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1、二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法本课内容本节内容1.21.2.2 加减加减消元法消元法说一说说一说 如何解下述二元一次方程组？如何解下述二元一次方程组？从从得，得，再代入再代入，得，得 这就把这就把x消去了！消去了！她得到的她得到的y的方程也就是的方程也就是(3y+17)+5y=9这不就可以直接从这不就可以直接从得，得，2x=3y+17，然后把它代入然后把它代入吗？吗？还有没有更简单的解法呢？还有没有更简单的解法呢？方程方程和和中都有中都有2x，为了消去为了消去x，干脆把方程，干脆把方程减减去方程去方程就可以了！就可以了！-，得，得 8y=-8，解得解得 y=-1把把y=-1代入代入，
2、得，得 2x+5(-1)=9，解得解得 x=7因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是例例3 解方程组：解方程组：举举例例解解+，得得 9x=9.解得解得 x=1把把x=1代入代入，得得 71+3y=1因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是7x+3y+(2x-3y)=1+8解得解得 y=-2 两个方程中的未两个方程中的未知数知数y的系数互为相反的系数互为相反数，可以消去数，可以消去y.说一说说一说 在上面的两个方程组中，把方程在上面的两个方程组中，把方程减去减去，或，或者把方程者把方程与与相加，便消去了一个未知数，被消相加，便消去了一个未知数，被消去的未知数的系数有什么特点？去的未知
3、数的系数有什么特点？被消去的未知数系数相被消去的未知数系数相等或互为相反数等或互为相反数.如何较简便地解下述二元一次方程组？如何较简便地解下述二元一次方程组？要是要是、两式中，两式中，x的的系数相等或者互为相反数就好系数相等或者互为相反数就好办了！办了！动脑筋动脑筋 把把式两边乘以式两边乘以3，不就行了么！不就行了么！解解 3，得，得 6x+9y=-33 -，得得 -14y=42解解得得 y=-3把把y=-3代入代入，得，得 2x+3(-3)=-11，解得解得 x=-1因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是例例4 解方程组：解方程组：举举例例 能不能使两个方程中能不能使两个方程中x(或或
4、y)的系数相等的系数相等(或互为或互为相反数相反数)呢？呢？解解4，得得 12x+16y=32.解得解得 y=5把把y=5代入代入，得得 3x+45=8因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是将两个方程中的将两个方程中的x的系数变为的系数变为相等相等.解得解得 x=-43，得得 12x+9y=-3.-，得得 7y=35.上面四个方程组中，是如何消去一个未上面四个方程组中，是如何消去一个未知数的？知数的？消去一个未知数的方法是：如果两个方程消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未知数的系数相等中有一个未知数的系数相等(或互为相反数或互为相反数)，那么把这两个方程相减那么把这两个方程相减
5、(或相加或相加)；否则，先把其中一个方程乘以适当的数，否则，先把其中一个方程乘以适当的数，将所得方程与另一个方程相减将所得方程与另一个方程相减(或相加或相加)，或者，或者先把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到先把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到的方程相减的方程相减(或相加或相加).).结论结论 这种解二元一次方程组的方法叫做这种解二元一次方程组的方法叫做加减加减消元法消元法，简称，简称加减法加减法.练习练习用加减消元法解下列方程组：用加减消元法解下列方程组：解解:+，得得 4y=16解得解得 y=4把把y=4代入代入，得，得 2x+4=-2解得解得 x=-3因此原方程组的一个解是因此原方
