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1、湖南教育出版社SHUXUE普通高中教科书必 修 第一册数学普通高中教科书湖南教育出版社S H U X U E必 修 第一册数学定价：19.22 元?全国优秀教材二等奖数学普通高中教科书必 修 第一册湖南教育出版社S H U X U E主 编 张景中 黄步高 执行主编 李尚志副 主 编 何书元 朱华伟本册主要编者 张景中 郑志明 朱华伟 李立斌 何书元 彭翕成 胡 旺 马佑军 主 编 张景中 黄步高 执行主编 李尚志副 主 编 何书元 朱华伟本册主要编者 张景中 郑志明 朱华伟 李立斌 何书元 彭翕成 胡 旺 马佑军 书 书 书寒来暑往?明镜白发?江水东逝?沧海桑田?我们生活的这个世界?包括我们
2、自身?都在不断地运动或变化?古希腊哲学家赫拉克利特说?人不能两次踏入同一条河流?他用生动的比喻说明一切都在不断地变化?但他没有把概念说清楚?什么叫同一条河流?昨天的黄河和今天的黄河是一条河还是两条河?当时有的哲学家则认为?变化和运动只是人的幻觉?例如?芝诺提出了?飞矢不动?的著名怪论?他说?箭在每一瞬间都要占据确定的位置?所以每一瞬间都是静止的?既然每一瞬间都是静止的?怎么会动呢?由上面两例可见?古人注意到了物体的状态和位置总是在不断变化?但他们尚未找到合理地刻画运动和变化的方法?难以理解事物的状态和位置怎么可以既是确定的又是变化的?他们或者否定运动的可能性?或者否认变化中的事物是同一事物?直
3、到?世纪?数学中出现了变量与函数的概念?人们才逐渐掌握了精确地描述运动与变化的工具?在初中课程里?我们对函数的概念和表示方法有了初步的了解?并知道了一些应用的实际例子?温故知新?举一反三?我们将通过更丰富的实例?进一步体会函数是描述变量间的确定性依赖关系的重要数学模型?同时学习用集合与对应的语言来刻画函数?用更准确?更简洁的语言来表述数学的概念?方法和把实际问题提炼为数学模型的过程?事物的确定性变化过程有两个具有代表性的重要类型?一类是单调地增减?一类是反复地循环?前一类的基本数学模型?有幂函数?指数函数和对数函数等?后一类的基本数学模型?是以三角函数为代表的周期函数?这几类函数?能够描述解释
4、大量的自然现象和社会现象?能够帮我们解决许多重要的实际和理论问题?很快?我们就要和这些新朋友认识了?1书 书 书为了描述分析非确定性的变化过程?统计学?概率论等数学分支应运而生?学一些这方面的初步知识?有助于我们开阔视野?进一步认识大千世界?为给同学们提供增长见识?开阔视野的空间?编者对有些教学内容做了一定的扩展?如?多知道一点?数学文化?数学实验?等?希望同学们喜欢?学习数学的新阶段开始了?不久你将看到?学过的代数?几何?包括各种运算?还有方程?将连成一片?奏出以函数为主旋律的乐章?2书 书 书?集?合?常用逻辑用语?数学文化?从德?摩根到康托尔?逻辑与集合?小结与复习?复习题一?相等关系与
5、不等关系?从函数观点看一元二次方程?一元二次不等式?小结与复习?复习题二?函?数?数学实验?用计算机作函数图象和列函数表?函数的基本性质?数学文化?函数概念的形成与发展?小结与复习?复习题三?1书 书 书?实数指数幂和幂函数?指数函数?对数函数?数学文化?历史上的对数?函数与方程?数学实验?用二分法求方程的近似解?函数模型及其应用?小结与复习?复习题四?任意角与弧度制?任意角的三角函数?三角函数的图象与性质?函数?的图象与性质?数学实验?用计算机作函数?的图象?三角函数模型的简单应用?数学文化?三角学的历史?小结与复习?复习题五?获取数据的途径及统计概念?抽?样?数学文化?文学摘要?的破产?统
6、计图表?数学实验?利用计算机制作统计图表?用样本估计总体?数学文化?统计与文学作品鉴定?数学文化?大数据?小结与复习?复习题六?数学词汇中英文对照表?后?记?2书 书 书数学是科学的语言?科学的语言要严谨简洁?还要全球通用?无须转译?集合与逻辑?为严谨简洁而且通用的语言系统提供了基础?集合与逻辑必修第一册书 书 书?三国志?记载?布有良马曰赤兔?据?三国演义?描述?这匹宝马后来跟随关羽并大展神威?思考?下面三句话里的?是?各自的含义是什么?关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马?赤兔马是红马?红马是马?第一个?是?的含义相当于?另外两个呢?集?合?讨论问题或思考问题?常常需要把一些对象放在一起考虑?并且
