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1、第三章 小学数学学习理论小学数学学习理论小学数学知识与技能的学习数学思考数学解决问题小学生数学学习中的情感态度小学数学概念的学习小学数学规则的学习小学数学技能的学习数学思维数学能力分步骤解决问题数学问题分类数学问题解决的影响因素学习动机自我意识和信心养成良好的学习习惯第一节 小学数学知识与技能的学习 “知识与技能”既是数学课程目标之一，又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”课程目标的载体。小学数学知识主要包括数学概念、数学规则等内容。（一）小学数学概念的内涵一、什么是数学概念数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物共同属性的思维
2、形式。二、小学数学概念的表现形式在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示方式。一、小学数学概念的学习1定义式定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。例如“两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形”、“封闭图形一周的长度，是它的周长”等。2描述式用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。例如“黑板边、桌子边、书边都可以看成线段”、“像xx这样的数，都是分数”等。（二）数
3、学概念的掌握小学数学概念的掌握主要体现在概念形成和概念同化两个方面：1、概念的形成，是指学生依靠直接经验从大量的具体例子出发，通过观察比较、分析综合、抽象概括，从特殊到一般，逐步归纳出一类事物的本质属性而形成概念的过程。概念的形成依靠对于体事物的抽象与概括。“概念的形成概念的形成”一般学习流程：一般学习流程：提供的具体材料应包容性强，数量适中，避免非本质提供的具体材料应包容性强，数量适中，避免非本质属性的误导；适当混杂反面材料属性的误导；适当混杂反面材料提供具体提供具体材料材料引导观察引导观察比较比较归纳共同归纳共同属性属性命名形成命名形成概念概念明确概念明确概念外延外延2、概念的同化：学习新
4、概念时，利用认知结构中已有的概念与新概念建立联系，从而掌握新概念的本质属性。这种学习概念的过程叫做概念的同化。“概念的同化”一般学习流程：复习上位概念添加新的内涵形成下位概念1使学生准确理解概念理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型；二要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象；三要掌握表示概念的词语或符号。2使学生牢固掌握概念掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概念的肯定例证和否定例证。能对概念进行分类，形成一定的概念系统。3使学生能正确运用概念概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下，辨认出概念的本质属性，运用概念的有关属性
5、进行判断推理。（三）数学概念教学的一般要求根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段：引入概念，使学生感知概念，形成表象；通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；通过例题、习题使学生巩固和应用概念。（一）数学概念的引入数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。（四）小学数学概念教学的过程一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法:1、以感性材料为基础引入新概念。2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。3、以“问题”的形式引入新概念。4、从概念
