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1、第二章第二章测量的不确定度和数据处理测量的不确定度和数据处理误差测量 直接测量：长度，质量，时间等间接测量：重力加速度，速度等等精度测量：同人、同法、同仪器、同条件对同物进行多次测量（5同）同）真值：物理量的真实值(一般不知道)测量的正确度、精密度、精确度结果比较接近客观实际的测量：正确度高，表示系统误差的大小结果彼此相近的测量：精密度高，随机性的大小(弥散程度)既正确又精密的测量：精确度高(系统误差和随机误差的大小)测量误差=测量值-真值随机误差，系统误差正确度、精密度、准确度正确度、精密度、准确度正确度正确度：测量值与真值的接近程度。反映测量结果系统误差大小的术语。精密度精密度：重复测量所
2、得测量结果相互接近的程度。反映测量结果随机误差大小的术语。准确度准确度：综合评定测量结果的重复性和接近真值的程度。反映随机误差和系统误差的综合效果。准确度高 精密度高 精密度、准确度 精密度低 准确度低 精确度均高测量列：多次等精度测量，n次无法判定哪一次更可靠；可以预期它们的平均值最可靠；当测量次数 n 趋于无穷时，只要能排除系统误差（如仪器或环境因素），其平均值就是被测物理量的“真值”。随机误差问题提出设想球磨机生产出一批钢球。用螺旋测微器测得一个球的一个直径值为 D=12.345 mm我们无法判断这个球“圆的程度”，更无法判断这批球“圆的程度”以及它们大小的“均匀度”。为此要采集多个样本
3、对于第一种情况，沿不同方向多次测量直径，求平均值,并研究各个测量值与平均值的离散性.得到“圆的程度”.对于第二种情况，随机取若干钢球,分别测量它们的直径，求平均值,并研究各个测量值与平均值的离散性.“均匀度”.测量列的期望值-平均值如何评价该测量列中测量值的离散程度：测量列的标准差贝赛尔公式标准误差正态分布当有大量的、彼此无关的等权重的次要因素随机地影响测量结果，而测量次数趋于无穷时，测量值与平均值之差成为连续型随机变量，其概率密度分布为正态分布：1795年高斯导出了随机误差概率分布密度函数减小偶然误差但不能消除正态特点1.对称性2.单峰性3.有界性4.抵偿性测量列标准差的统计学意义标准差反映
4、了测量值的离散程度当测量次数足够大时（比如大于10次），测量列中任一测量值与平均值之差落在正负标准差范围内的概率为0.683.落在2倍正负标准差内的概率为0.955.落在3倍正负标准差内的概率为0.997.在“节拍器”振动周期多次测量误差分布研究中，并不完全符合正态分布不是“许多”“独立因素”,也非“等权重”，更不是“无穷多次”；数学模型是物理实际的理想化。测量列的平均值与测量次数有关，它的涨落随着次数增加而减小。测量列平均值的标准差即测量列的A类标准不确定度为A类标准不确定度平均值标准差的统计意义待测物理量在 的概率为0.683;在 的概率为0.955;在 的概率为0.997.不写明概率，应
5、默认为0.95.数据的舍弃在多次等精度测量中,如果有个别数据偏差很大,应慎重对待.往往新规律就孕育于“异常”之中.与测量列的平均值之差大于该测量列标准差的3倍,按高斯分布,其概率小于0.3%.对于有限次测量,可以判断为差错,予以剔除.3 法则.D=12.345mm对钢球”圆的程度”的评价:其直径的相对偏差小于 0.02 的可能性超过(大于等于)95.或对这一批钢球”均匀度”的评价:其直径在 范围内的可能性超过95.学生分布高斯分布是无穷多次数测量的一种极限情况.有限次数时,成为学生分布（t分布）.曲线较平缓.t因子由于曲线平缓,要得到相同的置信概率,显然要在更大的不确定度范围.即要将高斯分布中
6、得到的标准差乘以一个因子 t.其大小与测量次数以及置信概率有关,见30页的表当n=610次,要求P=0.68时,t 1.1;当要求 P=0.95时,t 2.4.系统误差公式近似：理论误差单摆：绝热系统：补偿法伏安法测电阻：内接法外接法lAVRxAVRx减小电表内阻引起的误差系统误差仪器误差：结构不完善螺旋测微计零点不准确(校准)天平不等臂(交换)系统误差个人误差：生理、心理因；按钮超前、滞后，斜视其它分布三角分布均匀分布学生分布(t 分布)泊松分布正态分布：均匀分布：三角分布：置信系数C与仪器测量误差的分布概率有关B类测量不确定度 凡是不能用统计方法来处理的不确定度均为B类不确定度，如一次测量
