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1、人教版九年级数学上册第二十一章21.3实际问题与一元二次方程导学案第 1 课时用一元二次方程解决传播问题1、教学目标1 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理2通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识2、预习反馈阅读教材P19“探究 1”，完成下面的探究内容问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了 x 人，第一轮后共有(x 1)人患了流感；第二轮传染中，这些人中
2、的每个人又传染了x 人，第二轮后共有1xx(1 x)人患了流感则列方程 1xx(1 x)121，解得 x10 或 x 12(舍)，即平均一个人传染了10 个人再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？3、例题讲解类型 1 利用一元二次方程解决传播问题例 1 某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1 台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1 台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？【思路点拨】设每轮感染中平均1 台电脑会感染x台电脑，用含有x的代数式表示出经过两轮感染后被感染的电脑的台数
3、，从而可列出方程【解答】设每轮感染中平均1 台电脑会感染x台电脑列方程，得1xx(1 x)81.解得x18，x2 10(舍去)第三轮被感染的电脑为：81818729(台)729 700，3 轮感染后，被感染的电脑会超过700 台答：每轮感染中平均1 台电脑会感染8 台电脑，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台【方法归纳】传播类问题规律：(1)设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为(1x)nb；(2)设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1x)nb.【跟踪训练1】某生物实验室需培育一群有益菌现有60 个活体样本，经过两轮培
4、植后，总数达24 000 个其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌，根据题意，得60(1 x)2 24 000.解得 x119，x2 21(不合题意，舍去)答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19 个有益菌类型 2 利用一元二次方程解决握手问题例 2在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780 次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？【思路点拨】设李老师所教班共有x名学生，每个人都要和其他(x1)个人握手一次，共握手x(x1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共
5、握手12x(x1)次【解答】设李老师所教班共有x名学生，依题意有12x(x1)780，即(x40)(x39)0，解得x40 或x 39(舍去)答：李老师所教班共有40 名学生【跟踪训练2】某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解：赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛，共 74 28 场比赛设比赛组织者应邀请x 队参赛，则由题意可列方程为x（x1）228.解得 x18，x2 7(舍去)答：比赛组织者应邀请8 队参赛类型 3 利用一元二次方程解决数字问题例 3 一个两位数等于其各位数字之
6、积的3 倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数【思路点拨】设这个数的个位数字为x，则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3 倍”列出方程【解答】设这个数的个位数为x，则十位数字为(x2)由题意，得10(x2)x3(x2)x.解得x153，x24.答：两位数为24.【方法归纳】数字问题常用解题技巧：(1)三个连续偶数(奇数)：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x2，x2.(2)两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10ab.(3)三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则
7、这个三位数可表示 100a10bc.【跟踪训练3】一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1 008，求这个两位数解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为(6 x)根据题意，得10(6 x)x10 x(6 x)1 008，即 x26x80，解得 x12，x24，6x4，或 6x2，10(6x)x42 或 10(6 x)x 24，答：这个两位数是42 或 24.4、巩固训练1有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C)A 11 人B10 人C9 人D8人2两个相邻正整数的平方
8、和比这两个数中较小的数的2 倍大 51，则这两个数是5，6.3某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90 人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9 个人发送短信4某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？解：设每个枝干长出x个小分支，则有1xx291，即x2x900.解得x19，x2 10(舍去)答：每个枝干长出9 个小分支5、课堂小结列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根
9、据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题第 2 课时用一元二次方程解决增长率问题1、教学目标1 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理2通过实际问题中的增降情况，学会将应用问题转化为数学问题，列一元二次方程解有关增降率的应用题2、预习反馈阅读教材P1920“探究 2”，完成下面的探究内容问题两年前生产1 吨甲种药品的成本是5 000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是6 000元随着生产技术的进步，现在生产1 吨甲种药品的成本是3 000 元，生产 1
10、吨乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到 0.001)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5 0003 000)21 000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6 0003 600)21 200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降率较大相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5_000(1 x)元，两年后甲种药品成本为5_000(1 x)2元依题意，得5_000(1 x)23_000解得 x10.225，
11、x21.775(舍)根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为0.225 设乙种药品成本的年平均下降率为y.则列方程 6_000(1 y)23_600解得 y10.225，y21.775(舍)答：两种药品成本的年平均下降率相同思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？3、例题讲解类型 1 利用一元二次方程解决增长(降低)率问题例 1受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018 年利润为2 亿元，2020 年利润为2.88亿元(1)求该企业从2
12、018 年到 2020 年利润的年平均增长率；(2)若 2019 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2017 年的利润能否超过3.4亿元？【思路点拨】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x，则可用含x的代数式表示出 2016 年的利润，从而根据题意列出方程求解；(2)根据该企业从2018 年到 2020 年利润的年平均增长率来解答【解答】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意，得2(1 x)22.88.解得x10.2 20%，x2 2.2(不合题意，舍去)答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.(2)如果 2019 年仍保持相同的年平均增长率，那么2017 年该企业年
