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1、第三节圆的方程第三节圆的方程 1.圆的标准方程(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为_，半径为_的圆的标准方程(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为_(a，b)r x2y2r2 基础梳理基础梳理不表示任何图形 2.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为 2+2=.故有：(1)当D2+E2-4F0时，方程表示以_为圆心，以_为半径的圆；(2)当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点_；(3)当D2+E2-4F=4.求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择_或一般方程；(2)根据条件列出关于_或_的
2、方程组；(3)解出_或_，代入_或_标准方程 a，b，r D，E，F a，b，r D，E，F 标准方程 一般方程 1.(必修2P100练习第2题改编)与x轴相切，且圆心为(2,1)的圆的标准方程_(x2)2(y1)21基础达标解析：由题意知，圆的半径为1，又圆心为(2,1)，故圆方程为(x-2)2+(y-1)2=1.2.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_.解析：由题意，设圆心(x0,1)，=1，解得x0=2或x0=-(舍去)，所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.(x-2)2+(y-1)2=13.已知D是由不等式组 所确定的平面区
3、域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_.解析：直线x-2y=0与2x+y=0相交于原点，且互相垂直，故圆x2+y2=4在区域D内的弧长为该圆周长的四分之一，即为 .4.(必修2P100练习第6题改编)圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是_解析：直线过圆心，-2a-2b+2=0，即a+b=1.1=(a+b)2=a2+2ab+b24ab，ab .【例1】求过点A(2，3)、B(2，5)且圆心在直线x2y30上的圆的方程.解：圆心在直线x2y30上，故可设圆心为 M(2b3，b)，所求圆的标准方程为x(2b3)2(yb)2r2.再由|MA|MB|，得(2b
4、3)22(b3)2(2b3)22(b5)2，解得b2.于是圆心为M(1，2)，半径|MA|.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.经典例题【例2】已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(t是实数)表示的图形是圆(1)求实数t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程分析：本题所给的方程是圆的一般方程，需要根据它表示圆的充要条件判断t的范围，也可以把它转化为标准方程，再进行处理 题型二与圆有关的参数问题解：(1)半径的平方为r2 4(t3)24(14t2)24(16t49)7t26t10，所以 t1.(2)因为r ，所以当t 时，半径取最大值 .此时面积最大，所对应的圆
5、的方程为 2 2 .【例3】已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求 的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值 分析：根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解 题型三与圆有关的最值问题解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜(2)率，设 k，即ykx.当直线ykx与圆相切(3)时，斜率k取最大值或最小值，此时 (4)，解得k ，如图1.(5)(6)所以 的最大 值为 ，最小值为 .(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
6、如图2.又圆心到的原点的距离为 2，所以，x2y2的最大值是(2 )274，x2y2的最小值是(2 )274.已知x，y满足x2y21，则的最小值为_解析：利用数形结合法，表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以 的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，由 1得k ，的最小值为 .变式31【例4】某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所示，下部ABCD为长8 m，高2 m的矩形，上部是圆弧的一部分.欲使宽6 m，高3 m的大型货车刚好能通过，求拱顶E距离路面AB至少需多少m?分析：如图，该大型货车PQMN刚好能通过，表明点M在圆弧上，又
7、因为点C在圆弧上，因此，可建立适当的坐标系，根据题中的条件，求出圆的方程，则E点的纵坐标可求题型四圆的方程的建模解：以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图则C(4,2)、M(3,3)设圆弧所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2，则 即所求圆的方程为x2+(y+1)2=25.令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去)所以拱顶E距路面AB至少需4 m.某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为10 m，上载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥？变式41建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则圆的方程为
8、x2(ya)2r2，代入点(0,5)，(15,0)，得该圆方程为x2(y20)2625.因为船宽10 m，高4 m.所以判断该船能否通过该桥，即判断点A(5,4)与圆的位置关系52(420)2601625，(5,4)在圆内，即该船能顺利通过该桥 1.(2010天津)已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_知识准备：1.会求直线与x轴的交点坐标及点到直线的距离公式；链接高考 2知道当直线与圆相切时，圆的半径就是圆心到这条直线的距离解析：令y0得x1，所以直线xy10与x轴的交点为(1,0)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ，所以圆C的方程为(x1)2y22.2.(2010广东)已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是_.知识准备：1.知道圆心横坐标为负，纵坐标为0；2.知道圆心到切线的距离等于半径解析：设圆心为(a,0)(a0)，则r=，解得a=-5.所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.