第二章 解析函数.ppt

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1、复变函数论主讲：王明华第二章 解析函数1：解析函数的概念与：解析函数的概念与C-R方程方程2、Cauchy-Rieman方程 3、解析函数概念 4、解析函数简单性质 1、复变函数的导数与微分2：初等解析函数：初等解析函数1、指数函数2、三角函数与双曲函数3：初等多值函数：初等多值函数1、根式函数 2、对数函数 3、一般幂函数与一般指数函数 4、反三角函数 5、具有多个有限支点的情形 1 解析函数的概念与C-R方程1、复变函数的导数与微分如果极限 定义1：设 是在区域D内确定的单值函数，并且，存在，为复数a，则称 在处可导或可微，极限 a称为在处的导数（微商），记作，或 或。注1：的方式是任意的

2、注2：若 在z处可导，则 为 在z处的微分。记为 即。注3：在z处可微 在z处连续，但反之不成立。在复变函数中，处处连续但处处不可微的函数是随手可得，而实函数则不然。定义2：若 在D内处处可微，则在D内可微。例1：讨论在z平面的连续性与可微性。解：显然在 z 平面处处连续。但是由于，故 不存在，从而 在 z 平面处处不可微。例2：证明在 平面可微，且。证明：（略）2、Cauchy-Rieman方程定理1（可微的必要条件）：若在处可微，则1）在存在 2）在满足：Cauchy-Rieman方程证明：（略）注4：若 可导，则 注5：C R方程是可微的必要条件，而非充分条件。（P53,例2.6）定理2

3、（可微的充要条件）：若 在 处可微 在可微且满足C R方程。证明：（必要性）设 在 有导数，根据导数的定义，当（）时其中，。比较上式的实部与虚部，得 因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有 因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）设u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设 则由可微性的定义，有：令，当 时，有 令，则有 所以，在点 可微的。推论（可微的充分条件）：设 在 处满足 连续 在 1)满足C R方程。在2)则 在 处可微 例3：证明 在 满足C R方程，但不可微。证明：（略）3、解析函数概念定义3：若 在区

4、域D内可微，则称 为区域D内的解析函数，或称 在区域D内解析。注6：解析函数与相伴区域密切联系的。定义4：若 在 的某领域内解析，则称 在 解析。注7：函数在区域内解析与可微等价，而在一点解析要比在一点可微强的多。注8：在闭区域 上解析是指 在包含 D的某区域解析。的任一领域内总有 定义5：若 在 不解析，但在 的解析点，则 为 的奇点。4、解析函数简单性质定理3：若 在区域D内解析，则（分母不为零）也在区域D内解析，且有 定理4：（复合求导法则）：设 在z平面上的区域D内解析，在 平面上的区域 内解析，而且当 时，那么复合函数在D内解析，并且有定理5：设函数 在区域D内解析 在D内可微，且

5、满足C-R方程。推论：若 在区域D内满足 1）在区域D内连续；2）在区域D内满足C R方程。则 在区域D内解析。例4：讨论下列函数的解析性1）2）3）4）注9：判别函数解析的方法1）定义；2）运算法则；3）C R条件 例5：若，则 证明：因为，所以，从而 在D内为常数，故 为常数。例6：若 在区域D内解析且非常数，则 在D内不解析。证明：（略）。2 初等解析函数初等解析函数1、指数函数1.1 定义定义：对复数，如下定义指数函数：1.2 性质1）2）在全平面解析，且 3）加法定理成立即，4）是以 为周期的周期函数 5）不存在。注1：定义中令 得到欧拉公式：注2：2、三角函数与双曲函数2.1 定义

6、定义2：对复数，如下定义正弦函数、余弦函数 注3：合理性：因为，所以。2.2 性质 1）、，在全平面解析，且有，；2）、为奇函数，为偶函数。且遵从三角恒等式；3）、，以 为周期；4）、以 为零点，以 为零点。5）、，可大于1，且可趋于无穷大（分析中）注4：规定：注5：规定：注6：由定义2有：（Euler公式推广）例：求 的值。解：3 初等多值函数初等多值函数I预备知识定义1：设。若，有。则称 在D内是单叶的，D称为 的单叶性区域。若，但，则称 在D内是多叶的。II要求掌握1）、多叶函数与多值函数的关系2）、函数产生多值的原因3）、如何从多值函数分出单值分支1、根式函数根式函数 为幂函数的 的反