7、给这些对象一个总的名称?在数学语言中?把一些对象放在一起考虑时?就说这些对象组成了一个集合或集?给这些对象的总的名称?就是这个集合的名字?这些对象中的每一个?都叫作这个集合的一个元素?例如?单词?中出现的字母组成一个集合?是这个集合的一个元素?太阳系的八大行星组成一个集合?地球是这个集合的一个元素?所有大于?的素数组成一个集合?是这个集合的一个元素?等等?集合论中最基本的关系是集合和它的元素之间的归属关系?表达归属关系的符号是?读作?属于?2第 1 章集合与逻辑书 书 书若?是一个集合?是?的一个元素?记作?读作?属于?反过来?若?不是?的元素?记作?或?读作?不属于?集合是数学中最基本的概念
8、?具有以下基本属性?同一集合中的元素是互不相同的?集合中的元素是确定的?亦即给定一个集合?任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的?集合中的元素没有顺序?有了符号?许多数学事实就可以用简单明确的符号来表达?设?表示直线?上全体点组成的集合?的含义是什么?解?表示?是直线?上的一个点?数学里最常用的集合是各种数的集合?简称数集?例如?全体自然数组成的集合叫自然数集?记作?全体整数组成的集合叫整数集?记作?全体有理数组成的集合叫有理数集?记作?全体实数组成的集合叫实数集?记作?通常用?表示全体正实数组成的集合?类似的有?元素个数有限的集合叫有限集?或有穷集?元素无限多的集合叫无限集?或无穷集?没有
9、元素的集合叫空集?记作?空集也是有限集?下列集合中哪些是空集?哪些是无限集?一元二次方程?的全体实根之集?所有素数之集?满足条件?和?的所有实数组?之集?满足条件?和?的所有实数组?之集?解?和?是空集?和?是无限集?3必修第一册书 书 书?使用?和数集符号来替代下列自然语言?是正整数?即?槡?不是有理数?即?是正有理数?即?是整数?即?是负实数?即?下列集合中哪些是空集?哪些是有限集?哪些是无限集?小于?的素数构成的集合?一元二次方程?的全体实根之集?满足条件?和?的所有实数组?之集?满足条件?和?的所有实数组?之集?表示一个集合?就是把它有哪些元素交代清楚?生活中常见的方法?是把集合中的元
10、素一一列举出来?饭馆里的菜单?计算机里的文件夹?各种委员会名单?都是这样做的?这叫作列举法?数学里用列举法表示集合?常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字?相邻的名字用逗号分隔?例如?小于?的正偶数组成的集合?用列举法可以表示为?或?等?用列举法表示下列集合?由方程?的所有实数解构成的集合?平方小于?的所有素数之集?解?无限集一般不能用列举法表示?有限集如果元素太多或叫不出名字来?例如某池塘里所有鱼的集合?也不便用列举法来表示?这时可以把集合中元素共有的?也只有该集合中元素才有的属性描述出来?以确定这个集合?这叫作描述法?集会时介绍嘉宾常用列举法?致辞里说?女士们?先生们?用的就是描述法
11、?在数学里常用描述法来表示集合?一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性?例如?前面提到的集合?用描述法可以表示为?小于?的正偶数?又如本节?思考?中红马这一集合?可以表示为?红马?而?赤兔4第 1 章集合与逻辑书 书 书马是红马?可以表示为?赤兔马?红马?这里的?是?相当于?有些集合用一句话描述起来不方便?通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式?再画一条竖线?然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件?例如?任何一个偶数都可以表示为?的形式?我们把所有偶数的集合表示为?选择适当方法用符号表示下列用自然语言说明的集合?平面?上以点?为圆心?半径为?的圆上所有点的集合?这里平面?
