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1、广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版1/10 河源中学 2012-2013 学年度高三级第一学期第一次段考数学（理）试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第 II卷（非选择题）两部分共150 分，考试时间120分钟温馨提示：1、答第 I 卷前，考生务必将自己的试室号、座位号、姓名、班别填写在答题卡上2、不可以使用计算器3、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交参考公式：.柱体的体积公式ShV.其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高.锥体的体积公式ShV31.其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高.第卷（选择题共 40 分）一、选择题(每小题 5 分，共 40 分，每
2、小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.i为虚数单位,复数ii13=A.i2 B.i2 C.2i D.2i2.已知全集4,3,2,1,0U,集合3,2,1A，4,2B，则BACU)(为（）A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D 0,2,3,4.已知p:1m,q:012,2mxxxR,则p是q的（）A 充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4.若抛物线axy22的准线经过双曲线1322yx的右焦点，则a=（）A4 B4 C2 D25.在正项等比数列na中，442aa,143S,数列nb满足nnab2log,则数列nb的前 6 项和是（）广东省河源中学20
3、13 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版2/10 开 始1S结 束3i100?Si输出2ii*SS i是否A0 B2 C 3 D.56.如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有A10 B12 C13 D15 7.设xxxf22.若当0,2时，0)3(1cos12mfmf恒成立，则实数m的取值范围是A2,B.),12,C1,2 D.,12,8.已知集合,20,20|),(RcacacaA，则任取(a,c)A,关于x的方程022cxax有实根的概率（）A.22ln1 B.42ln21 C.22ln1 D.42
4、ln23第卷（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共7 小题，考生答6 小题，每小题5 分，满分30 分）（一）必做题（9-13 题）9.已知向量)2,(),1,2(xba，若ba/，则ba=.10.已知程序框图如右，则输出的i=.10.一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为 .2 3 正视图3 侧视图2 2 1 1 1 1 俯视图广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版3/10 12.已知函数3()3(2)f xxfx，令(2)nf，则二项式nxx)2(展开式中常数项是第项.13.设非空集合|lxmxS满足：当Sx时，有Sx2。则下列三个命题中
5、：若1m，则 1S；若21m，则141l；若21l，则022m。正确命题是（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14（极坐标与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为cos()3 24，圆C：cossinxy（为参数）上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为15.（几何证明选做题）如图圆O的直径6AB,P 是 AB的延长线上一点,过点 P 作圆O的切线,切点为 C,连接 AC,若030CPA,则PC .三、解答题（本大题共6 小题，满分80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本题满分12 分）已知函数Rxxxxxf,212cos2cos2sin)(2()求函数()
6、f x的最小正周期;()若已知)20(,54)cos(,54)cos(，求)4(f的值.17（本题满分13 分）本着低碳、自由的生活理念，骑行的人越来越多。某市公益自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足 1 小时的部分按1 小时计算）。有甲、乙两人独立来该租车点租车骑行（各租一车一次）。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为21,41；两小时以上且不超过三小时还车的广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版4/10 概率分别为41,21；且两人租车时间都不会超过四小时。（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（
7、）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E；18.（本题满分13 分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，CE AB，BC/AD。（）求证：CE平面PAD；（）若PAAB1，AD3，且CD与平面PAD所成的角为45，求二面角BPE A的正切值。19.（本题满分14 分）已知数列na是递增的等差数列，且满足352616,10.aaaa（）求数列na的通项公式；（）令32)7(nnnab，求数列nb的前n项和nT()令1,23)222(12cnnTcnnn且）（，求证341.1121nccc20.（本题满分14 分）已知椭圆)0,0(12