7、函数。1.1 幂函数的影射性质及单叶性区域1）：在 平面单值解析，把扩充 平面变成扩充z平面，是多叶的；2）：在z平面多值（n值）；（每一，对应于 平面上的n个点，分布在原点为心的正n角形顶点上）；3）：令，则（见课本P45）所以 把 平面夹角为 的角形区域 变成z平面出去原点和负实轴的区域。（*）注：（*）是 的单叶性区域的一种分法，一般，以原点为顶点，夹角不超过 的角形区域均是 的单叶性区域。1.2 分出 的单值解析分支 出现多值的原因是由于z给定后，不唯一确定 1）在几何上：在z平面从原点0到 任引一无界简单曲线将z平面割破，记此区域为G，在G内可得 的几个连续单值分支：2）代数上：指定

8、，因而指定数k，从而确定出 的连续单值分支。由于k取 后，其余的结果与前重复，故可确定几个连续单值分支。注1：1.3 的支点及其割线（图见课本P68）定义2：若动点 绕 一周后，多值函数从一支变到另一支，即动点回到原来位置时，函数值与原值不同，则称 为此多值函数的支点。支点。定义3：用来割破 平面，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线。注2：以，为支点。注3：若取负实轴为支割线，而得出 不同的单值分支，对其中 为其主值支。注4：一般割线分为两岸，每一单值分支在两岸取值不同。如 的主值支，上岸的点 的辅角为，下岸的点 的辅角为 注5：表示多值函数的总体，有时也用来表示某一特定分

9、支。例1：设 定义在沿负实轴割破 平面上，且 求 解：，1）由 确定 是哪一支 2）求 2、对数函数2.1 定义定义4：规定对数函数 为指数函数 的反函数。注1：令 ，则，从而，。所以 即 注2：-的主值支；故注3：若，则 2.2 性质1）多值（无穷多值）2）负数有对数 3）2.3 指数函数的映射性质及单叶性区域(图见课本P76)一般，把宽为 的带形区域 变成 平面除去原点和负实轴的区域。注4：宽不超过 的带形区域均是 的单叶区域，是单叶区域的一种分法。2.4 分出 的单值解析分支 出现多值的原因是由于 给定后，不唯一确定。1）从几何上：在 平面从原点 到 任引一条无界简单曲线将 平面割破（一

10、 的无穷多个不同的连续般割破负实轴），记此区域为G，则在G上可以分出 单值分支。2）代数上：指定，即指定 注5：在G内解析，且 注6：以0，为支点，支割线为连接 和 任一条无界简单曲线 3、一般幂函数与一般指数函数3.1 一般幂函数定义5：对复数，如下定义一般幂函数：性质：1）a为整数时，是单值的；2）a为有理数时，即 是p值的；3）a为无理数或虚数时，是无穷多值的；4）是多值时，其单值解析分支方法与 相同，且仍以 为支点，且（对单值分支）。3.2一般指数函数定义6：对复数，如下定义一般指数函数：注7：是无穷多个独立，在 平面单值解析的函数。例1：求 解：4、反三角函数定义7：规定反正弦函数

11、为正弦函数 的反函数。注8：因为，有 解出，所以 例2：求 例3：Bernoulli诡论：有 证明：因为1），2），3）4）；5）。说明：由3）不能推出4）：5、具有多个有限支点的情形例4：试证 在将z平面适当割开后能分出三个单值解析分支，并求出在 取负值的解析分支在 的值。例5：作出一个含 的区域，使得函数 在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在 点的值。解：由于我们先求函数w的支点。因为 的支点是0及无穷远点，所以函数w可能的支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线 C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。设 是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1

12、)及Arg(z-2)在这点的值分别为。当z从 按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而 没有变化，于是w在 的值就从连续变动到因此0是函数w的一个支点；同时，任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。设 是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在这点的值分别为。当z从 按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而 没有变化，于是w在 的值就从 连续变动到因此，1也是函数w的一个支点；同理，2和无穷远点也是它的支点。支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。首先，在复平面内作一条连

13、接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取 作为复平面上这样的割线，得区域D。其次，任作作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。设 是 上一点，确定w在 的一个值，同样的讨论，有当z从 沿 连续变化一周回到 时，连续变化而得的值没有变化。所以，我们可以作为割线如下，取线段0,1及从2出发且不与0,1相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取0,1及 作为复平面上的割线，得区域。求w在上述区域中的一个解析分支在z=i的值。在z=-1，取于是在D或 内，w可以分解成两个解析分支 由于所求的分支在z=-1的值为，可见这个分支是 由下图可以得到，在D或 内z=i处，因此w的所求分支在 z=i 的值是本章完