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1、一道圆锥曲线综合题(一题15问)一道题15关,试问你能闯几关？已知椭圆方程，、为椭圆的左、右焦点，直线过交点，与椭圆交于、两点，根据下来条件,求解。（1）若为的中点，求证:为定值；（2）是否存在以为直径的圆，经过原点，若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由；（3）若,求的面积达到最大时，求直线的方程；（4）若,为椭圆上的一个动点，求的最小值；（5）设,，求的取值范围；（6）若椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆交于、两点，求四边形的面积最大值；（7)在轴上是否存在一个定点,使得为定值？（8） 是否存在一条垂直于轴的直线，使得椭圆上的任意一点到这条直线额距离与到焦点的距离之比为2？（9） 已知
2、椭圆内有一点，在椭圆上有一动点,则求的最大值和最小值分别是多少？（10)如图1，若、分别为椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于、的任意一点，直线交于点,设过点垂直于的直线为,求证：直线过定点，并求出此定点的坐标；（11）如图2，若直线过左焦点交椭圆于、两点，为右顶点，直线,分别交直线于、两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点；（12）如图3，若、是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除、外的任意一点，当自信，的斜率都存在时,并记为，求证为定值;（13）如图4,若动直线:与椭圆有且仅有一个公共点，点、是直线上的两点，且,，求四边形面积的最大值；（14）如图5,若过点且与坐标轴不
3、垂直的直线交椭圆于、两点，试探究：线段上是否存在点使得,若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由；(15）如图6,若点为抛物线上的动点,设为坐标原点，是否存在同时满足下两个条件的?点在椭圆上；点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。参考答案：（9)依题意得，如下图：因为，所以，有平面几何知识，得:，所以；（10）设,，则，因为，三点共线，所以，设直线的斜率为,直线的斜率为，所以直线过定点；（11）怎么：设,，,代入椭圆方程，并消去得:，设与轴交于点，以线段为直径的圆与轴交于点,，则，所以,，点、的坐标为,。（13）（14）存在这样的点M符合题意设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q(x2，y2），N（x0，y0）,直线PQ的斜率为k（k0），注意到F2(1，0）,则直线PQ的方程为y=k（x1），由消去y得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，所以，故，y0=k（x01）=又点N在直线PQ上，所以N，由可得，PQMN,kMN=，整理得=，所以，在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中(15)不存在,理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件知，由条件得，又因为点A（2，0）,所以即，故，解之得x2=2或（舍），当x2=2时，解得P（0，0)不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在11