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1、22 三角分解法2.2.1 杜里特尔分解法求解线性代数议程组的三角分解法，起源于高斯消去法的矩阵形式。高斯消去法消去过程中，将变换后增广矩阵的第k行-c倍加于第i行，相当于左乘初等矩陈它们都是单位下三角矩阵，即对角元全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去法消去过程，实质是增广矩陈 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵 ，即此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然注意是将单位矩阵 的第行倍数加于第 行，将第一行的倍数加于第 行、第二行，可见 是单位下三角矩阵。故这说明，高斯消去法的消去过程，实质上是把系数矩阵 分解为单位下三角矩阵 与上三角矩阵 的乘积，并且求解议程组 的过程
2、。回代过程就是求解上三角形方程组 矩阵 和 也可直接算出。事实上，比较等式 两边等 行、第 列元素可知注意 是单位下三角矩阵，便知从而同样，因 为上三角阵，知可见公式（2-2）和（2-3）就是计算 和 各元素的计算公式。实际计算时 的对角元 不必存放，和 中肯定为零的元素也不必存放，因此 的 可共同存放在增广矩阵 的位置：此时公式（2-2）、（2-3）表明，或 都是原始矩阵 对应元素，减去同行左边 的元素与同列上边 的元素乘积；只是对 的元素，然后需除以 的对角元。计算顺序，通常先算 的第 行，再算 的第 列；也可先算 的第 列，再算 的第 行，如图21所示：图21 计算顺序例21 分解 ，并
3、解方程组 ，其中解 按计算公式（2-2）和（2-3）详细计算过程如下（下文不再写出）：从而回代（解方程组 ），得 分解 且 为单位下三角阵、为上三角阵，称为杜里特尔Dolittlse)分解。利用杜里特尔分解求解方程组 或 ，相当于解两个三角形方程组解下三角方程组 可以在分解 时同时完成（如例21），也可独立完成。这是因为，把 写成分量形式，就是由此可见，用杜里特尔分解求解方程组（2-1），所需乘除次数与高斯消去法完全一样。其中分解 需 次，解 需 次，解 需 次，共计 次。它它们们都都是是单单位位下下三三角角矩矩阵阵，即即对对角角全全为为1 1、对对角角线线上上方方元元素素全全为为零零的的矩矩
4、阵阵。因因此此不不选选主主元元的的高高斯斯消消去去过过程程，实实质质是是增增广广矩矩阵阵被被左左乘乘一一系系列列倍倍加加矩矩阵阵，变变成成上上三三角角形形矩矩阵阵,即即此此式式称称为为高高斯斯消消去去法法的的矩矩阵阵形形式式。由由此此显显然然注注意意是是将将单单位位矩矩阵阵三角分解法常用于求解系数矩阵都是 的若干方程式组这是因为，一旦完成分解 ，只需再解 个三角形方程组解这种三角形方程组每组只需 次乘除法，远比重复使用高斯消去法节省工作量。为保证三角分解顺序、稳定进行，与高斯消去法一样，也可选主元。常用列主元法。.克洛特分解法当矩阵 可作杜里特尔分解 时,令 为 对角元构成的对角阵则再算第 行
5、；或者先算第 行，再算第 列，如图22所示。克洛特分解法的用法及运算量与杜里特尔分解法相同。例22 用克洛特分解法求解方程组解得解 ，得解 。解毕。为保证克洛特分解法顺利、稳定进行，也可采用列主元法。求解 步骤如下：对 做 计算结束时 的第 列就是解 注意：例22中系数矩阵对称：，此时 就是 各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵。一般来说 对称且可作克洛特分解 ，记 的对角元构成的对角阵为 ，各列除以对角元构成的单位下三角矩阵为 ，则可见 ，说明 都是 各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵；说明对称矩阵 可分解为 或 。因此 可由 直接求出，而不必再按公式（24）第二式重复计算。这样分解 可以节省 次
6、乘法，即节约大约一半的运算量。也可不存储。2.2.3 追赶法 追赶法适于求解对角方程组 ,这里其实质是高斯消去法、三角分解法的应用。事实上，将 作克特分解则易知回代得。按照这些公式次数求解 的方法就称追赶法，其中算 称追，回代称赶，共需乘除法次数为 ，远比一般方程组的高斯消去法或三角分解法节省运算量。实际问题提出的三对角方程组往往严格对角占优，因此不用选主元，就可保证顺利、稳定进行。2.2.4 平方根法 平方根法适于求解 对称正定的方程组 。此时 的各阶顺序主子式 ，保证了主元大于零，保证了 可作克特分解 而且 的对角元 （也就是主元）全为正数。所以令 ，则再记 为 ，则上式表明。对称正定矩阵 可分解为 ，即下三角矩阵及其转置矩阵的乘积，利用比较法可得 元素计算公式：利用这种分解方程组 称为平方根法或乔列斯基(cholesky)分解法。跟前种分解法一样，求解下三角方程组 可在分解 的同时进行。例23 用平方根法求解例22方程组。解故知解 解毕 平方根法求解方程组 ，需做 次乘除法和 次开方，比考虑到 对称的克洛特分解法节省 次乘除法但增加 次开方。为避免开主，有人提出了改进平方根法，不过它其实就是考虑到 对称的克洛特分解法，如2.2.2节最后一段所述。