6、的发生过程引入新概念。（二）数学概念的形成引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。1、对比与类比。2、恰当运用反例。3、合理运用变式。例例1：讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形(图6-1(1)展示外，还应采用变式图形(图6-1(2)、(3)、(4)去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。（三）数学概念的巩固为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几个方面。1、注意及时复习2、重视应
7、用概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。（1）概念内涵的应用复述概念的定义或根据定义填空。根据定义判断是非或改错。根据定义推理。根据定义计算。例 概念内涵的应用例题：（1）什么叫互质数？答：是互质数。（2）判断题：27和20是互质数（）34与85是互质数（）有公约数1的两个数是互质数（）两个合数一定不是互质数（）（3）钝角三角形的一个角是 82o，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多少度？（4）如果P是质数，那么比P小的自然数都与P互质。这句话对吗？请说明理由？（2）、概念外延的应用1、举例2、辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。3、按指定的条件从概念的外延中选择事例。4、将概念按不
8、同标准分类。例：（1）列举你所见到过的圆柱形物体。（2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？（3）分母是9的最简真分数有；分子是9的假分数中，最小的一个是 （4）将自然数219按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）3、注意辨析随着学习的深入，学生掌握的概念不断增多，有些概念的文字表述相同，有些概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，如质数与互质数，整除与除尽，体积与容积等等。因此在概念的巩固阶段，要注意组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概念的区别和联系，以促使概念的精确分化。例：关于面积和周长，可组织学生从下列几个方面进行对比 (1)什么叫做长方形的周长？什么叫做长方形的面积？（2）周长和面积
9、常用的计量单位分别有哪些？（3）在图5-7中，A，B两个图形的周长相等吗？面积相等吗？（4）图5-8中的每一小方格代表一平方厘米，这个图的面积是 ，周长是 ，剪一刀，然后将它拼成一个正方形，这个正方形的周长是 ，面积是 。1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程（1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料（2）概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的本质属性（3）重视概念的运用，发挥概念的作用（4）注重概念之间的比较分类，深化概念（五）小学数学概念教学中应注意的问题二、小学
10、数学规则的学习（一）什么是数学规则？什么是数学规则？小学数学的学习内容中，包括四则计算法则、运算定律与性质、计算公式等内容，这些内容既是数量关系和空间形式及其计算规律的概括和总结，又是有关计算过程具体实施细则的具体规定。（二）小学数学规则的特点（二）小学数学规则的特点小学数学规则，既要体现数学学科的严密性、逻辑性的特点，又要符合儿童的年龄特点和认知规律，因而具有以下特点：1、淡化严格证明，强化合情推理、淡化严格证明，强化合情推理 2、重要规则逐步深化、重要规则逐步深化3、有些规则不给结语、有些规则不给结语（三）数学规则学习的分类1、下位学习：如果新规则在层次上低于原有认知结构中的有关知识，那么
11、新规则和原有认知结构中的知识就可构成下位关系。这时，新规则可以直接和原有数学认知结构中的有关知识发生联系，并直接纳入原有的认知结构中，充实原有的认知结构，这样的学习称为下位学习。例：学习菱形就属于下位学习。新知识菱形是学习了平行四边形概念及一些简单性质之后学习的。在学习菱形时，学生已经知道了菱形是特殊的平行四边形，就可以类比学习平行四边形方法进行观察、测量、画图、拼图。折叠、图形设计等活动，菱形的面积公式则可直接运用平行四边形的面积公式。2、上位学习：如果新规则在层次上高于原有认知结构中的有关知识，那么，新规则和原有的认知结构中的有关知识就构成了上位关系。此时，新规则中概念之间的关系是通过归纳