12、指该平面上所有点组成的集合?由方程?的所有整数解组?构成的集合?解?用描述法?用列举法?用描述法?图?数学里最常用的一类集合叫区间?如图?设?是两个实数?所有大于?并且小于?的实数组成的集合叫作一个开区间?记作?用符号表示就是?若从上下文可看出?是实数?就可以简单地写作?类似地?所有满足?的实数?组成的集合叫作一个闭区间?记作?举一反三?还有左开右闭区间?和左闭右开区间?实数?分别叫作上述区间的左端点和右端点?实数集?可以用区间表示为?符号?读作?无穷大?或?无穷?和?分别读作?负无穷大?或?负无穷?和?正无穷大?或?正无穷?有了符号?我们就可以把满足条件?的实数?组成的集合用区间的形式分别表
13、示为?用区间表示下列集合?解?5必修第一册书 书 书?用列举法表示下列集合?不超过?的素数?五边形?的对角线?的正约数?用自然语言描述下列集合?用区间表示下列集合?且?子集和补集?观察下列各组集合?你能发现两个集合间的关系吗?等边三角形?等腰三角形?可以发现?中的集合?的每个元素都是集合?的元素?中的集合?与集合?也有这种关系?如果集合?的每个元素都是集合?的元素?就说?包含于?或者说?包含?记作?或?读作?包含于?或?包含?例如?等边三角形?等腰三角形?上述定义也就是说?若由?能推出?就说?若?包含于?则称?是?的一个子集?例如?素数集是?的子集?按定义有?也就是说?每个集合都是它自己的子集
14、?我们规定空集包含于任一集合?是任一集合的子集?如果?并且?就说两个集合相等?记作?如果?但?就说?是?的真子集?记作?读作?真包含于?例如?回顾本节?思考?中的?红马是马?可以表示为?红马?马?这里的6第 1 章集合与逻辑书 书 书?是?相当于?图?如图?大圆和小圆分别表示两个集合?小圆画在大圆里?表示前者是后者的真子集?这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图?即?图?包含关系有传递性?若?则?若?则?等等?思考?你能写出数集?之间的包含关系吗?设?是计算机作图的三种基本色?红?蓝?绿组成的集合?写出?的所有子集?分析?如何不重不漏地写出集合?的所有子集呢?可采用下面的步骤?因为空集?是所有集
15、合的子集?所以首先写出?写出所有由一个元素构成的子集?写出所有由两个元素构成的子集?写出所有由三个元素构成的子集?解?共有?个?下象棋的时候?看看棋盘上的局势?就知道被吃掉的有哪些棋子?上课的时候?看看教室里的同学?就知道谁没有来?图?如果在某个特定的场合?要讨论的对象都是集合?的元素和子集?就可以约定把集合?叫作全集?或基本集?若?是全集?的子集?中所有不属于?的元素组成的子集叫作?的补集?记作?即?且?其韦恩图表示如图?所示?当?可以从上下文确知时?的补集也可以记作?显然?一般地?不论?是否是?的子集?都可用?表示?中不属于?的元素组成的子集?设?求?和?解?由条件可知?因此?7必修第一册
16、书 书 书把区间?看成全集?写出它的下列子集的补集?解?用?表示?的补集?则有?设?是由?的全体正约数组成的集合?写出?的所有子集?判断下列每对集合之间的关系?是?的约数?设?求?把区间?看成全集?写出它的下列子集的补集?公孙龙?中国古代哲学家?白马论?是他的一篇哲学名篇?文中的一个主要论题是?白马非马?他提出的理由之一是?求?马?黄?黑?马皆可致?求?白马?黄?黑?马不可致?是白马之非马?审矣?意思是?若说要马?黄马黑马都行?若说要白马?黄马黑马就不行了?可见白马非马是无疑的了?想一想?公孙龙话里的奥妙在哪里?我们日常说话用的自然语言虽然生动通俗?但很难做到严谨?因为常有一字多义的情形?白马
17、非马?的?非?字?乃?是?字的反义词?是?字的用法有多种?例如?关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马?这里的?是?相当于数学中的?表示?关羽千里走单骑的坐骑?和?赤兔马?是同一个事物?赤兔马是红马?这里的?是?相当于集合符号?表示?赤兔马?是?红马?集合的一个元素?红马是马?这里的?马?是个大集合?红马?是个小集合?是?字表示的是两个集合之间的包含关系?即红马集合包含于马集合?可见?是?字身兼多义?如表示?等于?属于?或?包含于?那么?非?字也就可以表示?不等于?不属于?或?不包含于?了?公孙龙所论证的实际上是?白马集合不等于马集合?这个意思大家一听就明?但含糊地说?白马非马?通常会被理解成?白马集合
18、不包含于马集合?就引起讨论的兴趣了?这个例子说明?使用集合的思想和一词一义的数学概念?有助于把事情弄清楚?8第 1 章集合与逻辑书 书 书?集合的交与并?某电子技术服务公司在报纸上刊登广告招聘工作人员?对应聘人员的要求是?高中或高中以上学历?中文打字速度达?字?这里有两个条件?满足其中一个条件的人员组成一个集合?两个条件就确定了两个集合?该公司希望?应聘人员是这两个集合的共有元素?在数学里?把所有既属于?又属于?的元素组成的集合?称为?与?的交集?记作?读作?交?即?且?图?图?是交集的韦恩图?阴影部分表示两个集合的交集?数学里常常用到交集?例如?把直线和平面都看成点的集合?两直线的交点就是它
