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1、数学分析问题极限理论是数学分析这门学科的基础,极限方法是数学分析的基本方法,通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨,可以说,极限贯穿整个数学分析的始末,学好极限十分重要。完整的极限理论的建立,依赖于实数的基本性质,即实数系的所谓连续性,我们已经熟悉的单调有界原理,就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多,变化复杂,解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例,希望从中归纳出解决极限问题的方法。下面举例说明求解极限问题的若干方法,其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理,以及数学上的其他知识和技巧。一求数列极限(一)利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理1求极
2、限,这是一种简单而常用的方法。lim例1、证明(1)(a0)lim(2)证明:(1)当a=1时,等式显然成立。(hn 0)当a1时,令则:a = (1 + hn )n = 1 + nhn +由迫敛性定理故0 hn limhn = 0limlim即: (1 + hn) = 1limlimlim=1当0a 0(2)设n = (1 + hn)n = 1 + nhn +即: 0 hn lim由迫敛性定理得 hn = 0(1 + hn) = 1limlim从而:lim例:求极限令即:en由迫敛性定理可得:lim从而:由连续函数定义知:lim极限定义是判定极限是某个数的充要条件,因此有时要用到它的否定形式
3、2,现叙述如下:(二)单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则,虽然它不能判定极限是什么数,但许多问题当断定极限存在时,极限值是不难求出的。例:单调数列收敛于a的充要条件是存在子列使得a证:不妨设设是单调递增数列,必要性显然。则:充分性:若对任意的,存在k0,当kk0时:1Xnk a1 = a Xnk 0, xn(n=1、2、)为由以下各式:(n=0、1、2,)x00,lim所确定的数列,求证证:由假设x00,又由算术平均数和几何平均数之间的关系得:(n=1、2、)(n=1、2、)lim由单调有界原理,则:将lim从上面几个例子中看出,在某些数列的极限问题中,由数列各项间的递推关
4、系,由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。(三)柯西收敛准则求极限下面举例说明柯西收敛准则4的应用。证明数列 xn 是收敛的。证明:(n=1、2)(n=1、2)可归纳得到:对任意的mn,故: xn 是柯西数列,从而它是收敛的。例:判断数列解:设mn,这时:10m-n=10n+12(N+1)由柯西收敛准则,知数列 an 发散。柯西收敛准则在证明极限的存在性上有很重要的意义,在此,给出柯西收敛准则的否定形式,便于应用。柯西收敛准则否定形式:有正整数mN,nN存在,尽管mN,nNN,(四)定积分求极限由于定积分5是积分和的极限,故此,某些和式问题可以化为定积分的计算,使运算得以完成。在这里,仅举几例,来说明这种求极限的方法。