8、222babyax的离心率为36，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线mkxyl:交椭圆于不同的两点A，B（）求椭圆的方程（）若坐标原点O到直线l的距离为23，求AOB面积的最大值21.（本题满分14 分）已知函数2()()xf xaxbxc e(0)a的图像经过点(0,2)，广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版5/10 4cos()coscossinsin(1)54cos()coscossinsin(2)5coscos00cos022且在该点的切线方程为420 xy.（）若)(xf在),2上为单调增函数，求实数a的取值范围；（）若函数()()F xf x
9、m恰好有一个零点，求实数m的取值范围.一、选择题：BCABC CDB 二、填空题：9、（-2，-1）；10、9；11、39；12、5；13、14、123 15、33三、解答题：16、（1）)4sin(22212cos1sin21)(xxxxf，2T.5 分（2）.8 分.10 分 12 分法二：同上。17（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为11 114 28P，付 2 元为21 112 48P，22sin22)4(f0)sin()cos()cos()sin()()sin(2sin53)sin(,53)sin(202,2,20广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新
10、人教 A 版6/10 1(0)81 11 15(2)4 42 2161 11 11 15(4)4 42 42 4161 11 13(6)4 42 4161 11(8)4 416PPPPP5591784822E付 4 元为31 114 416P，则所付费用相同的概率为123516PPPP 4 分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8 5 分分布列为 10 分 13 分18.(5 分).(7分).(10分).(11分)(13 分).(10分)02468P18516516316116广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版7/10 11223211
11、223214334.34344)334.34344)(34(34nnnnnnnnnnnnnnc.(13 分)19.解：（1）根据题意：536210aaaa，又1653aa，所以53,aa是方程210160 xx的两根，且53aa，解得2,835aa，所以3d，73nan.5 分（2）nnnnnab232)7(，则nnnnnT22)1(2322211321113222)1(2)2(22212nnnnnnnT 7 分一，得111321221)21(2222222nnnnnnnnT,9 分所以22)1(222111nnnnnnT.10分（3）nnncn342时，当，且11c满足上式。nnnc34cn
12、4n3n4 4n133n-14n13(4n13n1)4n1，1411nnc.12 分34411)411(141.414111.111121321nnncccc 14 分法二：由43)43(n得1433nn cn4n3n4n-3 4n-14n1，同上。法三：由同上。（考察指数幂的并项放缩）广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版8/10 .答案解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，解得2c.222abc由得，b=1.所求椭圆方程为221.3xy4 分（）23,21mk由已知可得223(1)4mk.6 分ykxm将代入椭圆方程，222(13)6330kxk
13、mxm整理得.22264 1 3330()kmkm2121222633,131 3kmmxxxxkk.8 分2222222212223612(1)(1)()(1)(31)31k mmABkxxkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk242221212123334(0)196123696kkkkkk 12 分2219kk当且仅当，33k即时等号成立.，33k经检验满足(*)式，.03.kAB当时，max2AB综上可知，1332222ABAOBS当最大时的面积取最大值，.14 分.解：（1）由(0)22fc1 分广东省河源中学2013 届高三数学上学
14、期第一次段考试题理 新人教 A 版9/10 22()(2)()(2)xxxfxaxb eaxbxc eaxaxbxbc e0(0)()4fbc e所以2b3 分2()22xf xaxxe2()(224)(2)(2)0 xxfxaxaxxeaxxe在2,)上恒成立即(2)0ax2ax1a5 分（2）()0f xmym和()yf x恰好有一个交点2()(224)(2)(2)xxfxaxaxxeaxxe当0a时()f x在区间2(,),(2,)a单调递减，在2,2a上单调递增，极大值为2(2)(42)fae，极小值为22()2afea，（当x趋向于时图像在x轴上方，并且无限接近于x轴）1所以22am
15、e或2(42)mae8 分当0a时：()当22a，即10a时，()f x在区间2(,2),(,)a单调递增，在22,a上单调递减，极大值为2(2)(42)fae，极小值为22()2afea，（当x趋向于时图像在x轴下方，并且无限接近于x轴）1当2(42)0ae即102a时，2(42)mae或22ame当2(42)0ae时，即112a时，2(42)0aem或22ame11 分广东省河源中学2013 届高三数学上学期第一次段考试题理 新人教 A 版10/10()当22a时，即1a时()f x在区间2(,),(2,)a单调递增，在2,2a上单 调 递 减，极 小 值 为2(2)(42)fae，极 大 值 为22()2afea，（当x趋向于时图像在x轴下方，并且无限接近于x轴）1022mea或2(42)mae13 分（）22a时，即1a时，()f x在 R上单调增（当x趋向于时图像在x轴下方，并且无限接近于x轴）此时0m14 分注1：f(x)的正负由y=ax2+2x-2 的正负决定，并结合=4(1+2a)可得！