19、们交集的元素?两平面的交线就是它们的交集?交集是空集时两平面平行?求下列每对集合的交集?解?设方程?的全体解组成集合?方程?的全体解组成集合?求?解?是两个方程联立而成的方程组?的解集?解方程组可得?用符号来表示就是?且?9必修第一册书 书 书?生活中?可能碰到两组东西放在一起计算的问题?例如?两个阅览室共有多少种不同的报刊?几个地区共有多少种不同的野生动物?两本英语词典共收录了多少个单词?书 书 书?处理这些问题?需要引入集合的运算?集合的并?把集合?中的元素放在一起组成的集合?称为?与?的并集?记作?读作?并?即?或?也就是说?集合?由所有属于?或属于?的元素组成?图?图?是两个集合的并集
20、的韦恩图?设?槡?求?解?槡?槡?求下列集合的并集?解?交集和联立方程组的解集有关?并集和方程的解集有什么关系呢?方程?的解集为?方程?的解集为?则?是方程?的解集?所以?对于右端为零的方程?如果能将其左端分解成几个因式的乘积?就能使求解的问题简化?这是数学中常常把方程化成一端为零的形式的原因?由交集和并集的定义可得?对于任意两个集合?均有?10第 1 章集合与逻辑书 书 书?设全集?求?已知集合?求?已知集合?求?已知集合?求?习题?判断下列各组对象能否构成集合?若能构成集合?指出是有限集还是无限集?若不能构成集合?试说明理由?北京各区的名称?尾数是?的自然数?我们班身高大于?的同学?用符号
21、?和?填空?用列举法表示下列集合?组成中国国旗的颜色名称的集合?方程组?的解集?用描述法表示下列集合?奇数组成的集合?平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合?用适当的符号填空?是?的约数?只有一个元素的集合?例如?孙悟空?它有两个子集?空集?和?孙悟空?两个或三个元素组成的集合各有多少个子集?你能找出一般规律吗?11必修第一册书 书 书?把?看成全集?用区间形式写出下列各集合的补集?设?求?在?中任取两个?求它们的并集和交集?已知集合?求?已知集合?求集合?中元素的个数?已知?为非空集?为全集?且?用适当的符号填空?市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸?日报和晚报?方面的取向?抽样调查了?个市
22、民?调查结果显示?订阅日报的有?人?订阅晚报的有?人?其中两种都订的有?人?试问?只订日报不订晚报的有多少人?只订晚报不订日报的有多少人?至少订一种报纸的有多少人?有多少人不订报纸?设?为全集?且?求?的取值范围?已知?求集合?12第 1 章集合与逻辑书 书 书?前面?我们在用集合的基本符号?解释包含?并和交等概念的含义时?还用到一些其他词语?例如?若由?能推出?就说?集合?由所有属于?或属于?的元素组成?其中用了?若?推出?就?所有?或?等词语?这些在数学乃至科学中常常用于引入概念?表述规律?推导定理法则或交流信息的词语?经过规范化使之意义更为清楚严谨后?叫作逻辑用语?逻辑用语是一种理性语言
23、?是表达理性思维的载体?学习常用逻辑用语?掌握常用逻辑用语的用法?就可以利用这些逻辑用语准确?简洁地表述数学内容和数学思想?同时?在各种交流活动中?也可以利用这些逻辑用语严密地表述对各种问题的思考结果?借助这些逻辑用语梳理学过的数学事实?知识会更清晰更有条理?分析?解决问题的能力也会有所提高?命?题数学里的猜想?定理?公式都以命题的形式呈现?欧几里得的?原本?的主体内容?就写成了几百个编号的命题?一般说来?命题就是一个陈述句?节?思考?中列出的三个陈述句?都可以认为是命题?下面这类的语句都是数学中的命题?两个奇数之和是一个偶数?三角形的三个内角之和等于?若?是非零实数?则?槡?是无理数?若实数
24、?满足?则?上述这些陈述句的共同特征是作出了判断?这种判断可能成立?也可能不成立?两者必居其一且仅居其一?这种语句叫作命题?成立的命题叫作真命题?不成立的命题叫作假命题?例如?上述命题中有?个真命题?而最后一个是假命题?我们学过的公理?基本事实?定理都是真命题?13必修第一册书 书 书判断下列语句哪些是命题?是真命题还是假命题?书 书 书?等腰三角形两底角相等?若?是任意实数且?则?解?因为无法判断它的真假?故不是命题?真命题?假命题?例如?但?数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想?一个好的猜想将推动数学的发展?因为人们在证明或否定猜想的过程中会提出许多新的数学概念和新的数学方法?如果?是一