12、、概括比它层次低的有关知识获得的。即通过对已有知识的归纳、综合与概括，将原有的认知结构改变为新的认知结构，这样的学习称为上位学习。例：学生已经学习了长方体体积的计算公式：底面积 x 高；正方体的体积计算公式：底面积 x 高；圆柱体的体积计算公式：底面积 x 高。进而概括出体积的计算公式：V=sh的学习过程，就属于上位学习。3、并列学习：利用所学的数学规则与原有认知中有关知识的并列关系，通过类比而掌握数学规则的学习过程叫做并列学习。并列学习运用的主要思想是类比，其关键在于寻找新规则与原有认知结构中有关知识的联系，使它们在一定意义下进行类比。例：（1）整数除法中商不变的性质：在除法里，被除数和除数
13、同时乘或除以一个数（0除外），商不变。（2）分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以一个数（0除外），分数的大小不变。（3）比的基本性质：比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。上述所列举的既不是类属关系也不是总括关系，而是并列关系。通过类比建立前后规则间的联系，这就是并列学习。（四）小学数学规则学习的主要形式：（1）例一规法学习：呈现规则的若干例证，让学生从例证中归纳概括出一般结论。例-规法学习的一般流程呈现具体呈现具体例证例证观察试验观察试验尝试解决尝试解决分析答案分析答案或过程或过程发现规律发现规律形成猜想形成猜想验证完善验证完善形成规则形成规则规-例法学习的一般流程教师
14、指导要点：阐明新规则的条件、结论，解释其道理，帮助学生理解规则的意义。所举实例中应包含各种特例的应用。复习相关复习相关知识知识呈现新的呈现新的规则规则举例说明举例说明应用应用（2）规例法接受学习：先呈现要学习的规则，再用实例说明规则的应用。（五）小学（五）小学数学规则教学的过程与方法数学规则教学的过程与方法小学数学规则的教学一般要经过规则的引入、规则的建立、规则的巩固与运用等三个阶段。（一）规则的引入可采用如下一些方法去引入规则。(1)用观察、实验的方法引入规则。(2)用观察、归纳的方法引入规则。(3)由实际的需要引入规则。（二）规则的建立1、例证要有利于学生发现规则、发展智能2、由直观到抽象
15、，由个别到一般3、紧密结合例证，逐级抽象概括4、突出算理，以理驭法（三）规则的巩固和运用新规则建立之后，要及时安排练习，巩固和运用新规则。（六）数学（六）数学规则教学设计示例规则教学设计示例（一）“加法交换律和结合律”教学片段1、创设情景、提出问题2、合作交流、自主探究（1）象第一组这样的算式，你能再写出几道吗？这里究竟有什么规律呢？（学生自主尝试）（2）汇报交流、归纳概括。（3）这个规律，你能给它取个名称吗？看书并说说什么叫加法交换律。（4）小组活动：验证第二种规律。明确要求：每人自己出题验证；在小组中交流你验证的结果。（5）汇报交流、归纳概括。什么是加法结合律？用字母怎样表示加法结合律？（
16、6）看书质疑。3、巩固练习（略）4、反思回顾5、用自己喜欢的方法算，想一想怎样算会比较快？三、小学数学技能的学习技能是指人们通过练习获得的自动化的动作方式和操作系统。技能按照其本身的性质和特点可以分为动作技能和心智技能。智力技能主要指组成这类活动方式的动作是在头脑内部实现的，通过分析、综合、抽象、概括等逐步完成的；小学数学的智力技能包括口算、笔算、解题、解方程等。操作技能是指组成这类活动方式的动作需要通过人的头脑外部的机体运动或操作一定的对象来完成。小学数学的操作技能包括数字的书写，利用工具（直尺、三角板、圆规）作几何图形，利用工具测量角度、测量物体的长度、重量等等。（一）数学（一）数学技能及
17、其种类技能及其种类35（二）动作技能的形成过程1认知阶段 认知阶段也叫做动作定向阶段。定向阶段指学生要了解与某种数学技能有关的知识和功用，了解动作的基本步骤、难度、要领、动作程序以及活动最后要达到的目标等。例如，测量一个角的大小，必须先理解什么是角，角的大小指哪部分，角的大小与所画的边长无关，量角器这一测量工具的使用方法；然后再了解量角的步骤、要领。2单个动作阶段 单个动作阶段指把整个的活动分解为若干个单个动作，并逐一进行练习，达到形成局部动作的技能。3.连续动作阶段 连续动作阶段指把每一个动作技能按顺序连接起来，形成一个连贯协调的步骤。这时动作之间的相互干扰逐步得到排除，视觉、听觉的反馈逐步
