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1、第十章第十章 差分方程初步差分方程初步第十章第十章 差分方程初步差分方程初步p第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念p第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程p第三节第三节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程p第四节第四节 n阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程p第五节第五节 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中的应用第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念一一.差分概念差分概念给定函数给定函数一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分例例1 求函数求函数的的解解二二.差分方程差分方程定义定义10.1含有自变量含有自变量未知函数未知函数以及以及
2、未知函数未知函数的差分的差分的方程的方程,称为差分方程称为差分方程.出现在差分方程中的最高阶出现在差分方程中的最高阶差分的阶数差分的阶数,称为差分方程的阶称为差分方程的阶.定义定义10.2含有自变量含有自变量和两个或两个以上和两个或两个以上的函数值的函数值的方程的方程,称为差分方程称为差分方程.出现在差分方程中的未知函数下标的最大差出现在差分方程中的未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶称为差分方程的阶.注注 两个定义不完全等价两个定义不完全等价例如例如二阶差分方程二阶差分方程一阶差分方程一阶差分方程一般用第二定义一般用第二定义三三.差分方程的差分方程的解解定义定义10.3 如果将已知函数如果
3、将已知函数代入方程代入方程使其对使其对成为恒等式成为恒等式,则称则称为差分方程的为差分方程的解解.含有含有个独立任意常数的解个独立任意常数的解,称为称为通解通解.在通解中给任意常数以确定的值而得到的解在通解中给任意常数以确定的值而得到的解,称为差分方程的称为差分方程的特解特解.确定任意常数的条件确定任意常数的条件,称为称为初始条件初始条件.求部分一阶差分方程的通解求部分一阶差分方程的通解.本章中心任务本章中心任务四四.线性差分方程线性差分方程如果如果n阶线性齐次差分方程阶线性齐次差分方程如果如果n阶线性非齐次差分方程阶线性非齐次差分方程重点讨论重点讨论一般形式一般形式认方程认方程:一阶线性常系
4、数非齐次差分方程一阶线性常系数非齐次差分方程二阶线性常系数非齐次差分方程二阶线性常系数非齐次差分方程三阶线性齐次差分方程三阶线性齐次差分方程定理定理10.1五五.线性差分方程解的基本定理线性差分方程解的基本定理如果如果是齐次线性差分方程是齐次线性差分方程的的 个解个解,则它们的线性组合则它们的线性组合(是任意常数是任意常数)也是齐次线性差分方程的解也是齐次线性差分方程的解.定理定理10.2n阶齐次线性差分方程有阶齐次线性差分方程有n个线性无关的解个线性无关的解.如果如果是是n阶齐次线性差分阶齐次线性差分方程的方程的n个线性无关的解个线性无关的解,则其通解为则其通解为(是任意常数是任意常数).定
5、理定理10.3n阶非齐次线性差分方程的通解等于其一个阶非齐次线性差分方程的通解等于其一个特解与对应的齐次方程的通解之和特解与对应的齐次方程的通解之和.例例2 求方程求方程的通解的通解.解解 齐次方程齐次方程两个线性无关的解两个线性无关的解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程一个特解非齐次方程一个特解非齐次方程通解非齐次方程通解第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程一一.一阶线性常系数齐次差分方程一阶线性常系数齐次差分方程一般形式一般形式讨论讨论:设初始条件为设初始条件为则则通解公式通解公式二二.一阶线性常系数非齐次差分方程一阶线性常系数非齐次差分方程一般形式一般形式讨论讨论:
6、设初始条件为设初始条件为则则附证附证:是是的解的解以下分四种情况讨论以下分四种情况讨论(1)通解为通解为:例例1 求差分方程求差分方程的通解及在的通解及在下的特解下的特解.解解由由得得(2)都是常数都是常数通解为通解为:例例2 求差分方程求差分方程的通解的通解.解解待定系数法做题步骤待定系数法做题步骤(1)将方程中将方程中 的系数变为的系数变为1;(2)根据根据 的具体形式假定特解的形式的具体形式假定特解的形式;(3)将假定的特解代入方程中确定待定系数将假定的特解代入方程中确定待定系数;(4)写出一阶线性常系数非齐次差分方程的写出一阶线性常系数非齐次差分方程的通解通解(3)(是常数是常数,为为
7、次多项式次多项式)待定系数法求特解待定系数法求特解其中其中为待定系数为待定系数.例例3 求差分方程求差分方程的通解的通解.解解设非齐次的特解为设非齐次的特解为代入非齐次方程得代入非齐次方程得齐次通解为齐次通解为故非齐次的通解为故非齐次的通解为(4)都为已知常数都为已知常数待定系数法求特解待定系数法求特解其中其中为待定系数为待定系数.例例4 求差分方程求差分方程的通解的通解.解解设非齐次的特解为设非齐次的特解为代入非齐次方程得代入非齐次方程得齐次通解为齐次通解为故非齐次的通解为故非齐次的通解为则非齐次的特解为则非齐次的特解为作业题作业题1.习题十习题十(A)1、2、4、5、6、7.2.习题十习题十(B)1、2、4、5.本章基本要求本章基本要求1.了解差分与差分方程及其通解与特解的概念了解差分与差分方程及其通解与特解的概念.2.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.3.会用差分方程求解简单的经济应用问题会用差分方程求解简单的经济应用问题.本章重点、难点本章重点、难点重点：重点：一阶常系数线性差分方程的求解一阶常系数线性差分方程的求解.难点：高阶常系数线性差分方程的求解难点：高阶常系数线性差分方程的求解.