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1、2.3.3 点到直线的距离公式高二人教A版数学选择性必修第一册第二章一、学习目标1了解点到直线的距离公式的推导方法；2掌握点到直线的距离公式并会应用；3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养运用等价转化、数形结合等数学方法解决问题的能力，以及数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的数学学科素养.二、点到直线的距离公式引入 试一试试一试:(1)点P(-1,2)到直线x=2的距离是_.(2)点P(-1,2)到直线y=1的距离是_.y=1y0 x=2xP(-1,2)Q(2,2)M(-1,1)点点P到直线到直线l的距离，就是的距离，就是P到直线到直线l的的垂线段垂线段PQ的长度的长度，其中，其
2、中Q为垂足为垂足.二、点到直线的距离公式引入 试一试试一试:y0 2x+y-10=0 xP(-1,2)(3)点P(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是_.思思 考：考：1 1、本题能快速看出垂线段的长度吗、本题能快速看出垂线段的长度吗？2 2、是否能像求两点距离一样，有点、是否能像求两点距离一样，有点到线的距离公式呢？到线的距离公式呢？三、点到直线的距离公式探究 探究探究:如图，已知点如图，已知点P(x0,y0)，直线直线l:Ax+By+C=0，如何求点如何求点P P 到直到直线线l的距离呢的距离呢?l点P到直线l的距离，即垂线段长度PQ问问:怎么求PQ的长度呢？通过两点间距离公式问问:
3、点Q坐标怎么求？通过联立两直线方程求交点Q求直线PQ方程 三、点到直线的距离公式推导l问：求直线方程，需要几个条件？2个条件，两点或者一点一斜（斜率或倾斜角）.直线直线PQ 过点过点P(x0,y0)，且且与直线与直线l垂直垂直.(2)当A、B中有一个为0时，如A=0，B0 时，直线l:By+C=0,此时PQ方程为x=x0.当B=0，A0时，PQ方程为y=y0.综上所述PQ方程为：Bx-Ay=B x0-A y0 (x0,y0)三、点到直线的距离公式推导lPQ：Bx-Ay=B x0-A y0 三、点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：公式结构特征：公式结构特征
4、：1、分子：将点坐标代入直线方程中，外套绝对值；三、点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：思考：思考：上述方法中，我们根据点到直线距离的上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离化为两点之间的距离，定义，将点到直线的距离化为两点之间的距离，思路自然但运算量大思路自然但运算量大.你能想到其它方法吗？你能想到其它方法吗？探究：探究：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？能否用向量方法求点到直线的距离？M(x,y)思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把
5、问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影,通过向量运算求出结果,简化了运算.除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗?xyOSRlQP0 构造三角形，利用等面积法求高，即点到直线的距离d.只需求出点S、R坐标.xyP0(x0,y0)OSRQd勾股定理勾股定理等面积法等面积法五、典型例题解:(1)根据点到直线的距离公式，得例题1 求点P(-1,2)(-1,2)到下列直线的距离.五、典型例题y0 x=2/3xP(-1,2)Q(2/3,2)例题1 求点P(-1,2)(-1,2)到下列直线的距离.点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：特别注意：
6、运用公式时，需要将直线写为一般式！五、典型例题五、典型例题注：将直线方程化为一般式！解:（2）先将直线方程化为一般式3x-2=0，再根据点到直线的距离公式：例题1 求点P(-1,2)(-1,2)到下列直线的距离.五、典型例题y0 x=2/3xP(-1,2)Q(2/3,2)解:（2）法1:直线方程化为一般式3x-2=0，再根据点到直线的距离公式：公式法适用范围广适合直线与轴平行或重合时例题1 求点P(-1,2)(-1,2)到下列直线的距离.xyCO-1-11 12 22 23 33 31 1B A 例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积.五、典型例题两点间距离公式
7、求底。点到直线距离公式求高。直线化为一般式。xyCO-1-11 12 22 23 33 31 1B A 例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积.六、发散思维思考：同学们还有其它方法吗？xyCO-1-11 12 22 23 33 31 1B A 例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积.六、发散思维D思考：想想还有其它方法求三角形面积吗？七、总结1本节课，我们学习了点到直线的距离公式，它是解析几何中非常重要的一个公式.推导公式中完整介绍了两种方法：第一种方法是坐标法，将点到直线距离转化为两点间的距离，由两点间的距离公式得到结论，这种方法思路自然但运算复杂；第二种方法是向量法，运用向量的投影和数量积运算进行推导，虽然运算量不大，但是需要一定的整体观和构造技巧.七、总结2能利用点到直线的距离公式，解决数学问题，注意运用公式前，将直线方程化为一般式.