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1、数学试卷一、选择题1.已知集合24260MxxNx xx，则MNI=()A43xxB42xxC22xxD23xx2.已知复数z满足(1+2)43i zi，则z的共轭复数是()A 2iB 2+iC 1+2iD 12i3.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙4.设,为两个平面，则/的充要条件是()A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C,平行于同一条直线D,垂直于同一平面5
2、.已知曲线11(0 xyaa且1)a过定点(,)k b，若 mnb，且0,0mn，则41mn的最小值为（）A92B 9 C5 D526.函数3222xxxy在6,6的图象大致为（）ABCD7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A32 fB322 fC1252 fD1272 f8.已知点1F是抛物线2:2C xpy 的焦点，点2F为抛物线C的对称轴与其准
3、线的交点，过2F作抛物线 C 的切线，切点为A，若点 A恰好在以12,F F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A622B21C21D622二、填空题9.已知向量4,3,6,abmrr，且abrr，则 m=_10.在1nxx的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为_11.在ABC 中，内角,A B C所对的边分别是,a b c若sinsin,1bAaC c，则 b=_，ABC 面积的最大值为_12.已知函数()f x 的定义域为R，导函数为()fx，若()cos()f xxfx，且sin()+02xfx，则满足(+)+()0f xf x的 x 的取值范围为_三、多项选择题13.
4、某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20 名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg）变化情况：对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是()A他们健身后，体重在区间90,100 内的人数较健身前增加了2 人B他们健身后，体重原在区间100,110 内的人员一定无变化C他们健身后，20 人的平均体重大约减少了8kg.D他们健身后，原来体重在区间110,120 内的肥胖者体重都有减少14.已知点 P 在双曲线22:1169xyC上，12,F F是双曲线C 的左、右焦点，若12PF FV的面积为20，则下列说法正确的有()A点 P 到 x 轴的距离为20
5、3B1250|3|PFPFC12PF FV为钝角三角形D12F PF等于315.如图所示，在四棱锥EABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的正方形，CDE 是正三角形，M为线段DE的中点，点N 为底面 ABCD 内的动点，则下列结论正确的是()A若 BCDE 时，平面 CDE平面 ABCDB若 BCDE 时，直线EA与平面 ABCD 所成的角的正弦值为104C若直线BM和 EN 异面时，点N不可为底面ABCD 的中心D若平面CDE平面ABCD，且点 N 为底面ABCD的中心时，BMEN.16.已知111ln20 xxy，22242ln 20 xy，记221212Mxxyy，则()AM 的最小
6、值为25B当 M 最小时，2125xCM 的最小值为45D当 M 最小时，265x四、解答题17.已知数列na满足132a，且1112,22()nnnaannN（1）求证：数列2nna是等差数列，并求出数列na的通项公式；（2）求数列 na的前 n项和nS18.已知ABC 的内角,A B C的对边分别为,a b c，满足3sincos0AA有三个条件：1a；3b；34ABCSV其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且ADAC，求ABD的面积19.图 1 是由矩形,ABCADEB Rt和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中1
7、AB，2BEBF，60FBC，将其沿,AB BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2（1）证明：图2 中的,A C G D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图 2 中的二面角BCGA的大小20.已知椭圆222:90Cxymm，直线 l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点,A B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点(,)3mm，延长线段OM 与 C 交于点 P，判断四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由21.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（
8、单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元）的影响该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:2yx，x tye其中,t 均为常数，e为自然对数的底数现该公司收集了近12年的年研发资金投入量ix和年销售额iy的数据，1,2,12iL，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧散点图及一些统计量的值令2,ln(1,2,12),iiiiuxvy iL经计算得如下数据：xy1221iixx1221iiyyuv20 66 770 200 460 4.20 1221iiuu121iiiuuyy1221iiivvyy121iiivvxx3125000 21500 0.308 14 附：相关系数12211nii