25、个命题?则?不成立?也是一个命题?叫作?的否定?记作?读作?非?显然?也是?的否定?在?和?两者之中?一定有一个为真有一个为假?写出下列命题?的否定?是方程?的根?书 书 书?相似三角形的面积一定相等?是?的倍数?解?不是方程?的根?相似三角形的面积不一定相等?不是?的倍数?在数学中?命题通常由条件和结论组成?例如?若两个三角形全等?则它们相似?若两个三角形相似?则它们全等?若实数?则?若四边形?为菱形?则?若?则方程?没有正的实根?若?则?上述命题都具有?若?则?的形式?其中?叫作命题的条件?叫作命题的结论?当命题?若?则?为真?则记作?读作?推出?当命题?若?则?为假?则记作?读作?推不出
26、?上述命题?和?条件和结论互换了位置?这时称一个是另一个的逆命题?14第 1 章集合与逻辑书 书 书即命题?和?互为逆命题?想一想?上面?个命题及其逆命题?哪些是真命题?判断下列命题的真假?并说明理由?若?是任意实数?则?若?是实数且?则?若?则?有两个不相等的实数根?若?有两个不相等的实数根?则实数?写出下列命题的否定?并判断其真假?不是?的约数?是不等式?的解?方程?有实数根?空集是集合?的子集?判断命题?两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形?的真假?充分条件和必要条件当?若?则?成立?即?时?把?叫作?的充分条件?叫作?的必要条件?可以理解为若?成立?则?一定也成立?即?对于?的成立是充
27、分的?反过来?若?不成立?则?必不成立?即?对于?的成立是必要的?自然地?若?则?不是?的充分条件?也不是?的必要条件?对照?节例?后面列出的?个命题可知?命题?为真命题?故?全等?是?相似?的充分条件?相似?是?全等?的必要条件?命题?为假命题?故?相似?不是?全等?的充分条件?全等?不是?相似?的必要条件?命题?为真命题?故?实数?是?的充分条件?是?实数?的必要条件?命题?为真命题?故?四边形?为菱形?是?的充分条件?是?四边15必修第一册书 书 书形?为菱形?的必要条件?命题?为假命题?故?不是?方程?没有正的实根?的充分条件?方程?没有正的实根?也不是?的必要条件?命题?为真命题?故
28、?是?的充分条件?是?的必要条件?如果既有?又有?就记作?即?既是?的充分条件?又是?的必要条件?此时我们称?是?的充分必要条件?简称充要条件?当然?此时?也是?的充分必要条件?换句话说?如果一个命题和它的逆命题都成立?则此命题的条件和结论互为充分必要条件?上述命题?的逆命题也是真命题?故?实数?是?的充分必要条件?也是?实数?的充分必要条件?是?的充分必要条件指?成立当且仅当?成立?在这种情况下?和?称为互相等价?两个互相等价的命题或条件通常是对同一事物从不同角度所作的描述?例如?三角形全等的判别条件?分别从不同方面描述了两个三角形全等的同一个事实?它们互相等价?从?充分而不必要条件?必要而
29、不充分条件?充要条件?和?既不充分又不必要条件?中选择适当的一种填空?是?为正数的?四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的?四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的?若?则?是?的?分析?分别考虑命题?若?则?和?若?则?的真假性?解?因此应填?充分而不必要条件?四边形是矩形?四边形的两对角线相等?反之不成立?因此应填?必要而不充分条件?四边形的一组对边平行且相等?四边形的两组对边分别平行?它们实际上都在描述四边形是平行四边形?因此应填?充要条件?时?因此应填?既不充分又不必要条件?16第 1 章集合与逻辑书 书 书试证?在实数范围内?是?的充分而不必要条件?四边形的两组对边分别
30、相等是四边形为矩形的必要而不充分条件?证明?则?是?的充分条件?由于?故?则?不是?的必要条件?因此?是?的充分而不必要条件?记?四边形的两组对边分别相等?四边形为矩形?则?是?的必要条件?由于平行四边形的两组对边分别相等?则?不是?的充分条件?因此?四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件?在学习平面几何时?我们知道有性质定理和判定定理的说法?例如?等腰三角形两底角相等?叫作等腰三角形的性质定理?意思是说等腰三角形必有?两底角相等?这条性质?即此性质是等腰三角形的必要条件?反过来?有两角相等的三角形是等腰三角形?叫作等腰三角形的判定定理?它揭示了具备此条件的三角形肯定是等腰三