18、被动觉反馈所替代，动作已不那么紧张，多余的动作也明显减少，最后使整套动作能完整地完成。4.自动化阶段 是数学操作技能的最后阶段。这时，意识的参与明显减少，意识只有当动作出偏差时才起作用。只要有启动的信息，可以自动地完成一整套的数学操作，学生可以自由分配自己的注意来完成全部动作了。全套动作协调一致、统一和谐、前后连贯，达到整体动作的自动化和完善化。（三）动作技能的学习方法动作技能的学习方法一般就是范例学习法。在进行小学数学基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。38（四）数学智力技能的形成过程1、活动定向阶段这是准备阶段，任务是了解、熟悉活动，知道
19、要“做什么”和怎么做，从而在头脑中建立起定向映象，而且这种了解应该是完全的、概括的比较系统。2物质活动和物质化活动阶段所谓物质活动是指动作的客体是实际事物，所谓物质化活动是指活动不是借助于实际事物本身，而是以它的代替物如模拟的教具、学具，乃至图画、图解、言语等进行的。图4-6相遇问题线段393出声的外部言语活动阶段这一阶段是活动离开了它的物质或物质化的客体，以出声的外部言语形式来完成实在的活动。活动向言语转化，不仅意味着用言语来表达活动，而首先意味着在言语中完成了实在的活动。言语活动真正的优越性不在于脱离与实际的直接联系，而在于它必然为活动创造新的目标抽象化，从而保证了活动的高度定型化，也保证
20、了活动的迅速自动化。404不出声的外部言语阶段这阶段不只是“言语减去声音”，而是以词的声音表象、动觉表象为基础的智力活动阶段。不出声的外部言语形式的活动的形成是活动向智力水平转化的开始，因此这一阶段在智力活动的形成过程中同样是十分重要的。5内部言语活动阶段这是活动达到智力水平的最后阶段。由外部言语转化为内部言语，主要是用“自己的言语”进行思考，所以在结构上发生了较大的变化。41（五）数学智力技能的基本学习方法1范例学习方法这是小学数学智力技能学习的主要方法。利用课本中的范例，将思维操作程序一步一步地呈现出来，使学生把握住解题的条件和步骤。422尝试学习方法这种方法与范例学习方法不同，主要由学生
21、自己去尝试探索解决问题的线索，并在不断修正错误中找出解决问题的途径。这种方法一般在学生已学会通用方法，在探究变式题时可以采用。如前例，学生已学会一般的笔算除法，在学习商中间带0的除法时，可用这种学习方法让学生试算。我们把原题被除数的342改为312，3123=?学生通过尝试商是14还是104，从尝试错误所提供的鉴别信息中，悟出得出正确结论的原因。这种学习方法比较费时间，但有利于培养学生主动学习、独立思考的能力。第二节 数学思考 课标（2011）中说到课程目标“数学思考”期望达到的目的是“让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维方式”。让学生独立思考，是数学课程培养学生创新能力的核心，数学
22、思想主要指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。在我们小学阶段学会思考是从学会数学思维，学会合情推理，获得能力来体现的。一、数学思维（一）数学思维的定义。（二）小学生数学思维的类型。数学思维是从人类一般思想中分化出来的一种科学思维，因此它的活动形式与一般的科学思维活动形式相同。在小学阶段，思维主要表现在两个方面：形象思维和初步的逻辑思维。1、形象思维。形象思维是依靠形象资料的意识领会得到理解的思维，它的主要特征是思维材料的形象性，其基本形式是表象、直感、和想象。目前在教学过程中，教师经常会根据学生的这一思维特点去设计教学。例如说道具的利用，一年级学生在学习数数的时候，教师会采用数小棒
23、、数手指等方法来帮助学生去理解、计算。或者是在认识长方体这节内容时，教师一般会用粉笔盒、书本等来例举现实生活中长方体的存在。这些道具的使用都有利于学生理解新知。2、初步的逻辑思维。逻辑思维是以概念为思维材料、以语言为思维载体，每一步都有充分依据的思维。它的主要特征是抽象性，其基本形式是概念、判断和推理。在数学教学中，学生解题的过程其实就是逻辑思维训练的过程。首先学生在解题时，会从题目中提取相关信息，了解考查的主要内容；其次根据自己已学过的数学方法去解题，不断地验证自己的方法是否适合这道题；最后得出结果。整个解题的步骤都体现了学生的逻辑思维一步步地得到运用。例：小强和小丽同时从家里走向学校。小强
