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1、四边形知识点：一、 关系结构图：二、知识点讲解：1平行四边形的性质（重点）：ABCD是平行四边形2.平行四边形的鉴定（难点）：.3. 矩形的性质：由于ABCD是矩形 (4)是轴对称图形，它有两条对称轴4矩形的鉴定：矩形的鉴定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形 四边形ABCD是矩形.5. 菱形的性质：由于ABCD是菱形 6. 菱形的鉴定：四边形四边形ABCD是菱形.7.正方形的性质：ABCD是正方形 8. 正方形的鉴定：四边形ABCD是正方形.名称定义性质鉴定面积平行四边形两组对边分别平行的四边形
2、叫做平行四边形。 对边平行；对边相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形定义；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形。S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，尚有：四个角都是直角；对角线相等；既是中心对称图形又是轴对称图形。有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；定义。S=ab(a为一边长，b为另一边长)菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。除具有平行四边形的性质外，尚有四边形相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；既是
3、中心对称图形又是轴对称图形。四条边相等的四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；定义。S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；(b、c为两条对角线的长)正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：四个角是直角，四条边相等；对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形。有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；定义。(a为边长)；(b为对角线长)三精典例题解答：1已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF。证明：（1）
4、 AE=CF AE+EF=CF+FE 即 AF=CE 又ABCD是平行四边形， AD=CB，ADBC DAF=BCE 在ADF与CBE中 ADFCBE（SAS）（2） ADFCBE DFA=BEC DFEB 例1图 例2图2如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。证明： 四边形ABCD是平行四边形 OA=OC，OB=OD又 AE=CF OA+AE=OC+CF 即 OE=OF 四边形BFDE是平行四边形3如图，在梯形纸片ABCD中，ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕
5、DE交BC于点E，连结。求证：四边形是菱形。证明：根据题意可知 则 ， ADBC CDE=CED CD=CE 四边形为菱形 例3图4把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观测猜想，然后再证明你的猜想。 解：HG=HB。证法1：连结AH， 四边形ABCD，AEFG都是正方形 B=G=90 由题意知AG=AB，又AH=AH RtAGHRtABH（HL） HG=HB证法2：连结GB 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ABC=AGF=90 由题意知AB=AG AGB=ABG ABC-ABG =AGF-AGB 即H
6、BG=HGB HG=HB5如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。 （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），规定所连结的两条线段相 交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是_AO_和_DE_。 理由如下： 在RtADO与RtAEO中，AD=AE，AO=AO， RtADORtAEO DAO=OAE（即AO平分DAE） AODE（等腰三角形的三线合一） 注：其它的结论也成立如GDBE。（2） 四边形
7、AEOD的面积为 三角形ADO的面积= AD=2 DAO=30 EAB=30即旋转的角度是30 例5图 例6图6四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。 （1）求证：AE=CG；（2）观测图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。证明：（1）如图， AD=CD，DE=DG，ADC=GDE=90 又 CDG=90+ADG=ADE ADECDG AE=CG（2）猜想：AECG。 证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N ADECDG DAE=DCG 又 ANM=CND AMNCDN AMN=ADC=90 AECG7已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足
8、为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。证明：（1）在ABC中，AB=AC，ADBC BAD=DAC AN是ABC外角CAM的平分线 MAE=CAE 又 ADBC，CEAN ADC=CEA=90 四边形ADCE为矩形（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。 证明： AB=AC，ADBC于D 又 DC=AD 由（1）四边形ADCE为矩形 矩形ADCE是正方形 例8图8将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。（1）求证：AB
9、EADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。证明：（1）由折叠可知：， 四边形ABCD是平行四边形 B=D，AB=CD，C=BAD B=D，AB=AD DAE=BAD，即1+2=2+3 1=3 ABEADF（2）四边形AECF是菱形。 由折叠可知：AE=EC，4=5 四边形ABCD是平行四边形 ADBC 5=6 4=6 AF=AE AE=EC AF=EC 又 AFEC 四边形AECF是平行四边形 AF=AE 四边形AECF是菱形。9如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F （1）求证：BP=DP；（2）若四
10、边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不 是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边 形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论思绪分析：（1）解法一：在ABP与ADP中，运用全等可得BP=DP 解法二：运用正方形的轴对称性，可得BP=DP （2）不是总成立当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时， DPDCBP，此时BP=DP不成立 说明：未用举反例的方法说理的不得分 （3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等 在图中，可
11、证四边形PECF为正方形， 在BEC与DFC中，可证BECDFC 从而有BE=DF10为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案图案规定只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形种植花草部分用阴影表达请你在图、图、图中画出三种不同的的设计图案提醒：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图、图只能算一种解：以下为不同情形下的部分对的画法，答案不唯一11如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，C=30。点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（涉及端点）上运动。（1）设
12、ND的长为x，用x表达出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。（2）设，用t表达AMN的面积。（3）求AMN的面积的最大值，并判断取最大值时AMN的形状。解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P。 由已知：，。 四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，D=C=30， PAN=D=30。 在RtAPN中， 即点N到AB的距离为。 点N在AD上，点M在AB上， x的取值范围是。（2）根据（1），。（3） ， 当t=0时，即x=10时，有最大值25。 当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。 此时，AMN为等腰三角形。12（08通州22改编）如图，在ABCD
13、中，AB=8cm，AD=6cm，DAB=60，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x，（1）试用含x的代数式表达CGF的面积；（2）当GFAD时，求AE的值。 解：（1） 在平行四边形ABCD中CD=AB=8，BC=AD=6 DM=2，AD=6， AM=4， 取AM、ME中点P、Q，则由中位线定理知，PQAE且。 由AEGD可得PQGD从而DGMPQM ， 过点F作FNCD于N， C=A=60，CF=x （2）当GFAD时， ADBC，GDA=A=60 OGD=30，GFBC 在RtGFC中， 即： 当GFAD时，