31、角形?即它是三角形成为等腰三角形的充分条件?把性质定理和判定定理综合起来就是简单的一句话?两角相等是三角形为等腰三角形的充要条件?使用充分条件?必要条件和充要条件这些逻辑用语来表述?学过的数学知识就更有条理了?下面列出直角三角形的?条性质?两锐角之和等于直角?有且只有一条边是最长边?有一条边上的中线等于此条边的一半?有一边的平方等于另两边的平方之和?有一条边上的高分此边所成两线段的积等于此高的平方?有一条边是三角形外接圆的直径?试指出哪些性质是三角形为直角三角形的充要条件?解?以上除?之外?其余?条都是三角形为直角三角形的充要条件?下列命题中?哪些命题是?四边形是矩形?的充分条件?四边形的对角
32、线相等?四边形的四条边均相等?四边形有三个内角都为直角?四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补?17必修第一册书 书 书?设?下列各式中哪些是?的必要条件?从?充分而不必要条件?必要而不充分条件?充要条件?与?既不充分又不必要条件?中选出适当的一种填空?中?是?的?是?的?是?的?是?的?全称量词和存在量词?前面看到?像?这样带有不确定变量的语句不是命题?但如果加上一个约束?例如?对每一个实数?有?或者?有一个实数?使?它们就是命题了?前者假而后者真?有了真假就是命题?这里的?每一个?和?有一个?叫作量词?两者分别叫作全称量词和存在量词?涉及量词的命题必须指出量词的作用范围?说明?每一个?是
33、哪个集合中的每一个?有一个?是在哪个集合中有一个?任意?所有?每一个?等全称量词?数学上用符号?表示?设语句?中变量?的取值范围为集合?当?取值?时?成为一个命题?则语句?对?的任一个元素?有?成立?是命题?叫作全称量词命题?用符号简单地表示为?存在某个?至少有一个?等存在量词?数学上用符号?表示?语句?存在?的某个元素?使?成立?也是命题?叫作存在量词命题?用符号简单地表示为?全称量词和存在量词不但在数学里经常被使用?在日常生活中也经常被使用?例如?市场上卖鸡蛋的老太太说?我篮子里的每一个鸡蛋都是好的?老太太表述了一个含有全称量词的命题?每一个?是全称量词?并且指出了全称量词?每一个?的作用
34、范围是?我篮子里的鸡蛋?不是市场上的所有鸡蛋?18第 1 章集合与逻辑书 书 书在数学里有许多命题明显地或暗含地使用了量词?例如?对任意实数?这里?任意实数?和?每一个实数?是意义相同的全称量词?命题中全称量词?任意?的作用范围是实数集?用符号表示就是?又如?存在某个整数?使得?是?的倍数?存在某个?是存在量词?命题中它的作用范围是整数集?用符号表示就是?指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围?并把量词用相应的数学符号取代?对任意正实数?对某个大于?的正整数?槡?解?命题中有量词?任意?这是一个全称量词?它的作用范围是正实数集合?该命题可以写成?命题中有量词?某个?这是一个存在量词?它
35、的作用范围是大于?的正整数集合?该命题可以写成?槡?或者写成?槡?槡?如何判断含有量词的命题的真假呢?命题?我篮子里的每一个鸡蛋都是好的?究竟是真命题还是假命题?如果篮子里的每一个鸡蛋确实都是好的?这个命题就是真命题?只要篮子里某一个鸡蛋是坏的?这个命题就是假命题?例如?因为对每个实数?有?成立?所以命题?是真命题?又如?因为?所以命题?是?的倍数?是真命题?判断下列命题的真假?设?是平面上不在同一直线上的三点?在平面上存在某个点?使得?解?因为?从而有?即?因此?是真命题?因为?但当?时?不成立?因此?是假命题?因为?且?因此?是真命题?19必修第一册书 书 书?因为?只有两个实数根?或?所
36、以当?时?因此?是假命题?三点构成一个三角形?三角形总有外接圆?设?是?外接圆的圆心?则?因此?是真命题?指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围?并把量词用相应的数学符号取代?对区间?上的任意整数?有?对某个有理数?有?线段?上有一点?满足比例式?判断下列命题的真假?线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等?平面上任意两条直线必有交点?如何对含有量词的命题进行否定呢?先看下面两个例子?这个篮子里的鸡蛋都是好的?存在实数?使得?命题?的否定为?这个篮子里的鸡蛋并非都是好的?换言之?这个篮子里有鸡蛋是坏的?命题否定后?全称量词变为存在量词?肯定?变为?否定?命题?的否定为?不存在
37、实数?使得?即?对所有的实数?命题否定后?存在量词变为全称量词?肯定?变为?否定?一般地?命题?的否定是?命题?的否定是?即?20第 1 章集合与逻辑书 书 书要注意的是?在很多情形下?全称量词习惯上常常被省略?例如?三角形的任意两边之和大于第三边?平行四边形对角线互相平分?直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和?等?这里分别指的是任意三角形?任意平行四边形和任意直角三角形?平方差公式?中?和?指的是任意两个实数?写出下列存在量词命题的否定?有的三角形的垂心在其外部?有一个小于?的正整数至少有?个质因数?解?任意三角形的垂心都在其内部或边上?任意小于?的正整数至多有?个质因数?对下列含有量词