24、每分钟走70米，小丽每分钟走60米，经过4分钟两人在校门相遇，他们两家相距多少米？学生一看到这个题目，就可以判断这是一个相遇问题，已知项有小强和小丽的速度分别是每分钟70米和60米，时间是4分钟。未知项是路程。那么根据路程=速度x时间，可以知道小强和小丽行驶的路程分别是280米和240米。最后根据两人是相向而行，求得两家的距离是280+240=520米。这个解题步骤从解读题意到寻求解决方法都很好的体现了学生逻辑思维的发展过程。（三）小学生数学思维的特点。1、认知发展的阶段性（1）皮亚杰的认知发展阶段理论。皮亚杰心理学的理论核心是“发生认识论”。“运算”（即思维操作）是他思维逻辑分析体系中的核心
25、概念，是划分儿童认知发展阶段的主要标志。据此，皮亚杰把儿童认知发展分为四个主要阶段，即感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。按照皮亚杰的阶段划分，小学生正处于具体运算阶段，思维具有明显的符号性和逻辑性，能够进行简单的逻辑推演。但很大程度上缺乏抽象性，更多的是具体性。例如：“假定AB,BC,问A与C哪个大？”处于具体运算阶段的儿童一般不能正确回答这一问题。如果换一种问法：“张老师比李老师高，李老师又比王老师高，问张老师和王老师哪个高？”（三位老师都是学生熟悉的老师）他们则可以回答。由此可见，学生要有实际情景中具体事务之间的关系作基础才能完成上述推理，所以这种逻辑推理能力只是初步的
26、。（2）小学生思维的基本特点。1、进入小学的儿童思维的基本特点是从以具体形象思维为主要形式过渡到以抽象思维为主要形式。由此可见，小学数学学习的思维活动就是一个具体形象思维和抽象逻辑思维相结合的过程。2、由于数学具有内在的逻辑体系和抽象性，所以学生学习数学的过程也是一个学习抽象数学知识的过程。3、小学生处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，具有较强的直观性。小学阶段的学生他们对于完全借助语言文字传授的间接经验难以理解，而对于直接看到的和自己动手操作的数学教学内容就容易接受。正是基于这一特点，数学教材应该为学生提供大量丰富的感性材料，特别是加强动手操作，为学生理解、掌握数学知识提供认识上的支
27、柱。2、数学思维的特点。（1）数学思维的概括性：数学思维的概括性是由于数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。例如：在学习偶数时，有些教师会引导学生从2、4、6、8等数中找出偶数的特点，从而归纳出偶数的定义，然后根据定义去判断一个数到底是不是偶数等问题。同样的，这种归纳方法可以迁移到找出被5整除的数当中去。（2）数学思维的问题性：数学的起源和发展是由问题引起的。在数学学习的过程中，教师一般会通过不断提问来引起学生的思考，训练学生的思维。因为在这个过程中它可以帮助学生理清自己的思路，让自己的思维变得更加严谨。另一方面，学生在学习的过程中自
28、己还会提出一些数学问题。例如在学习折线统计图这节内容的时候，学生会从给出的统计图中提出统计图分别呈现什么变化趋势、谁的变化幅度大一点等一系列问题。（3）数学思维的相似性：数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。在解题的过程当中，学生经常会出现“这道题目我好像在哪里见过”这种想法，其实就是因为相似的解题方法或形式唤起了学生脑中相似的图式。例如学习什么是长方体和正方体时，教材里呈现生活中类似长方体和正方体的物体，比如说冰箱和盒子，然后归纳出“我们周围许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫做立方体）”。这样的归纳方式就是利用了物体和模型之间的相似性。（4）思维的形式化：所谓形式化，