13、利润为：288(1 20%)3.456，3.456 3.4.答：该企业2019 年的利润能超过3.4 亿元【方法归纳】平均增长(降低)率问题规律：1平均增长率是指增长数与基数的比若基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1 x)，两次增长后的值为a(1 x)2.2平均降低率是指降低数与基数的比若基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a(1 x)，两次降低后的值为a(1 x)2.【跟踪训练1】某商场有一批皮衣，售价为每件5 000 元，为加快资金周转，进行了一次降价，但仍无人购买，又进行了第二次降价处理，其降价的百分率为第一次的2倍，结果以每件皮衣2 400 元的价格销售一空，问第
14、二次降价的百分率是多少？解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x.根据题意，得5 000(1 x)(1 2x)2 400.解得 x10.2 20%，x21.3 130%(不合题意，舍去)答：第二次降价的百分率为40%.类型 2 利用一元二次方程解决销售利润问题例 2百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60 元，现以每件100 元销售，平均每天可售出20 件为了迎接“五一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价1 元，那么平均每天就可多销售2 件要想平均每天销售这种童装盈利1 200 元，请你帮商场算一算
15、，每件童装应定价多少元？【思路点拨】设每件童装应降价x元，则可分别用含有x的代数式表示出每件衣服的销售利润及平均每天的销售量，再根据等量关系“每件的销售利润销售量1 200”列出方程求解即可【解答】设每件童装应降价x元由题意，得(100 60 x)(20 2x)1 200.解得x110，x2 20.商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，x20.每件童装应定价为1002080(元)答：每件童装应定价80 元【方法归纳】销售利润问题中常见的公式：利润售价成本；利润率利润成本100%.【跟踪训练2】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买
16、树苗不超过60 棵，每棵售价120 元；如果购买树苗超过60 棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于100 元，该校最终向园林公司支付树苗款8 800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60 棵树苗售价为120 元 607 200 元 8 800 元，所以该校购买树苗超过60 棵设该校共购买了x 棵树苗由题意，得x120 0.5(x 60)8 800.解得 x1220，x280.当 x220 时，1200.5(220 60)40100，x220(不合题意，舍去)；当 x80 时，1200.5(80 60)110100，x80.答：该校共购买了
17、80 棵树苗4、巩固训练1共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000 辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)A 1 000(1 x)21 000 440 B 1 000(1 x)2440 C 440(1 x)21 000 D 1 000(1 2x)1 000 440 2随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200 元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖 98 元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平
18、均每次降价的百分率解：设该种药品平均每次降价的百分率是x.由题意，得200(1 x)298.解得 x11.7(不合题意，舍去)，x20.3 30%.答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.3东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产 76 件，每件利润10 元调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14 元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4 件若生产的某档次产品一天的总利润为1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)(14 1
19、0)213(档次)答：此批次蛋糕属第三档次产品(2)设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得(2x 8)(76 44x)1 080.整理，得 x2 16x550.解得 x15，x211(不合题意，舍去)答：该烘焙店生产的是第五档次的产品5、课堂小结增长率问题：增长率(实际数基数)/基数平均增长率公式：Q a(1 x)2，其中a 是增长(或降低)的基础量，x 是平均增长(或降低)率，2 是增长(或降低)的次数第 3 课时用一元二次方程解决几何图形问题1、教学目标1能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否
20、合理2列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题2、预习反馈阅读教材P2021“探究 3”，完成下面的探究内容如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到 0.1 cm)分析：封面的长宽之比是272197，中央矩形的长宽之比也应是97，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和 7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是12(27 9a)12(21 7a)9(3a)7(3 a)97.设上、下边衬的宽均为9x cm，左、
21、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为(27 18x)cm，宽为(21 14x)cm.要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三于是可列出方程(27 18x)(21 14x)342721.整理，得 16x248x 90.解方程，得x16334(不合题意，舍去)，x26 334.上、下边衬的宽均为542734cm，左、右边衬的宽均为422134cm.3、例题讲解例如图，学校课外生物小组的实验园地是长为32 米、宽为 20 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为504 平方米，求小道的宽【思路点拨】将图中纵向的两条路
22、全部平移到图形的左边，横向的小路平移到图形的上方，则原图可以变换成如图所示的形状，种植面积和图中阴影矩形的面积相等设小道的宽为x，则阴影矩形的长、宽分别可以用含x的代数式表示出来根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可【解答】设小道的宽为x米，依题意，得(32 2x)(20 x)504.整理，得x2 36x680，即(x2)(x34)0.解得x12，x234(舍)答：小道的宽为2 米【方法归纳】这类问题，通常采用平移的方法，使剩余部分为一完整矩形【跟踪训练】如图，要设计一幅宽20 cm、长 30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为32，如果要使彩条所占面
23、积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(精确到 0.1 cm)解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30 4x)(20 6x)(1 14)2030.解得 x10.6，x210.2(不合题意，舍去)故 3x1.8，2x1.2.答：横彩条宽约为1.8 cm，竖彩条宽约为1.2 cm.4、巩固训练1用长 100 cm的金属丝围成一个矩形框子，框子的面积不可能是(D)A 375 cm2B 500 cm2 C625 cm2D700 cm22公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的
24、面积为18 m2，求原正方形空地的边长设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(C)A (x1)(x2)18 Bx23x160 C (x1)(x2)18 Dx23x160 3如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m若矩形的面积为4 m2，则 AB的长度是1m.(可利用的围墙长度超过6 m)4如图，一块长方形铁皮的长是宽的2 倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5 cm，容积是 500 cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽解：设这块铁皮的宽是x cm.根据题意，得5(x 10)(2x 10)500，解得 x115，x2 0(舍去)所以 x15，2x30，答：这块铁皮的长是30 cm，宽是 15 cm.5、课堂小结用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程