6、程组的一个解是解解:-，得得 -5y=15解得解得 y=-3把把y=-3代入代入，得，得 5x-2(-3)=11解得解得 x=1因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是解解:2，得得 6x+4y=16 -，得得 9y=63解得解得 y=7把把y=7代入代入 ，得，得 3x+27=8解得解得 x=-2因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是解解:+，得得 8x=70解得解得 把把 代入代入，得，得 解得解得因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是解解:4，得得 12x+16y=44 3，得，得 12x-15y=-111 -，得得 31y=155解得解得 y=5把把y=5代入代入 ，得
7、，得 3x+45=11解得解得 x=-3因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是解解:5，得得 10 x-25y=120 2，得得 10 x+4y=62 -，得得 -29y=58解得解得 y=-2把把y=-2代入代入 ，得，得 2x-5(-2)=24解得解得 x=7因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是中考中考 试题试题例例1 方程组方程组 的解是的解是 （）+得得 3x=3，x=1解析解析B把把x=1代入代入得得 y=1,所以原方程组的解为所以原方程组的解为故选故选B.中考中考 试题试题 解方程组解方程组解：由解：由2+得：得：7x=14，x=2.例例2把把x=2代入代入式得：式得
8、：y=-2.原方程组的解为原方程组的解为中考中考 试题试题 解方程组解方程组解：解：3，得得 6x+3y=15.例例3+,得得 7x=21，x=3，把把x=3代入代入，得，得 23+y=5.y=-1.原方程组的解为原方程组的解为信息时代小窗口：高斯消去法信息时代小窗口：高斯消去法 当今信息时代，由于计算机的迅猛发展，使当今信息时代，由于计算机的迅猛发展，使得实际问题中含有成千上万个未知数的一次方程得实际问题中含有成千上万个未知数的一次方程组有可能求解组有可能求解 为此需要使消元法有规律可循，让计算机能够为此需要使消元法有规律可循，让计算机能够机械地执行命令，解一次方程组机械地执行命令，解一次方
9、程组.现在我们以下面现在我们以下面的二元一次方程组为例，说明这种统一的方法的二元一次方程组为例，说明这种统一的方法第一步：把方程组写成如下的标准形式：第一步：把方程组写成如下的标准形式：统一按标准形式把数据输入到计算机中统一按标准形式把数据输入到计算机中.第二步：把标准形式的方程组化成阶梯形：第二步：把标准形式的方程组化成阶梯形：，加到，加到上，得上，得 由由、组成的方程组叫做组成的方程组叫做阶梯形方程组阶梯形方程组，其，其中第二个方程中第二个方程(即方程即方程)已经不含未知数已经不含未知数x.第三步：解方程第三步：解方程，得，得 y=3.往回代入往回代入，解得，解得 x=-1.因此原方程组的
10、一个解是因此原方程组的一个解是 上述这种解一次方程组的方法叫做上述这种解一次方程组的方法叫做高斯消去法高斯消去法，其中第二步叫做其中第二步叫做消去算法消去算法，第三步叫做，第三步叫做回代算法回代算法.高斯消去法不仅可以用来解任意一个二元一次方高斯消去法不仅可以用来解任意一个二元一次方程组，而且可以用来解任意一个三元一次方程组，以程组，而且可以用来解任意一个三元一次方程组，以及解任意一个及解任意一个n元一次方程组，其中元一次方程组，其中n是任一正整数是任一正整数.(注：有注：有n个未知数，并且含未知数的每一项都是个未知数，并且含未知数的每一项都是1次的方程叫做次的方程叫做n元一次方程元一次方程.含有相同未知数的若干个含有相同未知数的若干个n元一次方程联立起来，组成的方程组叫做元一次方程联立起来，组成的方程组叫做n元一次方元一次方程组程组.).)高斯消去法可以用下述框图表示：高斯消去法可以用下述框图表示：二元一次方程组的标准形式二元一次方程组的标准形式阶梯形方程组阶梯形方程组出现出现“0=d”?其中其中d是一个数是一个数无解或者有无解或者有无穷多个解无穷多个解求出唯一解求出唯一解消去算法消去算法判断判断否否回代算法回代算法是是 高斯消去法的实质在我国高斯消去法的实质在我国九章算术九章算术的的“方程方程”章中就已经具备了章中就已经具备了.结结 束束