(完整word版)高中数学圆锥曲线重要结论讲义.pdf-淘文阁

资源描述

《(完整word版)高中数学圆锥曲线重要结论讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)高中数学圆锥曲线重要结论讲义.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、圆锥曲线重要结论椭圆1.点 P处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角.2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.椭圆22221xyab(

2、ab 0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)M xy).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则MFNF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.11.AB 是椭圆

3、22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。双曲线1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角.2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.6.若000(

4、,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）外，则过 Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.双曲线22221xyab（a 0,b o）的左右焦点分别为F1，F2，点P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.8.双曲线22221xyab（a0,b o）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)Fc当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa.当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q

5、两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N两点，则MF NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.11.AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.

6、13.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.椭圆与双曲线的对偶性质-椭圆1.椭圆22221xyab（ab o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3.若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F

7、1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22accoac.4.设椭圆22221xyab（a b 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sinsinsincea.5.若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0 e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6.P 为椭圆22221xyab（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112|2|a

8、AFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC.8.已知椭圆22221xyab（a b0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.9.过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN.10.已知椭圆22221xyab（ab0

9、）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.11.设P 点是椭圆22221xyab（a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2)122tan2PF FSb.12.设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13.已知椭圆22221xyab（ab0

10、）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、

11、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-双曲线1.双曲线22221xyab（a 0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3.若 P为双曲线22221xyab（a 0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22cacoca（或tant22ca

12、coca）.4.设双曲线22221xyab（a 0,b 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea.5.若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项.6.P 为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立

13、.7.双曲线22221xyab（a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC.8.已知双曲线22221xyab（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba.9.过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN.10.已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x

14、轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220abxa.11.设 P 点是双曲线22221xyab（a 0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2)122cot2PF FSb.12.设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13.已知双曲线22221xyab（a0,b 0）的右准线l与 x 轴相

15、交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距

16、必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一.紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1.已知点 A（3，2），F（2，0），双曲线xy2231，P 为双曲线上一点。求|PAPF12的最小值。解析：如图所示，双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知12|PF即点 P 到准线距离。|PAPFPAPEAM1252二.引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例

17、 2.求共焦点 F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t 为参数）pbc2，而ctbpcpt2再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则xctybpt消去 t，得轨迹方程ypx2三.数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3.已知x yR,，且满足方程xyy2230()，又myx33，求 m 范围。解析：myx33的几何意义为，曲线xyy22

18、30()上的点与点（3，3）连线的斜率，如图所示kmkPAPB332352m四.应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4.已知圆()xy3422和直线ymx的交点为 P、Q，则|OP OQ的值为 _。解：OMPOQN|OP OQOMON5五.应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5.已知椭圆：xy2224161，直线l：xy1281，P 是l上一点，射线OP 交椭圆于一点R，点 Q 在 OP 上且满足

19、|OQ OPOR2，当点 P 在l上移动时，求点Q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，OQOROP，共线，设OROQ，OPOQ，OQxy()，则ORxy()，OPxy()，|OQ OPOR2|OQOQ2222点 R 在椭圆上，P 点在直线l上222224161xy，xy1281即xyxy222416128化简整理得点Q 的轨迹方程为：()()xy152153122（直线yx23上方部分）六.应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法

20、和技巧之一。例 6.求经过两圆xyx22640和xyy226280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy则圆心为()3131，在直线xy40上解得7故所求的方程为xyxy227320七.巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7.过点 A（2，1）的直线与双曲线xy2221相交于两点P1、P2，求线段 P1P2中点的轨迹方程。解：设Pxy111()，Pxy222()，则xyxy12122222211212得()()()()xxxxyyyy

21、211221122即yyxxxxyy212112122()设 P1P2的中点为M xy()00，则kyyxxxyP P122121002又kyxAM0012，而 P1、A、M、P2共线kkP PAM12，即yxxy0000122P P12中点 M 的轨迹方程是24022xyxy解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题,1 个填空题,1 个解答题),共计 30 分左右,考查的知识点约为20 个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成

22、网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t(0t1)，以 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，BA交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线BA的方程；（2）计算出点P、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解:通过读图,看出,BA点的坐标.(1)显然tA1,1,，tB11于是直线BA的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(22

23、21112ttttQ；（3）ttkPT1001,tttttttttkQT1111201122222)(.由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?例 2 已知直线 l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与 x 轴、y 轴分别交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程讲解：从直线l所处的位置,设出直线l的方程,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得

24、.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得=0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(mSkmR令顶点 P 的坐标为（x，y），由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa,即为所求顶点P 的轨迹方程方程12222ybxa形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),

25、0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求k 的值.讲解：（1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd.故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去 y，整理得07830)31(22kxxk.设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则012000220115515,.21313BEyxxkxykxkkkxk,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k=7.

26、为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线 l 过左焦点F1与椭圆交于A、B 两点，ABF2的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设112212|,|,|2PFrPFrF Fc,对,21FPF由余弦定理,得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i)

28、i)当 k 不存在时，把直线cx代入椭圆方程得221,|2,2222ycABc Scc由知 S 的最大值为22c由题意得22c=12 所以2226bc2122a也可这样求解：|212121yyFFS|21xxkc故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),(,122112222yxByxAbyax由.22e得：,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym于是21,y

29、y是上述方程的两根.222121221|()()1|ABxxyymyy2)2(441222222mmccmm2)1(2222mmc,AB 边上的高212mch,从而222222)2(122122)1(2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当 m=0 取等号，即.22maxcS由题意知1222c,于是212,26222acb.故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于 A、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:yxl上.（）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对

30、称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(2222222baaxaxba,根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为（222222,babbaa）.由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa，故椭圆的离心率为22e.（2）由（1）知,cb从而椭圆的右焦点坐标为),0,(bF设)0,(bF关于直线02:yxl的对称点为,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300

32、上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*),14)2(222ayx把（*）及（*）消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例 7 如图，在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC=22。DO AB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点M、N 且 M 在 D、N 之间，设DNDM，试确定实数的取值范围

33、y=22)22(22222动点 P 的讲解:（1）建立平面直角坐标系,如图所示|PA|+|PB|=|CA|+|CB|轨迹是椭圆2,1,1abc曲线 E 的方程是1222yx.（2）设直线L 的方程为2kxy,代入曲线E 的方程2222yx，得068)12(22kxxk设M1（),(),221,1yxNyx,则.126,128,06)12(4)8(2212212kxxkkxxkki)L 与 y 轴重合时，31|DNDMii)L 与 y 轴不重合时，由得.232k又21xxxxxxDNDMNDMD,012xx或,012xx01,A O B C 212)(122121221x

34、xxxxxxx)12(332)12(664)(2222122kkkxxxx而,232k.8)12(362k,316)12(33242k316214,31012,.131,3101,21,10的取值范围是1,31.值得读者注意的是，直线L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.例 8 直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点.（1）求证：2214pxx;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.讲解:（1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF.若l x 轴，则l 的方程为4,2

35、221PxxPx显然.若 l 不垂直于x 轴，可设)2(Pxky,代入抛物线方程整理得4,04)21(221222PxxPxkPPx则.综上可知2214pxx.（2）设dcdpdDcpcC且),2(),2(22，则 CD 的垂直平分线l的方程为)4(2222pdcxpdcdcy假设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc.这时l的方程为 y=0，从而l与抛物线pxy22只相交于原点.而 l 与抛物线有两个不同的交点，因此l与 l 不重合，l 不是 CD 的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升.课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

展开阅读全文