7、的B类不确定度（1）测量者估算产生的部分估（2）仪器精度的限制：最大允差仪 用同一型号的多个仪器测量同一物理量，测量值不尽相同，这种差别有一定的范围在此范围内，这种差别也遵循某种分布例如，工厂大量生产某一量具，当设备、技术、原材料、工艺等可控制的生产条件都相对稳定，不存在系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布。如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。测量者估算产生的估对于刻度式仪表,测量估算的不确定度估常常小于等于仪器最小刻度的一半；对于数字式仪表，如果数字稳
8、定,没有估算不确定度;如果数字跳动变化,记录其稳定表示的值.B类不确定度的来源之一仪器的最大允差仪 仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。仪可从仪器说明书中得到，它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，可能产生的最大误差。一般而言，仪为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大）。（见第一册第26页）B类不确定度的来源之二这种差别也遵循某种分布，一次测量值的B类标准差为 其中C称为置信系数。在最大允差范围内，对于正态分布，C=9=3，在此范围内，置信系数为0.68；对于三角分布，C=6，对于均匀分布，C=3。难以确定时
9、,常常按均匀分布处理。但置信系数不等于0.68。模拟（指针）电表的最大允差量程乘级别的百分数。例:量程为100伏的一级电压表，测量一个电池的电动势为1.5V。仪表的不确定度为1.0V。若量程为10伏，则降低到0.1V。数字电表仪器最大允差为读数乘级别的百分数，再加上最末位的若干单位。例:如某精度为1.0级的三位半电表，用100.0伏量程测量电池电动势，读数为1.5V.按其说明书,读数乘级别的1%,再加上末位的(譬如)5个单位。则测量结果的不确定度为(0.015+0.5)V=0.52V。改用10.00V量程，则为（0.015+0.05）=0.065V。用秒表测量时间,估算误差为0.2秒左右.在几
10、十秒钟的时间段,远大于仪器的最大允差.在暗室中做几何光学实验，进行长度测量时，长度的估算误差也可达（1-2）mm。选估、仪二者中较大的为测量值的B类不确定度.一般 较小，可舍去 对于刻度式仪表对于刻度式仪表,估算误差估算误差估常常取最小分度值的二分之一或估常常取最小分度值的二分之一或十分之一；对于数字式仪表，则取其稳定显示最末位数的一个十分之一；对于数字式仪表，则取其稳定显示最末位数的一个最小单位。最小单位。多次测量中每一次测量都有B类不确定度，而其多次测量结果的离散性由A类不确定度来表示，它们都对测量结果的不确定度有贡献，所以要合成.相同置信概率的不确定度按平方和来合成.合成标准不确定度将置
11、信概率都是0.68的A类和B类标准差合成得到置信概率P=0.68的合成标准不确定度：展伸不确定度将合成标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的因子K，得到扩大了置信概率(通常为0.95)的不确定度叫做展伸不确定度（或扩展不确定度），取 K=2。展伸不确定度上式中的 被舍去对于置信概率为0.95时,A类不确定度要乘 t 因子(30页),B类不确定度要乘置信因子1.96(32页)测量结果的最后表达式D=12.345mm,uA=0.003mm,10次测量 仪仪=量程量程 级别级别%（模拟式模拟式）例例:量程为量程为100伏的伏的1级电压表，测量一个电池的电级电压表，测量一个电池的电动势为动势为1.
