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1、东南大学无线电工程系电磁场与电磁波电 磁 场 与 电 磁 波场场 论论 复复 习习0.1 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量.例如,在直角坐标下,标量场如温度场,电位场,高度场等;矢量场如流速场,电场,涡流场等.形象描绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线标量场-等值线(面).其方程为其方程为三维场在直角坐标下:二维场图0.1.2 矢量线图0.1.1 等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？0.2 标量场的梯度一.梯度设当 ,即 与 方向一致时,为最大.设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 的方向导数为:梯
2、度(gradient)哈密顿算子式中则有:式中 ，分别是与x,y,z轴的夹角例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；二.梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;图0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.2 电位场的梯度0.3 矢量场的通量与散度一、通量 矢量 E
3、E 沿有向曲面S S 的面积分 0(有正源)0(有负源)=0(无源)图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:二、散度 如果包围点P的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即散度(divergence)计算公式三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A=0(无源）A A=0(负源)A A=0 (正源)在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；四、高斯公式(散度定理)高斯
4、公式 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。图0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S S的通量0.4 矢量场的环量与旋度一、环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量例：流速场图0.4.2 流速场图0.4.1 环量的计算二、旋度1.环量密度 过点P作一微小曲面S S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S S点P时,存在极限环量密度取不同的路径，其环量密
5、度不同。2.旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度(curl)它与环量密度的关系为在直角坐标系下三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为Stockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域
6、S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。图 0.4.3 斯托克斯定理0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性质=0=0=000=00.6 三种特殊形式的场 1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f
7、(r,)，则称这个场为轴对称场。3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。作业.2.3.式中：试证明下列各题1.矢量分析与场论初步 欧氏空间 笛卡儿直角坐标系 矢量（vector）张量（Tensor）并矢（Dyadic）哑指标（dummy index）自由指标(free index)坐标系由坐标原点与三条不共面的标架直线构成的坐标系称为直线坐标系。在直线坐标系中，如果各标架上单位尺度取得不同，称为仿射坐标系；如果取得相同，则称为笛卡儿坐标系。在笛卡儿坐标系中，如果标架直线相互垂直，称为笛卡儿直角坐标系 反之称为笛卡儿斜
8、角坐标系笛卡儿斜角坐标系 坐标系介绍、Lame系数以xi,i=1,2,3(替代x，y，z)表示笛卡儿直角坐标系的坐标，e1,e2,e3（替代i,j,k）分别表示三个坐标的单位矢量（基矢）。此处i称为自由指标，凡用自由指标，i依次取1,2,3。一、一、求和约定（求和约定（Summation ConventionSummation Convention）如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示要对该指标从1到3求和。例如在AiBi中，指标i重复出现两次，其含意是：i称为约定求和指标。约定求和指标在展开式中不再出现，因此也称为“哑指标”。显然哑指标的字母可以更换，因为AiBi与AjBj的含意是相
9、同的 哈密顿矢量微分算子Hilmiton 哈密顿矢量微分算子（Nable 算子）例1、例2、写出AijBij的展开式。在上式中i和j都是哑指标，展开式如下：例3、写出AijBj的展开式。在上式中j是哑指标，i不参加约定求和，i称为自由指标，上式的展开式如下：全部写出来是（矢量，共三个分量）二、克罗尼克尔（克罗尼克尔（KronecherKronecher）符号）符号 克罗尼克尔符号ij定义为由定义可知 ijji例1、在笛卡儿直角坐标系中ei ej=ij例2、单位矩阵可表示成采用约定求和法和克罗尼克尔符号将给我们以后的书写和计算带来很大的方便 几个常用的性质和运算 三、置换符号（置换符号（Levi
10、-Levi-CivitaCivita符号）符号）ijkijkijk的定义其中1232313121；1323212131；其余21 个全部为零。采用置换符号ijk可使书写和运算简化例1、用置换符号表示三阶行列式的值对照式（117），ijk恰好反映了行列式的性质。例2、用置换符号表示AB借用例1 的结果ijk,注意下标的顺序，i给基矢，j、k依次给后边的符号。同样矢量u的旋度curl u采用置换符号可以写成ij和和ijk的关系的关系1）、根据ij和ijk的定义，读者很容易验证下式的正确性2）根据行列式的乘法，新行列式的第一行的第一项应该是同法可以求新行列式的各项，所以a）、若ip，则有 证明：所以，若i=p，j=q，则有 c）、若i=p，j=q，k=r,则有例1、求例2、证明证：因为 所以 梯度、散度、旋度在广义坐标系中的表达式旋度在广义坐标系中的表达式拉普拉斯算符例题1例题 2例题 3例题 4 广义高斯定理习 题 一