29、即脱离数学对象的具体内容而进行的纯形式的分析，研究特定的知识和理论，使之固定化、精确化。运用形式化的方法，人们可以研究知识的形式，用特定的符号语言表述并建构这些符号语言的规则。在数学当中某些问题是可以通过具有一定含义的字母符号来解答的，或者是应用在一些公式的推导过程中。比如乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。用符号表示为a X b=b X a。（5）数学思维的条理性：条理性是指数学思维，尤其是思维由抽象上升到具体的过程中，具有极高的逻辑性。数学具有自己的一套法则。它要求学生在解题的时候，首先确定自己的做题程序。比如先找出问题的有效信息，然后再确定自己学过的方法有没有适合这道
30、题目的，最后再确定该选择何种方法去解决。因此我们可以得知，解决问题的过程可以看出学生的思维是否具有条理性。例如：3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？首先确定已知项，3台拖拉机3天耕地90公顷是表示9台拖拉机1天耕地90公顷。第二，5台拖拉机6天耕地是指60台拖拉机1天要耕地多少？最后，根据第一步可知1台拖拉机1天可耕10公顷，那么30台拖拉机1天可以耕30 x10=300公顷，即5台拖拉机6天耕地的数量。这一步步的解题过程就体现出学生思维的条理性。（6）数学思维的创造性：思维的创造性是思维的一个本质属性。数学是一门比较开阔，灵活的学科，它的解题方法可以一式多解、
31、题目形式可以变化多端，因此这也就要求学生在学习的时候不仅要学会教师所教的内容，更要掌握举一反三、不断创造的能力。学生在做题的时候要不断归纳、对比，从学习中积累经验，从而使自己在充分掌握基础知识后，开拓自我创造的能力。例如学完长方体的表面积是等于六个面的面积之和后，求正方体的表面积。可以利用迁移定律，推出正方体的表面积=留个正方形的面积=6 x 棱长（边长）x 棱长。（四）数学思维品质。人们在数学学习过程中，由于学习者个体的差异，表现出数学思维水平的差异性。这种思维水平的差异性是以数学思维品质为标志的。数学思维品质的主要表现在以下五个方面：敏捷性、灵活性、深刻性、创造性、批判性。这五个方面相互联
32、系、相互依存，它们是数学思维的统一体。1、敏捷性：就是学习者善于在较短的时间内果断而迅速地对思维的对象进行识别、判断、推理、猜想以至于解决问题。2、灵活性：指思维活动的灵活程度，即学生在思维过程中能从不同的方面、不同的角度以及不同的方向来思考问题，并且还能用不同的方法来解决问题。3、深刻性：指“思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度、深度和难度”。4、创造性：思维的创造性表现为在思维活动中创造出新的知识、成果等，思维创造性的特点即具有“新颖性”。5、批判性：思维的批判性就是思维活动中的独立分析、独立见解、独立思考、自我反馈、不轻信不盲目的思维品质。数学能力（一）数学能力的定义。（二）
33、小学数学能力的类型：1、运算能力：会根据法则、公式等正确进行运算，并且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，成为运算能力。运算能力是在不断的运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的联系而逐步形成的。运算的正确、灵活、合理和间接是运算能力的主要特征。在小学阶段，数的运算有口算、笔算、估算，相对应的就有口算能力、笔算能力和估算能力。学习数的运算首先要使学生理解算理，把握四则运算的本质。2、合情推理。合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是以个别（特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理。它的思维进程是从特殊到一般。类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它
34、所在另一属性也相同或相似的一种推理。它是从特殊到特殊的推理。第三节 数学解决问题 数学问题解决的过程与本质是应用一系列运算来努力改变问题的初始状态并朝目标状态转变的过程，因而这是一个不断化归的过程；在将问题由初始状态向目标状态推进的过程中，个体需要调动已有的知识和经验，在问题空间中积极探索和开发出一条到达目标状态的路径；这个路径集中的体现了解决问题的创造性及其成果。分步骤解决问题（一）理解题意：学生在解决数学问题时，首先要审题，理解题意非常重要，确定问题的已知条件和问题是什么，关键词是什么。复杂一些的问题，还要理解已给条件间的关系，条件与问题间的关系，由此可能转化出新信息、新问题。理解题意的操
