化简，得到正弦型函数，然后求其单调区间.（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间0,2的值域.【详解】（1）2sin22cosfxxxsin2cos21xx2 sin 214xfx单调递增222242kxk，kZ解得：388kxk，kZ所以fx单调递增区间为3,88kkkZ（2）由（1）知2 sin 214fxx因为0,2x，所以52,444x所以2
20、sin 210,214fxx【点睛】本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.22.已知数列na为递增的等差数列，其中35a，且125,a aa成等比数列（1）求na的通项公式；（2）设1111nnnbaa记数列nb的前n项和为nT，求使得nmT5成立的m的最小正整数【答案】（1）21nan；（2）2.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设出首项1a和公差d，依照题意列两个方程，即可求出na的通项公式；（2）由1111nnnbaa，容易想到裂项相消法求nb的前n项和为nT，然后，恒成立问题最值法求出m的最小正整数【详解】（1）在等差数列中，设公差为
21、d0，由题意，得，解得ana1+（n1）d 1+2（n1）2n1；（2）由（1）知，an2n1则，TnTn+1Tn0，Tn 单调递增，而，要使成立，则，得m，又mZ，则使得成立的m的最小正整数为2【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力。23.如图，在四边形ABCD中，34ABC，ABAD，2AB.（1）若5AC，求ABC的面积；（2）若6ADC，4 2CD，求AD的长.【答案】（1）12；（2）22 6.【解析】【分析】（1）由余弦定理求出BC，由此能求出ABC的面积（2）设B
22、AC，AC=x，由正弦定理得sinsin4xABABC从而1=sin4x，在ACD中，由正弦定理得2 2=cosx，建立关于 的方程，由此利用正弦定理能求出sin CAD再利用余弦定理可得结果.【详解】（1）因为34ABC，2AB，5AC，所以2222cosACABBCAB BCB，即2230BCBC，所以1BC.所以12112222ABCS.（2）设04BAC，ACx，则2CAD，在ABC中，由正弦定理得：sinsin4xABABC，所以1sin4x；ACD中，sinsin62xCD，所以2 2cosx.即12 2cossin4，化简得：1tan2，所以2 5sincos5CAD，所以2 2
23、102 55ACx，5cos5CAD，所以在ACD中，2222cosCDACADAC ADCAD.即22 2220ADAD，解得22 6AD或22 6AD（舍）.【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题24.已知函数22()3ln()fxxaxax aR.（）求()f x 的单调区间；（）若对于任意的2xe（e为自然对数的底数），()0f x恒成立，求a的取值范围.【答案】（I）当0a时，fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间；当0a时，fx的单调递增区间为0,2a和,a，单调递减区间是,2aa；（II）22,2e
24、e【解析】【分析】（）求出fx，分两种情况讨论，在定义域内，分别令0fx求得x的范围，可得函数fx增区间，0fx求得x的范围，可得函数fx的减区间；（）对a分四种情况讨论，分别利用导数求出函数fx最小值的表达式，令fx最小值不小于零，即可筛选出符合题意的a的取值范围.【详解】（）fx的定义域为0,.2222323axaxafxxaxx2xaxax.（1）当0a时，0fx恒成立，fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间；（2）当0a时，由0fx解得0,2axa，由0fx解得,2axa.fx的单调递增区间为0,2a和,a，单调递减区间是,2aa.（）当0a时，0fx恒成立，fx在0,上单调递增，2
25、422320fxfeeaea恒成立，符合题意.当0a时，由（）知，fx在0,2a、,a上单调递增，在,2aa上单调递减.（i）若202ae，即22ae 时，fx在2,2ae上单调递增，在,2aa上单调递减，在,a上单调递增.对任意的实数2xe，0fx恒成立，只需20fe，且0f a.而当22ae 时，2224222320f eaaeeaeae且22223lnln20faaaaaaa成立.22ae 符合题意.（ii）若22aea时，fx在2,e a上单调递减，在,a上单调递增.对任意的实数2xe，0fx恒成立，只需0f a即可，此时22223lnln20faaaaaaa成立，222eae符合题意.（iii）若2ea，fx在2,e上单调递增.对任意的实数2xe，0fx恒成立，只需2422320feeaea，即2422223220feeaeaaeae，202ea符合题意.综上所述，实数a的取值范围是22,2ee.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数afx恒成立(maxafx即可)或afx恒成立（minafx即可）；数形结合(yfx图象在yg x上方即可)；讨论最值min0fx或max0fx恒成立；讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.