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1、不等式不等关系、一元二次不等式和简单线性规划一对一辅导教案学生姓名性别年级学科授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课共（ ）次课课时： 课时教学课题不等式、不等关系、一元二次不等式和简单线性规划 教学目标了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。教学重点与难点能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组）研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)的意义。能用不等式(组）正确的表示出不等关系.教学过程一、知识讲解一不等关系与不等式1、实数的大小比较法则设，则 ； ；.2、不等式的基本性质：定理1(对称
2、性）：. 定理2(同向传递性）:.定理3（可加性):。 推论（同向加法法则)：.定理4（可乘性):；。推论1(非负同向乘法法则）：。推论2（乘方法则）：.定理5（开方法则）：。二一元二次不等式及其解法：1、解一元二次不等式或，可利用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系一元二次不等式的解集如下表所示：判别式二次函数的图象一元二次方的根有两相异实根有两相等实根没有实数根不等式的解集或且不等式的解集2、一元二次不等式恒成立的充要条件恒成立三二元一次不等式(组)与平面区域、简单的线性规划问题1。 二元一次不等式（组)表示的平面区域（1）.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线(2）直线把平面
3、内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入所得的值的符号都相反。（3）对于直线当时，可化为：的形式.对于二元一次不等式表示的平面区域在直线的上方(包括直线）.对于二元一次不等式表示的平面区域在直线的下方（包括直线）。2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域.(2)对目标函数，若，则取得最大值(或最小值)时，也取得最大值（或最小值)；若，则反之。（3)一般地，可行域是凸多边形顶点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值.(4）注意实
4、际问题中的特殊要求.易错点一1、 不等式的性质和等式的性质：不等式性质与等式的性质的不同点主要发生在与数相乘(或相除）时,不等式两边同乘（或同除)同一个不为零的正数，不等式的符号不变：同除同一个不等于零的负数被等号改变.而等式则不然.2、不等式的同向可加性易错点：，正向成立,反向不一定成立.3、同向不等式可做加法运算，异向不等式可做减法运算,同向不等式两边为正数是可做乘法运算,如何判断能否取得等号要看是否满足条件,因此要单独讨论.易错点二1、二次项系数为参量，分类讨论不全面，漏掉二项式系数为零的讨论而丢解.2、运用“穿针引线的方法时从数轴的右上方自上而下穿根，有时因式会出现高次，穿根原则为奇（
5、奇次幂)穿,偶（偶次幂）不穿。3、不等式两边都有的（含未知量的）公因式,不要草率的约掉，要讨论其正负。4、各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组）或一元二次不等式（组）来解,这体现了转化与化归的数学思想。5、解不等式，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析,必须注意分类不重、不漏、完全、准确.易错点三1、可行区域的判断和确定，以及开放型区域和封闭式区域的确定.2、最优解的确定，最优解一定在可行区域的边界上。目标函数的三种模型，或（）根据目标函数的几何意义,确定最优解. 二、例题精析不等关系与不等式：【例题1】【题干】设，那么的取值范围是_. 【答案】【解析】不
6、等式基本性质定理4（可乘性)求出与的范围，再由定理3的推理（同向可加性）求出表达式的范围解: ，即：.【例题2】【题干】设，且 ，求的最大和最小值.【答案】【解析】于是 设 即：得： 又,，即：.所以.二、分数不等式解法： 【例题3】【题干】求不等式的解集.【答案】或【解析】原式变型得等价于,解得或 三、简单高次不等式的解法:【例题4】【题干】解不等式：【答案】解集【解析】解析:如图由“穿针引线法”得不等式的解集同时要注意“奇穿偶不穿”。 四含参量不等式的解法:【例题5】【题干】解关于的不等式。 【答案】:当或时，有，原不等式的解集为 当时，有，原不等式的解集为 当时，或，原不等式无解。【解析
7、】先将不等式转化为，在讨论两个根与的大小，进而确定不等式在取不同值情况下的解集，即得到： 当或时,有，原不等式的解集为 当时,有,原不等式的解集为 当时，或，原不等式无解. 五、可行区域的确定:【例题6】【题干】不等式组表示的平面区域是（ ） A B C D【答案】D。【解析】将不等式变成等式，画出直线，应用特殊点代入判断该区域内的点属于哪种情况。、可行区域最优解的几种模型:【例题7】【题干】设满足约束条件：分别求(1）；（2）；（3）的最大值与最小值。 【答案】（1）， （2)， （3），【解析】(1）先作可行域,如下图所示中的区域，且求得、作出直线，再将直线平移，当的平行线过点B时，可使达
8、到最小值；当的平行线过点时，可使达到最大值。故：, （2）表示区域内的点到原点的距离.则落在点时,最小，落在点时,最大，故，（3）表示区域内的点与点连线的斜率.则落在点时， 最小，落在点时，最大，故，七、含参量问题的处理:【例题8】【题干】在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ) A. B。 C。 D。 【答案】D【解析】画出可行域如图所示，当时, 目标函数在处取得最大值， 即;当时, 目标函数在点处取得最大值.即,故,从而选D；可行区域的面积问题:【例题9】【题干】在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ） （A） （B)4 （C) (D）2 【答案】B【解析】如