35、作步骤。如下图所示：探究性课题教学的一个创新设计用16张边长是1分米的正方形拼长方形和正方形，怎么拼，才能使拼成的图形周长最短？1、找关键词：“拼长方形和正方形”，一个条件是用16个正方形拼图；问题是拼出的图形周长最短。2、信息转化：这道题目有两个已知条件，它们之间的关系能转换出一个新条件：拼成的两个长方形和一个正方形哪个的周长最短？3、去除无关信息：理解题意包括找出已知信息和问题，理清信息间关系，去除不相关信息。学生读懂信息，体会信息的意思，将对问题的理解外显出来，深化对条件和问题的认识，进而去解决问题。例：一共有16个人来踢球，已经来了7人，有一个队踢进了5个球，问还有几个人没来？这里“有
36、一个队踢进了5个球”与问题无关是多余信息，应当舍去。（二）数学问题表征。内部表征：在头脑中表征问题，即在头脑中考虑信息与信息之间、信息与问题之间的关系，对于信息量少、数量关系简单的问题，学生一般只要用内部表征就能把问题想清楚。外部表征：指把有关信息与问题用图形、表格等方式表示出来。借助外部表征可以帮助学生更好地整理信息与问题。小学数学问题表征的类型1、动作表征：动作表征清楚地显示了已知信息（条件），它们能帮助学生理解题意，而且这种表征形式本身也显示出条件与问题间的关系，在低年级经常用到。例：小红排第10，小明排第15，问小红和小明之间有几人？动作表征：动手数数，小红第10，后面是第11、12、
37、13、14，第15是小明，数出4只手指，所以小红和小明之间有4个人。2、语言表征：根据数学知识的意义表征数量关系的。例如有12名学生，1/3是女生，女生有多少人？语言表征：因为有1/3是女生，要求女生人数，需要将12平均分成3份，求出一份是多少。这里的语言表征是根据分数的意义解释题目中的数量关系。3、图形表征。对于不同的年级有不同的图形表征方式。（1）象形图表征：利用现象本身的形象画表示问题中的数量关系，例：二年级卫生评比，一班得了12只红五星，二班比一班多得了3只，二班得了多少只？这道题目可用小星星来表示数量关系。如下图所示：（2）符号图形表征：符号图形指代表事物的图形、记号。如有12名学会
38、说呢过，2/3是男生，问男生有多少人？问题中用小圆圈来表示每一个学生，用有颜色的圆圈表示三份中的两份。如图：（3）线段图表征：画线段图是问题解决中常用的一种思考策略。在问题表征时，利用线段图将题中蕴涵的抽象的数量关系以形象的线段图直观的表达出来，能有效促进问题的解决。例：小明的体重是35kg，他的体重比爸爸的体重轻8/15，小明爸爸的体重是多少千克？根据分数的意义，我们可以将爸爸的体重平均分成15份，小明的体重相当于其中的（15-8）份，即小明的体重相当于爸爸的7/15.我们也可以用线段图来表征爸爸、小明的体重及其关系。4、表格表征：表格是按照事物分类画成格子，分别填写文字或数字的书面材料。因
39、此制作表格前，已经在头脑中对研究对象进行了分类，按照自己的分类制表，使人一目了然，解题思路逐渐清晰。如：一列火车大车厢、小车厢一共6节，问有多少节大车厢？有多少节小车厢？这道题目我们可以制作表格，用列举法将大车厢、小车厢的所有情况都列出来。5、符号表征和算式表征：这里的符号特指字母、数字符号等抽象符号。如小明出生时，爸爸27岁，知道小明的年龄时，爸爸的年龄如何表示？用a表示小明的年龄，这是用字母符号表示数；爸爸的年龄就是a+27，这是算式表征。（三）运用数学工具解答并检验。1、运用数学工具解答：在前面的数学表征阶段，我们已经知道了问题中的数量关系，接下来就是运用数学工具进行解答。在前面计算小明
40、爸爸的体重的例题中，从线段图表征我们已经清楚了小明的体重是爸爸体重的7/15，已知条件中小明的体重为35kg，运用分数的意义，列出算式：357/15=75（kg），即爸爸的体重是75kg。2、检验：将答案作为条件带回到原来的情境中，并用乘法检验，小明的体重为757/15=35kg，与已知条件相符，说明爸爸的体重答案正确。数学问题分类数学问题包括一些结构良好、内容熟知、形式标准、有现成可套用解答方法、答案确定、条件恰好不多不少的常规问题常规问题，学生只需要模仿、进行适当操练就可以轻易解决；也包括那种情境初次遇到，具有较大智力挑战，没有可直接用的解决方法、程序或算法的非常规问题非常规问题。“解决问
