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1、第七节 解析函数与调和函数的关系 3.4.1 3.4.1 调和函数的定义调和函数的定义3.4.2 3.4.2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系3.4.33.4.3由调和函数构造解析函数由调和函数构造解析函数3.4.4 3.4.4 小结与思考小结与思考13.4.1 调和函数的概念调和函数的概念 定义定义3.5 如果二元实函数如果二元实函数H(x,y)在区域在区域D内有内有二阶连续偏导数二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程且满足拉普拉斯方程:即：即：则称则称H(x,y)为区域为区域D内的内的调和函数调和函数。注：注：称为称为Lplace算子算子例如：例如：f(x,y)=x2-2xy2
2、 不是一个调和函数不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.2设设f(z)=u+iv在区域在区域D内解析内解析,则由则由C.-R.条件条件得得同例同例,在在D内有内有即即u及及v都是都是D内的调和函数内的调和函数3.4.2解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系3v称为称为u在区域在区域D内的内的共轭调和函数共轭调和函数.定理定理：设函数：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)A(D)u(x,y),v(x,y)都是都是D内的调和函数内的调和函数例如例如:设设 f(z)=x-iy,则则u(x,y
3、),v(x,y)都是都是z平面上的平面上的调和函数调和函数,但但f(z)=x-iy在在z平面上处处不解析平面上处处不解析原因原因:u(x,y),v(x,y)在在D内不满足内不满足C-R条件条件定义定义3.6 u(x,y),v(x,y)是是D内内的调和函数，的调和函数，且满足且满足C.-R.条件：条件：4 定理定理3.18 若若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内解析内解析,则称在区域则称在区域D内内v(x,y)必为必为u(x,y)的共轭调和函数的共轭调和函数.定理定理3.19 设设u(x,y)是单连通区域是单连通区域D内的调和函数内的调和函数,则可构造函数则可构造函数v(x,
4、y)：使使f(z)=u+iv是是D内的解析函数内的解析函数.3.4.3 由调和函数构造解析函数由调和函数构造解析函数注：注：1.若若(0,0)D,则在则在(3.22)中中,常取常取(x0,y0)=(0,0)2.(3.22)可用如下方法记忆可用如下方法记忆:dv(x,y)=vxdx+vydy=-uydx+uxdy5例例3.15 验证验证u(x,y)=x33xy2是是z平面上的调和数，平面上的调和数，并求以并求以u(x,y)为实部的解析函数为实部的解析函数f(z),使合使合f(0)=i解：解：要求要求f(z)，需先求，需先求v(x,y),一般可用以下方法求一般可用以下方法求v(x,y)方法一：线积
5、分法，用公式方法一：线积分法，用公式3.22得：得：6故：故：再由再由 f(0)=i,得出得出 C1，故，故 f(z)=z3+i方法二：两次积分法：首先由方法二：两次积分法：首先由C-R条件得：条件得：vy=ux=3x2-3y27由此得：由此得：方法三：全微分法方法三：全微分法方法四：不定积分法方法四：不定积分法8不定积分法不定积分法不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:9将上两式积分将上两式积分,得得10若已知若已知 v,可用类似的方法求可用类似的方法求 u du(x,y)=uxdx+uydy=vydx-vxdy例3.16 验证验证v(x,y)=arctan(y/x)(x0)再由半平面内
6、再由半平面内是调和函数是调和函数,并求以此为虚部的解析函数并求以此为虚部的解析函数f(z)11答案答案课堂练习课堂练习12例例3.17 解解1314所求解析函数为所求解析函数为15例例3.183.18解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得16所求解析函数为所求解析函数为17用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 例例3.203.20解解18例例3.21 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 1920例例3.22 解解两边同时求导数两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得21223.3.4小结与思考小结与思考 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是:1.任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数.2.满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux=vy,vx=uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数,u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.23