9、图,作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形.容易求三角形的三个顶点坐标为， 。于是三角形的面积为：从而选B。 三、课堂运用【基础】1.下列命题正确的是（ ）A。 若，则 B。 若，则C。 若,则 D。 若，则【答案】:D【解析】:利用不等式的性质进行判断。2.已知满足且，则下列选项中不一定能成立的是（） AB。C.D。【答案】：C【解析】： 注意看清题意是“不一定能成立”可通过分情况讨论的方法进行判断.3。不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是_【答案】：或【解析】：由题意可得 解得或4。不等式的解集为（ ） A. B。 C. D. 【答案】：A【解析】:由穿针引线的方法,容易得
10、到结论,选A5.设变量满足约束条件,则的最大值为 .【答案】:18【解析】：如图,画出可行域，得在直线与直线的交点处，目标函数最大值为18【巩固】1已知，则的大小关系是（）A、B、C、D、【答案】：D【解析】因为且，所以2 不等式的解集是 【答案】解集：【解析】首先分式变整式得，再由“穿针引线”易得不等式的解集:3.不等式的解集为 【答案】：解集为【解析】：由题意可得即不等式的解集为4:解关于的不等式：【答案】： （1）,不等式的解集（2)，不等式的解集(3） ，不等式的解集（4） ，不等式的解集（5） 不等式的解集【解析】:时,解得：,， 解得： ，解得 时,解得或综上 （1），不等式的解集
11、（2),不等式的解集（3) ，不等式的解集(4） ，不等式的解集（5） 不等式的解集【拔高】1.若，则的取值范围是_【答案】【解析】：,。，即:2、已知则的最小值是 .【答案】5【解析】如图只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方.由图易知是满足条件的最优解。的最小值是为5。3、某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1。2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求,计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0。6已知年利润=（出厂价投入成本）年销售量
12、(）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内?【答案】：(） （)【解析】：（）由题意得， 整理得 （)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 解不等式得 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足 4、已知函数（、为常数），且不等式(为常数）的解集为或.(1)求函数的解析式；(2）设，解关于的不等式【答案】(1）， (2）时，不等式的解集为； 当时,不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.【解析】（1)由题意有，解得，经检验知满足题意,（2)不等式可化为当时，不等式的解集为;
13、当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为课程小结通过对本节课的学习，重点掌握不等式的性质的应用,以及使用条件；熟练的进行一元二次不等式的求解，以及对参量的讨论；准确的确定二元一次不等式组所表示的区域，以及最优解的位置，从而进行运算求解.课后作业【基础】1、不等式的解集是（ ）A B C D【答案】：D【解析】：由得:,即，故选D.2。已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_。【答案】：【解析】：由题意可得 解得3若不等式的解集是，则实数【答案】：【解析】：由韦达定理可得：，解得： 所以4设函数则不等式的解集是（ ）A B C D 【答案】：A【解析】：当， 解得：或；当故选A。5、
14、已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是()A BCD【答案】：A【解析】：根据线性约束条件确定可行区域，结合目标函数的意义，容易求解，故选A。【巩固】1。已知偶函数在区间上单调递增,则的x取值范围是 【答案】:选D。【解析】：根据偶函数和单调性求解:。2.若，则的取值范围是（ ）A. B. C。 D。 【答案】：C 【解析】因为参数的值不确定，对数函数又分为两种情况，所以要进行讨论： 即：的取值范围是3.如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A。 B. C。 D. 【答案】C【解析】： （1） ，不等式对一切实数恒成立，故符合题意； （2）,只须满足，解得 综上可知
15、故选C4。若实数满足，则的取值范围是(）A、(1，1） B、（，1）(1，） C、（，1） D1,)【答案】:B【解析】：由几何意义可得：的取值范围转化为可行区域的点与点的斜率的取值范围，由图可知答案为（,1）(1,） .【拔高】、 1。已知,则的取值范围是_。【答案】【解析】：这里可以采用待定系数法不妨令：比较等式两边系数：解得:所以将这两个式子相加得：2。已知不等式的解集为，则不等式的解集为( ） A B C D 【答案】A【解析】：由韦达定理可得：解得所以，解得不等式的解集为 故选 A3。已知则不等式的解集是_。【答案】：(，【解析】：当，即时。当即时，,恒成立。综上所述:答案为（，4。
16、已知变量，满足约束条件.若目标函数（其中)仅在点处取得最大值,则的取值范围为 。【答案】：的取值范围为.【解析】：如图作出可行域，由其表示为斜率为,纵截距为的平行直线系, 要使目标函数（其中)仅在点处取得最大值。则直线过点且在直线(不含界线)之间。即则的取值范围为.5。解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为【解析】：原不等式可化为（1）设 ，不等式化为,解得.（2）设，如果，不等式可化为。 当，即时,; 当，即时,； 当,即时,解得. 如果，不等式可化为，解得或。综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时,不等式的解集为； 当时,不等式的解集为; 当时，不等式的解集为