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1、第八章第八章 常微分方程数值解常微分方程数值解华长生制作1 8.1 引言引言(基本求解公式基本求解公式)在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程：-(1)-(2)华长生制作2-(3)(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题-(4)另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)(4)只作简单介绍我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件华长生制作3定理定理1.对于问题(1),要求它的数值解华长生制作4-(1)从(1)的表达
2、式可以看出,求它的数值解的关键在于求解微分方程的数值方法求解微分方程的数值方法数值积分数值积分数值微分数值微分华长生制作5而数值积分数值积分问题我们已经学习过,下考虑数值微分数值微分方法微积分中，关于导数的定义导数的定义如下：自然而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商差商!华长生制作6向前差商向前差商由Taylor展开因此，有误差华长生制作7向后差商向后差商误差:中心差商中心差商华长生制作8常微分方程数值解的基本思想常微分方程数值解的基本思想华长生制作9华长生制作10华长生制作11华长生制作12华长生制作13以上三种方法推导出同一个数值求解公式:这个数值公式称为欧拉欧拉(Euler)公式华
3、长生制作14 8.2 欧拉欧拉(Euler)(Euler)方法方法华长生制作15华长生制作16误差分析误差分析这种误差称为局部截断误差局部截断误差.华长生制作17显示Euler公式隐式梯形公式比较下面两个公式比较下面两个公式：华长生制作18改进欧拉改进欧拉(Euler)(Euler)方法方法华长生制作19常微分方程数值解的截断误差常微分方程数值解的截断误差评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度而在求解公式 中误差项误差项华长生制作20定义定义1(a).定义定义1(b).-(*)上两定义本质是一样的,前者意义直观,后者用于计算推导较方便!华长生制作21在一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义定义2.定义定义3.华长生制作22Euler公式的局部截断误差为具有1阶精度后退Euler公式的局部截断误差为也具有1阶精度显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好从前面的分析可知,Euler法的精度并不算高因此有必要找寻精度更高的求解公式华长生制作23