9、inniiiixxyyrxxyy，回归直线?yabx中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：121,?niiiniixxyybxxaybx参考数据：4.4998308477,909.4868,90e（1）设 iu和iy的相关系数为1r，设ix和 iv的相关系数为2r，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据第1问的选择及表中数据，建立y 关于 x的回归方程（系数精确到0 01）；（ii）若下一年销售额y需达到 90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元?22.设函数22ln11xfxxx（1）讨论函数fx的单调性；（2）如果对所有的0 x，都有fxax，求实数a 的
10、最小值；（3）已知数列na中，11a，且1111nnaa，若数列na的前 n项和为nS，求证：11ln2nnnnaSaa参考答案1.答案：C 解析：由题意得，42,23MxxNxx，则22MNxxI2.答案：B 解析：由1243i zi，得43212izii，所以2zi 3.答案：A 解析：若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3 人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意4.答案：B 解析：由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都
11、与 平行是/的充分条件，由面面平行性质定理知，若/，则 内任意一条直线都与 平行，所以内两条相交直线都与 平行是/的必要条件.5.答案：A 解析：因为定点为(1,2)，所以1,2kb，所以2mn，所以411 41149()()(5)222mnmnmnmnnm，当且仅当4mnnm时等号成立，即42,33mn时取得最小值6.答案：B 解析：设32()22xxxyf x，则332()2()()2222xxxxxxfxf x，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又34424(4)022f，排除选项D；36626(6)722f，排除选项A，故选 B7.答案：D 解析：因为每一个单
12、音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)nnaannN，又1af，则127771281(2)2aa qff.8.答案：C 解析：由题意，得120,0,22ppFF，设过2F 的抛物线C 的切线方程为2pykx，联立222xpypykx，2220 xpkxp，令222440p kp，解得21k，即2220 xpxp，解得xp，不妨设,2pAp，由双曲线的定义得21221aAFAFp，122cF Fp，则该双曲线的离心率为2121pep9.答案：8 解析：向量4,3,6,abmabrrrr，则0a brr，所以4630m，解得8m10.答案：15 解析：因为在1nxx的展开式中，各项系数
13、之和为64，所以将1x代入，得 264n，所以6n，所以36321661rrrrrrTCxC xx，所以，令3302r，即2r，则其系数为2615C，故答案为1511.答案：1；12解析：因为sinsinbAaC，所以由正弦定理可得baac，所以1bc;所以111sinsin222ABCSbcAA，当sin1A，即90A时，三角形面积最大，最大值为1212.答案：2，解析：因为()cos()fxxfx，所以()cos()fxxf x令cos()()2xg xf x，则cos()cos()()()()22xxgxfxf xg x()()g xgx，故函数()g x 为奇函数cossin()()(
14、)022xxg xf xfx，故函数()g x 在 R 上单调递减，则cos()cos()()0()()022xxf xf xf xf x()()0()()()g xg xg xg xgx，所以xx，故2x，即 x的取值范围为2，13.答案：AD 解析：体重在区间90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8 人，故人增加了2 个，故A 正确；他们健身后，体重在区间100,110内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B 错误；他们健身后，20 人的平均体重大约减少了0.3950.51050.21150.1850.4950.51055 kg，故 C 错误；因为图（2）中没有体重在区间11
15、0,120内的人员，所以原来体重在区间110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确14.答案：BC 解析：因为双曲线22:1169xyC，所以1695c，又因为1 2112102022PPFPFSc yyV，所以4Py，所以选项A 错误；将其代入22:1169xyC得2241169x，即20|3x，由对称性，不妨取P的坐标为20,43，可知22220135433PF，由双曲线定义可知1213372833PFPFa所以121337|350|33PFPF，所以选项B正确；由对称性，对于上面点P，在12PF FV中，12371321033PFcPF，且24012020553PFk，所以12PF
16、FV为钝角三角形，选项C 正确；因为1 22920tantan22PF FbSV，所以93tantan22036，即26，所以123F PF，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）；15.答案：AC 解析：因为BCCD，BCDE，CDDEDI，所以 BC 平面 CDE，BC平面 ABCD，所以平面ABCD平面 CDE，A 项正确；设 CD 的中点为F，连接EF，则 EFCD，平面 ABCD平面 CDE，平面ABCDI平面 CDECD，EF平面 CDE，EF平面 ABCD，设EA与平面 ABCD 所成的角为，则EAF，223EFCECF，225ADAFFD，222 2AFEAFE，则 sin46
17、EFEA，B 项错误连接BD，易知BM平面BDE，由,B M E确定的平面即为平面BDE，当直线BM和 EN 异面时，点 N 不可在平面BDE内，同时点N 不可在直线BD上，点 N 也不可为底面ABCD 的中心，选项 C 正确；连接 FN，FN平面 ABCD，EFFN，,F N分别为,CD BD的中点，则112FNBC，又3EF，故222ENEFFN，227BMBCCM，BMEN，故 D 项错误.16.答案：BC 解析：由111ln20 xxy，得：111ln2yxx，221212xxyy的最小值可转化为函数ln2yxx图象上的点到直线242ln 20 xy上的点的距离的最小值的平方，由ln2