38、的命题作否定?并判断其真假?任意有理数都可以写成两个整数之商?解?有个有理数不能写成两个整数之商?假命题?真命题?对下列含有量词的命题作否定?并判断其真假?任意三角形都有内切圆?任意两个直角三角形都是相似三角形?21必修第一册书 书 书习题?判断下列命题的真假?并说明理由?菱形的两条对角线相等?末位是?的整数可以被?整除?是方程?的根?设?是整数?若?是?的倍数?则?是?的倍数?设?为任意实数?若?则?到圆心的距离等于该圆半径的直线是圆的切线?写出下列命题的否定?并判断其真假?若?三条边的长分别为?则?是直角三角形?面积相等的三角形都是全等三角形?一元二次方程至多有两个解?若?则?或?判断下列
39、命题的真假?并说明理由?是?的充分条件?是?的必要条件?四边形为正方形?是?四边形为矩形?的充分而不必要条件?是?的充要条件?是?的充要条件?的充要条件是?从?充分而不必要条件?必要而不充分条件?充要条件?与?既不充分又不必要条件?中选出适当的一种填空?是?的?是?的?两个角是对顶角?是?两个角相等?的?设?都是实数?是?是方程?的一个根?的?设?下面式子中哪个是哪个的充分条件?哪个是哪个的必要条件?22第 1 章集合与逻辑书 书 书?对下列含有量词的命题作否定?并判断其真假?存在某个整数?使得?任意实数都可以写成平方和的形式?每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数?方程?有实数根?方程?有实
40、数根?下列各组命题中?是?的什么条件?在?充分而不必要条件?必要而不充分条件?充要条件?既不充分又不必要条件?中选出一种?为什么?已知集合?设?是实数?在?的边?的中线上?的面积?的面积?已知?是?的充分条件?而?是?的必要条件?同时也是?的充分条件?是?的必要条件?那么?是?的什么条件?是?的什么条件?在?中?哪几对互为充要条件?对下列含有量词的命题作否定?并判断其真假?所有能被?整除的数都是偶数?参考?节的例?梳理初中学过的数学知识中有哪些可以用充分必要条件来表述?23必修第一册书 书 书从德?摩根到康托尔?逻辑与集合德?摩根?是英国数学家和逻辑学家?他在微积分?代数?数学史及逻辑学等方面
41、有重要的贡献?德?摩根在代数学方面?他认为?代数学实际上是一系列?运算?这种?运算?能在任何符号?不一定是数字?的集合上?根据一定的公式来进行?这样看问题?实际上是把代数放在集合的基础之上了?在逻辑学方面?他发展了一套适合推理的符号?提出了论域概念?并以代数的方法研究逻辑的演算?他认为?研究逻辑推理?先要有所讨论的一些基本对象?这些对象组成了?论域?论域本质上也就是集合?这样?实际上是把逻辑学也放到集合的基础之上了?就像两个集合?和?可以通过交或并产生新的集合一样?两个命题?和?可以通过?与?或?或?两种运算组成新的命题?和?都真?是一个命题?用符号?或?表示?读作?与?和?中至少有一个真?也
42、是一个命题?用符号?或?表示?读作?或?下面两个漂亮的公式把?和?这三个逻辑运算符号紧密联系起来?被称为德?摩根定律?具有广泛应用?或?或?有趣的是?如果把这两个公式中的命题?和?换成集合?和?和?换成集合运算?和?否定算符换成求补集的运算?就得到在集合论里面成立的德?摩根定律?两集合之交的补等于两集合补集之并?康托尔?两集合之并的补等于两集合补集之交?尽管德?摩根本人并没有提出有关集合的系统理论?但他对逻辑理论的研究却预示着集合论的出现?这表明?逻辑与集合两者之间有深刻的内在联系?集合论的创立者?是德国数学家康托尔?康托尔的集合理论中最精彩的部分?是比较两个无穷集合元素多少的理论与方法?长期
43、以来?哲学家和科学家们都认为无穷多和无穷多?24第 1 章集合与逻辑书 书 书无法比较多少?物理学家伽利略还具体思考过自然数多还是完全平方数多的问题?直观地看?自然数多?但是每个自然数的右肩膀上标注一个小小的?就成了完全平方数?这不是表明它们一样多吗?伽利略由此认为?无穷和无穷确实无法比较?康托尔?岁?时发表了关于集合论的第一篇论文?提出了比较无穷集合大小的基本概念和方法?引起了数学界的极大关注?康托尔通过深入思考?抓住了问题的要害?问题是要比较无穷之间的大小?要比较就要有个标准?什么叫大?什么叫小?什么叫一样多?标准由人来制定?但不能随心所欲?要订得合理?订得符合实际?订得能够自圆其说?道理
