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1、5.2.1 5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念第五章第五章 三角函数三角函数引引入入=.=().正角正角零角零角负角负角正实数正实数 0 0负实数负实数前面，我们已经把角的范围扩展到了任意角，前面，我们已经把角的范围扩展到了任意角，在上节课在上节课并并用弧度制来度量角，将角和实数建立一一对应关系用弧度制来度量角，将角和实数建立一一对应关系.引引入入接下来，我们将建立一个数学模型，接下来，我们将建立一个数学模型，刻画单位圆上刻画单位圆上点点P位置变化情况位置变化情况.(以以点点A为起点做逆时针方向旋转为起点做逆时针方向旋转)APO问题问题1：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的
2、学习匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？探究新知探究新知A(1,0)P(x,y)Ox以单位圆的圆心为以单位圆的圆心为原点原点O以射线以射线OA为为x轴轴的非负半轴的非负半轴建系建系A(1，0)P(x，y)y射线射线OA绕点绕点O按逆时针方向旋转角按逆时针方向旋转角终止位置为终止位置为OP问题问题2：这个圆周运动过程中有哪些变量这个圆周运动过程中有哪些变量？它们之间是否具有函
3、数关系，如果有，？它们之间是否具有函数关系，如果有，能否写出函数解析式？能否写出函数解析式？点点P坐标坐标x，y，弧长，弧长l，旋转角，旋转角探究新知探究新知A(1,0)P(x,y)OxyM探究新知探究新知问题问题3：当当=时，点时，点P的坐标是什么？当的坐标是什么？当=或或=时，点时，点P的坐标是什么？的坐标是什么？A(1,0)POxA(1,0)POxA(1,0)POxM方法：方法：过点点P向向x轴做垂线，轴做垂线，得到得到RTOPM，可以用锐角，可以用锐角三角函数求点三角函数求点P的坐标的坐标；探究新知探究新知问题问题4：一般地，任意给定一个角一般地，任意给定一个角，它的终边，它的终边OP
4、与单位圆与单位圆交点交点P的坐标能唯一确定吗？的坐标能唯一确定吗？角的终边确定，终边与单位圆的交点P确定点P的横坐标x、纵坐标y都是关于的函数当角确定时点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的探究新知探究新知1.三角函数第一定义（单位圆定义）设设是一个任意角，是一个任意角，R，它的终边与单位圆相交于点，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)(1)把点把点P的纵坐标的纵坐标y叫做叫做的的正弦函数,记作记作sin,即即y=sin;(2)把点把点P的横坐标的横坐标x叫做叫做的的余弦函数,记作记作cos,即即x=cos(3)把点把点P的纵坐标和横坐标的比值的纵坐标和横坐标的比值叫做叫做的的正切函数,记作记作t
5、an,即即=tan(x0).探究新知探究新知A(1,0)P(x,y)Ox我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数：我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数：正弦函数：正弦函数：y=sinx,xR余弦函数：余弦函数：y=cosx,xR正切函数：正切函数：y=tanx,x探究新知探究新知【探究探究探究探究】在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，以比值为函数值的函数，锐角锐角的正弦、余弦和正切叫做角的正弦、余弦和正切叫做角的锐角三角函数，分别记作的锐角三角函数，分别记作sin，cos，ta
6、n.A AB BC C探究新知探究新知OxyP(x，y)1M利用锐角三角函数概念可得：与按本节三角函数定义求得的结论是相同的【探究探究探究探究】在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设以比值为函数值的函数，设，把按锐角三角函数的定义求得的锐角，把按锐角三角函数的定义求得的锐角x的正弦值记为的正弦值记为z1，并把按本节三角函数定义求得的，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦值记为的正弦值记为y1，那么，那么z1与与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？例题
7、讲解例题讲解把角放在平面直角坐标系中；把角放在平面直角坐标系中；构造直角三角形；构造直角三角形；求出角的终边与单位圆的交点坐标；求出角的终边与单位圆的交点坐标；利用定义来确定三角函数的值；利用定义来确定三角函数的值；例例1求求的正弦值、余弦值和正切值的正弦值、余弦值和正切值.【解】在坐标系中作出在坐标系中作出AOB=，易知，易知AOB的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点P的坐标为的坐标为，所以，所以随堂练习：随堂练习：P.1791P.1802例题讲解例题讲解例例2如图如图,设设是一个任意角是一个任意角,它的终边上任意一点它的终边上任意一点P(不与原点不与原点O重合重合)的坐的坐标为标为(x
8、，y),点点P与原点的距离为与原点的距离为r.求证：求证：设设的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P0(x0,y0),分别过点分别过点P,P0作作x轴的垂线轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为垂足分别为M,M0,则则:则则|P0M0|y0|，|PM|y|，|OM0|x0|，|OM|x|，sin=y0,OMPOM0P0证明证明探究新知探究新知2.三角函数第二定义随堂练习：随堂练习：P.1803任意角任意角的的三角函数值仅与三角函数值仅与有关有关，与点，与点P在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关.比较比较三角函数第一定义三角函数第一定义：设：设是一个任意角，它的终边与单位圆相是一个任意角
9、，它的终边与单位圆相交于点交于点P(x，y)sin=y cos=xtan=(x0)例题讲解例题讲解例例3已知角已知角的终边过点的终边过点P(2,-3),求求的三个三角函数值的三个三角函数值.随堂练习：随堂练习：P.1803例题讲解例题讲解例例4探究新知探究新知+-+-1OxyOxyOxy00101-100不存在0不存在终边在坐标轴上的三角函数值呢终边在坐标轴上的三角函数值呢？3.三角函数值的符号例题讲解例题讲解例例5求证：角求证：角为第三象限角的充要条件为为第三象限角的充要条件为证明证明:（充分性）（充分性）即如果即如果都成立，那么都成立，那么为第三象限角为第三象限角.sin0，角的终边位于第
10、三或者第四象限，也可能和角的终边位于第三或者第四象限，也可能和y轴的轴的负半轴重合；负半轴重合；又又tan0成立，成立，角的终边位于第一或者第三象限，角的终边位于第一或者第三象限，综合可知综合可知为第三象限角为第三象限角.（必要性）（必要性）是第三象限角，根据定义有是第三象限角，根据定义有sin0，必要性成立，即充要性成立必要性成立，即充要性成立.随堂练习：随堂练习：P.18234例题讲解例题讲解例例6确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：解：（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（2）因为）因为=，而而是第一象限角，所以是第一象限角，所
11、以；（3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .例题讲解例题讲解4.诱导公式一 终边相同的角的三角函数值终边相同的角的三角函数值公式一的作用公式一的作用:把求任意角的三把求任意角的三角函数值，转化为角函数值，转化为02角的三角的三角函数值角函数值.+2k与与终边相同终边相同问题问题5：终边相同的角的同一三角函数值有什么关系终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？终边相同终边相同的角的三角函数值的角的三角函数值同一三角函数值相等同一三角函数值相等.sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tan公式一公式一例题讲解例题讲解随堂练习：随堂练习：P1825例例7求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）解：（解：（1）练习练习求下列三角函数值求下列三角函数值（2）课堂小结课堂小结随堂练习：随堂练习：P18031.三角函数的第一定义：三角函数的第一定义：第二定义：第二定义：2.三角函数值在各个象限和轴线上的符号；三角函数值在各个象限和轴线上的符号；3.终边相同的角的统一三角函数值相等终边相同的角的统一三角函数值相等sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tan公式一公式一布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业