18、yxx得：11yx，与直线242ln 20 xy平行的直线的斜率为12，则令1112x，解得：2x，切点坐标为2,ln 22,ln 2到直线242ln 20 xy的距离22ln 242ln 22 5514d，即函数ln2yxx上的点到直线242ln 20 xy上的点的距离的最小值为2 55，221212xxyy的最小值为245d，过2,ln 2与242ln 20 xy垂直的直线为ln 222yx，即 24ln 20 xy，由242ln 2024ln 20 xyxy，解得：125x，即当 M 最小时，2125x17.答案：（1）证明：因为1222nnnaa，所以112=2+2nnnnaa，即11
19、22=2nnnnaa，所以数列 2nna是等差数列，且公差2d，其首项123a，所以23121)2(nnnna，解得2+12nnna(2)231357212122222nnnnnS，23413572121222222nnnSnn，得2313111212()222222nnnSn11112(1)3214212212nnn152252nn所以2525nnnS解析：18.答案：（1）因为3sincos0AA，所以2sin()06A，即56A，A 为钝角，与13ab矛盾，故中仅有一个正确，正确；显然13sin24ABCSbcAV，得3bc；当正确时，由2222cosabcbcA，得2220bc（无解）
20、,当正确时，由于3bc，3b，得1c；（2）因为56A，2CAD，则3BAD,则1sin1212sin2ABDACDAB ADBADSSACADCADVV，13ADBABCSSVV，故ABDV的面积为312解析：19.答案：（1）由已知得（1）由已知得/ADEB，/CGEB，所以/ADCG，故,AD CG确定一个平面，从而,A C G D四点共面由已知得ABEB，ABBC，故AB平面 BCGE又因为AB平面 ABC，所以平面ABC平面 BCGE（2）作 EHBC，垂足为H因为EH平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，所以EH平面 ABC 由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC，可求
21、得1,3BHEH以 H 为坐标原点，HCuuu r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则1,1,0A，1,0,0C，2,0,3G，1,0,3CGuuu r，2,1,0ACuuu r设平面 ACGD 的法向量为,nx y zr，则3020n CGxzn ACxyruu u rruu u r令3x，则3,6,3nr又平面 BCGE 的法向量可取为0,1,0mu r，所以32mnrrcos，因此二面角BCGA的大小为 30 解析：20.答案：（1）设直线:(0,0)lykxb kb，11(,)A x y，22(,)B xy，(,)MMM xy将 ykxb代入2229xym
22、得2222(9)20kxkbxbm，故12229Mxxkbxk，299MMbykxbk于是直线 OM 的斜率9MOMMykxk，即9OMkk所以直线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值（2）四边形 OAPB 能为平行四边形因为直线l 过点(,)3mm，所以 l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k，3k由第 1 问得 OM 的方程为9yxk设点 P 的横坐标为Px由2229,9,yxkxym得2222981Pk mxk，即239Pkmxk将点(,)3mm 的坐标代入直线l 的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmk kxk四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB与线段 O
23、P 互相平分，即2PMxx于是22(3)23(9)39kmmk kkk解得124747kk，因为0,3iikk，12i，所以当 l 的斜率为47或47时，四边形OAPB 为平行四边形解析：21.答案：（1）1211122211212150021500430.8625000503125000200iiiiiiiuyruyuuyy1212122211121414100.91770.2117700.308iiiiiiixvxvxvrxv则12rr，因此从相关系数的角度，模型xtye的拟合程度更好（2）（i）先建立v关于 x 的线性回归方程由 lnlnx tyext，得，即 vtx由于11122121
24、40.018770iiiiixxvvxx4.200.018203.84tvx所以 v 关于 x 的线性回归方程为?0.023.84vx，所以?ln0.023.84yx,则0.023.84?=xy e（ii）下一年销售额y 需达到 90 亿元，即?90y，代入0.023.84?=xy e得，0.023.8490=xe，又4.499890e,所以 4.49980.023.84x，得4.49983.8432.990.02x所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99 亿元解析：22.答案：（1）fx 的定义域为1，22421xxfxx当122x时，0fx，当22x时，0fx所以函数fx在122，-上
25、单调递减，在22,上单调递增（2）设22ln11xg xxaxx，则22222121142112111xxxxgxaaaxxx因为0 x，故211101x,当2a时，20a，0gx，所以g x在0,单调递减，而00g，所以对所有的0,0 xg x，即fxax；当 12a时，021a，若220,1aaxa，则0gx，g x单调递增，而00g，所以当220,1aaxa时，0g x，即fxax，不合题意；当1a时，21a，0gx，所以g x在0,单调递增，而00g，所以对所有的0 x，0g x，即fxax，不合题意综上，2a满足题意，即a的最小值为2（3）由1111nnaa得，11nnnnaaaa，由11a得，0na，所以1111nnaa，数列1na是以111a为首项，1 为公差的等差数列，故1nna，1nan，111nan,11111lnln1122123nnnnanSanannL由第 2 问知2a时，22ln121xxxx，0 x，即2ln121xxxx，0 x令1xn，得111ln21nnn nn，即1111ln1ln21nnnnn因为1111ln1lnln12121nknkknkkn所以111ln112123nnnnL故11ln2nnnnaSaa解析：