12、5V。仪表的不确定度为仪表的不确定度为1.0V。若量程为若量程为10伏，则降低到伏，则降低到0.1V。仪仪=读数读数 级别的百分数级别的百分数+最末最末位几个单位（位几个单位（数字式数字式）例例:如某精度为如某精度为1.0级的三位半电表，用级的三位半电表，用100.0伏量伏量程测量电池电动势，读数为程测量电池电动势，读数为1.5V.按其说明书按其说明书,读读数乘级别的数乘级别的1%,再加上末位的再加上末位的(譬如譬如)5个单位。则个单位。则测量结果的不确定度为测量结果的不确定度为(0.015+0.5)V=0.52V。改用改用10.00V量程，则为（量程，则为（0.015+0.05）=0.065
13、V。误差传递的基本公式：误差传递的基本公式：问题提出问题提出间接测量量间接测量量:是彼此独立是彼此独立的直接测量量的直接测量量.利用全微分公式利用全微分公式:(1)先取对数先取对数,再求全微分再求全微分,(2)两边取平方两边取平方根据高斯误差定律，测量次数足够，正误差和负误根据高斯误差定律，测量次数足够，正误差和负误差出现概率相等，对上式求和，则：差出现概率相等，对上式求和，则：两边乘以两边乘以 1/n，得：，得：不确定度的合成不确定度的合成最大不确定度最大不确定度在很多情况下在很多情况下,往往只需粗略估计不确定的大小往往只需粗略估计不确定的大小,可采用较为可采用较为保守的线性保守的线性(算术
14、算术)合成法则合成法则两边取对数得：两边取对数得：求全微分得：求全微分得：合并同类项：合并同类项：P36 例2详细解读将微分号变为不确定度符号：将微分号变为不确定度符号：最大不确定度方和根形式不确定度分析的意义不确定度分析的意义 不确定度表征测量结果的可靠程度，不确定度表征测量结果的可靠程度，反映测量的精确度。更重要的是人们反映测量的精确度。更重要的是人们在接受一项测量任务时，要根据对测在接受一项测量任务时，要根据对测量不确定度的要求设计实验方案，选量不确定度的要求设计实验方案，选择仪器和实验环境。在实验过程和实择仪器和实验环境。在实验过程和实验后，通过对不确定度大小及其成因验后，通过对不确定
15、度大小及其成因的分析，找到影响实验精确度的原因的分析，找到影响实验精确度的原因并加以校正。并加以校正。不确定度不确定度均分原理均分原理 在间接测量中，每个独立测量量的不在间接测量中，每个独立测量量的不确定度都会对最终结果的不确定度有贡确定度都会对最终结果的不确定度有贡献。如果已知各测量量之间的函数关系，献。如果已知各测量量之间的函数关系，可写出不确定度传递公式，并按均分原可写出不确定度传递公式，并按均分原理，将测量结果的总不确定度均匀分配理，将测量结果的总不确定度均匀分配到各个分量中，由此分析各物理量的测到各个分量中，由此分析各物理量的测量方法和使用的仪器，指导实验。一般量方法和使用的仪器，指
16、导实验。一般而言，这样做比较经济合理，对测量结而言，这样做比较经济合理，对测量结果影响较大的物理量，应采用精确度较果影响较大的物理量，应采用精确度较高的仪器，而对测量结果影响不大的物高的仪器，而对测量结果影响不大的物理量，就不必追求高精度仪器。理量，就不必追求高精度仪器。例:测量一个圆柱体的体积直径大约0.8厘米,长度3.2厘米,要求测量精度在0.5%以内.用算术合成来估算量程25毫米螺旋测微器的最大允差0.004毫米,量程125毫米的游标卡尺的最大允差0.02毫米须用螺旋测微器测量直径,但其量程不足以测量长度.用游标卡尺测量长度.1.根据P40例题写出P126设计方案2.时间测量中随机误差的分布规律 下周先上大课约下周先上大课约40分钟，再回实验室做实验分钟，再回实验室做实验（与绪论课关联的两个实验）（与绪论课关联的两个实验）作业：单摆的设计和研究实验作业：单摆的设计和研究实验,请参考请参考40页例页例5