44、讲得通?这就要参考我们的实际经验?比较无穷集大小?我们没有经验?而对于有穷集的比较?是有办法的?大厅里有许多人?还有许多椅子?人多还是椅子多?可以数一数?更痛快的办法?是请大家就座?一个人只能坐一把椅子?一把椅子也只能坐一个人?如果没有椅子空着?又没有人站着?就可以肯定椅子和人一样多?这叫作建立两个集合之间的?一一对应?其实所谓的?数一数?也是一一对应的办法?数椅子时?指着一把椅子说?再指着另一把说?就是把椅子编了号码?也就是把椅子的集合和前若干个正整数组成的集合建立了一一对应?因此?比较两个有穷集合的大小?我们只有一种办法?就是看能不能建立一一对应?能建立一一对应?就是一样多?这是人类认识数
45、量关系的最基本的办法?也是最古老的办法?于是?比较无穷集的元素多少?也只有用这种办法?不管是有穷还是无穷?只要能够在?和?两个集合的元素之间建立某种一一对应的关系?就应当承认?和?两个集合的元素一样多?如果?和?的某个子集能建立一一对应?但?不能和?的任何子集建立一一对应?就应当承认?比?的元素多?这就是康托尔提出的观点?也是现代数学界公认的观点?按照这样的观点?自然数就和完全平方数一样多?因为两个集合之间可以建立一一对应?但是如何解释完全平方数仅仅是自然数的一小部分这个事实呢?这没有难倒康托尔?他主张既然有了定义?就按定义办事?不能因为出现了某些不符合习惯思维的现象而动摇?对于有穷集?整体比
46、部分多?对于无穷集?整体完全可能和它的某些部分一样多?这正是无穷集与有穷集的不同之处?进一步思考?这可以作为无穷集的定义?什么叫无穷集?可以和自己的某个真子集建立一一对应的集合就叫无穷集?这样的定义跳出了?无穷就是取之不尽?就是非有穷?就是没完没了?这种同语?25必修第一册书 书 书反复的圈子?这是更合理的定义?按此定义?康托尔证明了一批令人难以置信的结论?有理数和自然数一样多?线段上的点和直线上的点一样多?直线上的点和平面上的点一样多?也和空间的点一样多?是不是所有无穷集的元素都一样多呢?康托尔证明?区间?上的实数比自然数多?即一条线段上的点的个数要比自然数多?也就是说?不可能把一条线段上的
47、所有点像自然数那样一个接一个地排成一条无穷的长龙?但有理数可以?这说明无理数比有理数要多?这确实是一个重大发现?为了叙述康托尔的论证?先将区间?上每个实数?用无穷小数?表示?由于?各位数字?不全为?如?写成?为了避免不同数字组成同一个无穷小数的情况?如?约定将有限小数都写成有无穷多个非零数字的无穷小数?如?假定区间?上的实数能够像自然数那样一个接一个排成无穷的长龙?我们证明?区间?上一定能找到实数?与排进去的所有的数?都不同?这就能说明区间?上的实数不可能全部装进一条无穷的长龙?怎样找到这样的?与所有的?都不同?我们选?的小数部分所有数字?都不为?并且?与每个?至少有一位数字不同?比如?选?的
48、小数第?位?与?的小数第?位?不同?的小数第?位?与?的小数第?位?不同?一般地?选?的小数第?位?与?的小数第?位?不同?比如?当?时取?当?时取?这就得到一个与排进长龙?中的所有的实数都不同的?从而证明了无论哪一条长龙都不能将区间?上的实数全部容纳进去?康托尔的工作给数学发展带来了一场革命?由于他的理论超越直观?所以曾受到当时一些大数学家的反对?著名数学家庞加莱和康托尔的老师克罗内克都对康托尔进行非难和指责?双方争辩持续了十年之久?康托尔由于经常处于精神压抑之中?年患了精神分裂症?年在精神病院逝世?更多卓越的数学家支持康托尔?年举行的第一次国际数学家会议上?他的成就得到承认?大数学家希尔伯
49、特大声疾呼?没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶走?著名哲学家和数学家罗素称康托尔的工作为?可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作?现代数学的发展表明?康托尔的集合论在人类认识史上第一次从本质上揭示了无穷的特性?使无穷的概念发生了革命性的变化?并渗透到所有的数学分支?也给逻辑学和哲学带来了深远的影响?26第 1 章集合与逻辑书 书 书?集合是现代数学的基本概念?用集合的语言和符号表述数学事实?比起自然语言来更为严谨和简洁?而且世界通用?试结合生活中?数学中以及其他学科中的集合实例?用集合语言来描述它们?并交流用集合语言来表达的优势?集合的基本概念?可以浓缩为一个符号?有关集合的其他概念和符
50、号都可以用符号?来刻画?试结合集合的包含关系和集合的交?并?补运算?体会如何用?来刻画这些关系与运算?集合是数学的基本概念?数学概念之间的关系?需要用逻辑用语来表达?学习常用逻辑用语可以更深刻地理解数学内容?更严密地进行数学推理以及更正确地表达数学思想?举例说明什么叫作命题?如何对一个命题作否定?数学中的大量命题具有?若?则?的形式?试通过对这些命题的梳理?说明充分条件?必要条件以及充要条件的意义?当陈述语句中涉及不确定的对象时?其真假往往难以确定?使用全称量词和存在量词可以对不确定的对象进行约束?从而使语句具有确定的真假?试结合实例讨论?如何对含有量词的命题判断其真假?如何对含有一个量词的命