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1、整式的乘除与因式分解一、学习目的：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知识点分析1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。的 系数为 ，次数为 ，单独的一个非零数的次数是 。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。，项有 ，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，各
2、项次数分别为 ，系数分别为 ，叫 次 项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母具有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：按的升幂排列： 按的降幂排列： 按的升幂排列： 按的降幂排列： 5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例1.若，则a= ；若，则n= .例2.若，则 的值为 。例3 .设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于 。6、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：幂的乘方法则可以逆用：即如：7、积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因
3、数乘方的积。（= 8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：9、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里具有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先拟定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里具有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样合用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
4、如： 11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都涉及它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：= 12、多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如： 13、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里具有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：一方面拟定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，假如只在被除式里具
5、有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：= 14、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：例1.（ab）（2ab）（3a2b2）；例2.（ab）（ab）2（a22abb2）2ab例3.已知x2x10，求x32x23的值15、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项公式特性：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：= 16、完全平方公式：公式特性：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍
6、。注意： 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。17、三项式的完全平方公式：例1.运用平方差公式计算：例2.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？例3.（1） 求的值。 （2），求xy的值。18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1.把分解因式分析：把多项式的四项按前两项与后两项提成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式解： 说明：用分组分解法，一定要
7、想想分组后能否继续完毕因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试例2.把分解因式分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：= 说明：由例2、例1可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法互换律，分组后，为了提公因式，又运用了分派律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用B. 公式法：根据平方差和完全平方公式分解因式C.配方法：分解因式说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题尚有其它方法，请大家实验D.十字相乘法：（1）
8、型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式例1.把下列各式因式分解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同例2.把下列各式因式分解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同例3.把下列各式因式分解：(1) (2) 分析：(1) 把当作的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的
9、积，而，正好是一次项系数 (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式（2）一般二次三项式型的因式分解大家知道，反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，假如它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种也许情况，所以往往要通过多次尝试，才干拟定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例4.把下列各式因式分解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不
10、是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号提高练习1（2x24x10xy）（）x1y2若xy8，x2y24，则x2y2_3代数式4x23mx9是完全平方式,则m_ 4._5.若，则= 。6.（a1）（a1）（a21）= 。7.一个正方形的边长增长4cm ，面积就增长56cm ，本来正方形的边长为 。8（3+1）（32+1）（34+1）（32023+1）= 。9（1）（3y）2（3y）2 （2）（x22x1）（x22x1）； 10求（1）（1）（1）（1）（1）的值11已知x2，求x2，x4的值12已知（a1）（b2）a（b3）3，求代数式ab的值13若（x2pxq）（x22x3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值14.试说明（1）两个连续整数的平方差必是奇数 （2）若a为整数，则能被6整除15察下列各式（x-1）(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 （x-1）(x3+x2+x+1)=x4-1（1）根据规律可得(x-1)(xn-1+x +1)= （其中n为正整数）（2）计算：（3）计算：