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1、1 大大 数数 定定 律律 返回目录返回目录返回目录返回目录 事件发生的频率具有稳定性事件发生的频率具有稳定性,大量测量值的算术平大量测量值的算术平均值也具有稳定性均值也具有稳定性.在概率论中在概率论中,用来描述大数次试验用来描述大数次试验的稳定性的一系列定理统称为大数定律的稳定性的一系列定理统称为大数定律.大数定律以数学的形式表达并证明了大数定律以数学的形式表达并证明了,在一定条件在一定条件下下,大量重复出现的随机现象的统计规律性大量重复出现的随机现象的统计规律性.定理一定理一定理一定理一（契比雪夫契比雪夫契比雪夫契比雪夫定理的特殊情况）定理的特殊情况）说明对任意的正数说明对任意的正数,当当
2、n充分大时充分大时,不等式不等式成立的概率很大成立的概率很大.随机变量序列随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立相互独立,具有相同具有相同的期望与方差，的期望与方差，实际意义实际意义实际意义实际意义：观察结果的：观察结果的算术平均算术平均在概率意义下接近期在概率意义下接近期望值望值(被观察的真值被观察的真值)证：证：定义定义定义定义 随机变量序列随机变量序列Y1,Y2,Yn,如存在常数如存在常数a则称随机变量序列则称随机变量序列Yn以以概率收敛概率收敛概率收敛概率收敛于于a,随机事件随机事件,数列数列,当当n充分大后充分大后,几乎都成立几乎都成立.n充分大后充分大后,Yn 的值聚集在的值聚集在
3、a 的附近的附近.说明说明说明说明:1.定理一可以叙述为定理一可以叙述为2.以概率收敛的序列有如下性质以概率收敛的序列有如下性质函数函数 g(x,y)在点在点(a,b)连续连续,则则随机变量序列随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立相互独立,具有相同具有相同的期望与方差，的期望与方差，定理二定理二定理二定理二（贝努里贝努里贝努里贝努里大数定理）大数定理）事件事件A 在在n 次试验中发生的概率为次试验中发生的概率为 p(0 p 1),记记nA 为为n 次独立重复的试验中事件次独立重复的试验中事件A发生的次数发生的次数,证明：证明：由定理一由定理一X1,X2,Xn相互独立相互独立1o 当试验次数当
4、试验次数n 无限增加无限增加,事件事件A发生的频率依概发生的频率依概率收敛于率收敛于P(A);2o 小概率原理小概率原理:小概率事件为实际不可能事件小概率事件为实际不可能事件.(1)无论无论 p 多么小多么小,小概率事件在大量重复的试验中小概率事件在大量重复的试验中,几乎必然出现几乎必然出现;(2)小到什么程度小到什么程度,视具体问题而定视具体问题而定.3o P(A)接近接近1,称实际必然事件称实际必然事件.定理三定理三定理三定理三（辛钦辛钦辛钦辛钦定理）定理）随机变量序列随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同一服从同一分布分布,且具有数学期望且具有数学期望贝努里大数定理是辛钦
5、定理的特殊情况贝努里大数定理是辛钦定理的特殊情况.思考题：思考题：具有如下分布具有如下分布随机变量序列随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立相互独立,问问:序列序列Xn是否满足契比雪夫大数定理是否满足契比雪夫大数定理思考题答案：思考题答案：满足满足契比雪夫契比雪夫大数定理大数定理.练习题：练习题：1.设设1,2,n,相互独立相互独立,且都服从参数为且都服从参数为的泊的泊松分布松分布,则以下叙述不正确的是则以下叙述不正确的是()服从服从契比雪夫契比雪夫大数定理；大数定理；当当n充分大时充分大时,渐近服从正态分布；渐近服从正态分布；满足满足契比雪夫契比雪夫不等式；不等式；满足满足辛钦辛钦定理定理.证明：证明：2.随机变量序列随机变量序列X1,X2,Xn,独立同分布独立同分布,练习题答案：练习题答案：由契比雪夫大数定理由契比雪夫大数定理1.(D)