41、题”是有用捕捉、有关提取、有效组合，从条件到结论的一系列转换过程，不断地消除现状与目标之间的差异。（一）常规问题。安德森认为，需要开发出新的步骤的问题解决称为创造性的问题解决，使用现成步骤的问题解决称为常规性的问题解决。简单的来说，可以套用的问题就是常规问题。归纳起来，小学有关四则运算的数学问题的意义见图：1、加法类型的数学问题。合并：如左边1把扇子，右边3把扇子，一共几把扇子？添加：如地上有5块砖，小熊又抱来了1块砖，一共有几块砖？2、减法类型的数学问题。分离：有6块砖，小熊抱走了2块，余下几块砖？比较：如小华摘了12个苹果，小雪摘了7个，小华比小雪多摘了几个？3、乘法类型的数学问题。等组：
42、3张桌子，每张桌子围坐4个孩子，一共有多少孩子？矩阵队列：如4个学生一排，共3排，一共有多少学生？倍数比较：如女孩3人，男孩是女孩的4倍，男孩多少人？长方形面积：长宽。4、除法类型的数学问题。等分：先确定要平均分的份数再分。12个孩子分坐4张桌子，每张桌子坐几个孩子？包含：12个孩子，一张桌子坐4个人，需要几张桌子？小学数学解决问题的题型还有速度、路程和时间的关系问题。1、相遇问题：如小林每分钟骑250米，小云每分钟骑200米，小林和小云家相距4.5千米。周日早上9:00两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？2、航海问题：如一艘轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米，到乙地后，又逆
43、水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水流速度每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？3、工程问题：如一条路甲地单独修，12天完成；乙队单独修，18天完成；如果两队合修，多少天完成？当学生初次学习这些类型的数学问题时，要按照数学问题解决的步骤过程，理解题意，表征、分析数量关系等等，进而解决问题。由于这些类型题目有常规思路，属于常规问题，学习需要反复练习，就会储备若干标准问题的解决模式，使常规问题成为已知问题。数学问题解决的最基本形式是化归：把未知问题化归为已知的问题；把非常规问题化归为常规问题而化归的条件是一定数量的基本题型、对题型的识别以及化归的途径。（二）非常规问题。波利亚将数学问题分
44、类为：需要判断选择某些已有法则或算法之一来解决的问题；需要组合应用两个或多个法则解决的问题；需要创造性的组合、改变已有法则来解决的问题。其中，需要创造性的组合、改变已有法则来解决的问题就是非常规问题。解决非常规问题需要策略和方法。在小学数学问题解决中常见的方法有分析法、综合法、归纳法、列举法、排除法、转化法等。排除法是在已知条件下，运用一定的逻辑推理，排除不符合题目要求或与题目信息内容不符的干扰，从而选出正确答案的一种解题方法。还有一种题目是开放题，主要指条件不充分或结论不确定的数学问题，需要加入条件进行讨论。案例3-7商店里，小熊6元，地球仪8元，皮球9元，问56元可以买几个地球仪？本题用分
45、析法：从问题入手，求56元可以买几个地球仪，又已知地球仪8元，就是求56元里包含几个8元。通过从问题到已知的分析法，问题就很明显了用除法，568=7（个）。分析法相对应的综合法，从已知信息入手，基本句式是“有这两条信息可以求出什么？”案例3-8小明上午9:00完成了作业，他想做完作业后去踢球，10:30去看木偶戏，问：小明可能在下面哪个时间去踢球？7:45，9:15，10:50这道题目我们可以采用排除法：小明9:00做完了作业，踢球的时间肯定不是7:45；他10:30要去看木偶戏，10:50肯定不在踢球。排除这两个时间，就只剩下了9:15了，所以应该是9:15去踢球的。数学问题解决的影响因素不
46、同的人从不同的方面去分析，所得出的数学问题解决的影响因素也会不尽相同。体现有关较受关注的问题解决影响因素的关键词：学习者的内部条件，认知策略，外部条件，基本数量关系（概念），问题表征，模式识别，知识基础，图式，构成问题的事实，概念及其相互之间的结构，教学强度（解题迁移），情景理解，数量关系组合，问题归类，元认知和监控，解题信念根据学者们对这些术语的解释，可以将哲哲术语归类如下：1、学生的知识储备。包括知识基础、基本数量关系、学习者的内部条件。2、对问题隐含的数量关系的整体把握。包括问题的表征、模式识别、题归类等。3、选择算式与问题情境的切合。包括情景理解、数量关系组合。4、经验积累和训练量。包括学生的外部条件、教学强度、解题迁移训练量。5、非认知因素。包括元认知、解题信念等等。第四节 小学生数学学习中的情感态度