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1、人 教 版 数 学 八 年 级 上 学 期期末测试卷学校_班级_姓名_成绩_一、选择题一、选择题( (本题共本题共 1010 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,共共 3030 分分) )1.以下四家银行的标志图中,不是轴对称图形的是 （ ）A.B.C.D.2.下列运算中正确的是（）A.a4a2 a83.若把分式B.a5 a5 a10C.3a32 6a6D.a3 2a a7x y中的x、y都扩大 2 倍,那么分式的值（）xyB. 不变C. 缩小一半D. 缩小 4倍A. 扩大 2 倍4.下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是（）A.3a b 3a 3bC.ax ay ax y2
2、B.x 6x 9 xx 692D.a 2 a 2a 25.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍,这种植物的果实像一个微小的无花果,质量只有 000000 0076克,用科学记数法表示是()108克A. 7.610-8克C. 7610-7克B. 7.610-9克D. 7.66.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出AOB=AOB的依据是()A. SASB. AASC. ASAD. SSS7.有公共顶点 A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接 AC 交正六边形于点 D,则ADE的度数为（）A 144B. 84C. 74D. 548.如图,在ABC中,BC60,点 D在 A
3、B边上,DEAB,并与 AC边交于点 E如果 AD1,BC6,那么 CE等于（）A. 5B. 4C. 3D. 29.如图,将ABD沿ABC的角平分线 AD所在直线翻折,点 B 在 AC边上的落点记为点 E已知C=20、AB+BD=AC,那么B 等于（）A. 80B. 60C. 40D. 3010.如图,已知,BD为ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA 下列结论： ABDEBC；BCE+BCD=180；AD=AE=EC；AC=2CD其中正确的有（） 个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 3
4、3 分分, ,共共 1818 分分) )11.写出点 M（2,3）关于 x轴对称的点 N的坐标_12.3(4) ( ) _13.若 a+b=4,ab=1,则 a2b+ab2=_2013214.若52x3,则 A= （） A x1x115.等腰三角形ABC,AB AC,一腰上的中线把这个三角形的长分成12和 15两部分,求这个三角形的底边_.16.如图,点 A,C,D,E在 Rt MON的边上,MON=90,AEAB且 AE=AB,BCCD且 BC=CD,BHON于点 H,DFON 于点 F,OM=12,OE=6,BH=3,DF=4,FN=8,图中阴影部分的面积为_三、解答题三、解答题( (本大
5、题共本大题共 1010 个小题个小题, ,共共 102102 分解答时应写出必要的文字说明分解答时应写出必要的文字说明, ,证明过程和演算步证明过程和演算步骤骤) )17.计算：（1）a b(3a b )(6a b )（2）(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y)18.解分式方程：11412232xxx13a22a 119.先化简代数式1,再从2 a 2中选一个恰当的整数作为a的值代入求值2a 4a 220.小红家有一个小口瓶（如图5 所示）,她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测,于是她想了想,唉！有办法了她拿来了两根长度相同的细木条 ,并且把两根长木条的中点固定在
6、一起,木条可以绕中点转动,这样只要量出AB的长,就可以知道玻璃瓶的内径是多少,你知道这是为什么吗？请说明理由 （木条的厚度不计）21.解决下列两个问题：（1）如图 1,在 ABC中,AB3,AC4,BC5EF垂直且平分 BC点 P 在直线 EF上,直接写出 PA+PB的最小值,并在图中标出当 PA+PB取最小值时点 P的位置；解：PA+PB的最小值为（2）如图2点M、N在BAC内部,请在BAC的内部求作一点 P,使得点 P到BAC两边的距离相等,且使 PMPN （尺规作图,保留作图痕迹,无需证明）22. 我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书 经了解,科普书的单价比文学书的单价多4元,用1
7、2000元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等（1）文学书和科普书的单价各多少钱？（2）今年文学书和科普书单价和去年相比保持不变,该校打算用 10000 元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书？23.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为 m,宽为 n的全等小长方形,且 mn.(以上长度单位：cm)(1)观察图形,可以发现代数式 2m25mn2n2可以因式分解为_；(2)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求图中所有裁剪线(虚线
8、部分)长之和.24.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中,老师提出一个问题：若关于x 的分式方程求 a 的取值范围？经过小组交流讨论后,同学们逐渐形成了两种意见：的的a31的解为正数,x11 x小明说：解这个关于 x 的分式方程,得到方程的解为 x=a2由题意可得 a20,所以 a2,问题解决小强说：你考虑的不全面还必须保证a3 才行老师说：小强所说完全正确请回答：小明考虑问题不全面,主要体现在哪里？请你简要说明：完成下列问题：2mx1=1 的解为负数,求 m 的取值范围；x232x2nx=1 无解直接写出 n 的取值范围（2）若关于 x 的分式方程x33 x（1）已知关于 x方程2
9、5.如图 1,点 P、Q 分别是边长为 4cm的等边三角形 ABC的边 AB、BC上的动点,点 P 从顶点 A,点 Q从顶点 B 同时出发,且它们的速度都为 1cm/s（1）连接 AQ、CP交于点 M,则在 P,Q运动的过程中,证明ABQCAP；（2）CMQ会发生变化吗？若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数；（3）P、Q运动几秒时,PBQ是直角三角形？（4）如图 2,若点 P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC 上运动,直线 AQ、CP交点为 M,则CMQ变化吗？若变化说明理由,若不变,则求出它的度数。26.在 ABC中,BC=AC,C=90,直角顶点 C在 x 轴上,一锐角顶点 B在
10、 y轴上的（1）如图若 AD于垂直 x 轴,垂足为点 D点 C坐标是（-1,0）,点 A的坐标是（-3,1）,求点 B的坐标（2）如图,直角边 BC在两坐标轴上滑动,若 y轴恰好平分ABC,AC 与 y轴交于点 D,过点 A作 AEy轴于 E,请猜想 BD与 AE有怎样的数量关系,并证明你的猜想（3） 如图,直角边BC在两坐标轴上滑动,使点A在第四象限内,过 A点作AFy轴于 F,在滑动的过程中,请猜想 OC,AF,OB 之间有怎样的关系?并证明你的猜想答案与解析答案与解析一、选择题一、选择题( (本题共本题共 1010 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,共共 3030 分分) )
11、1.以下四家银行的标志图中,不是轴对称图形的是 （ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念：A、C、D 都可以沿某一直线折叠后重合,是轴对称图形故选 B考点：轴对称图形2.下列运算中正确的是（）A.a4a2 a8【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则,同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案【详解】A、a4a2 a6,故此选项错误；B、a5+a5=2a5,故此选项错误；C、 （3a3）2=9a6,故此选项错误；D、 （a3）2a=a7,故此选项正确；故选：D【点睛】此题考查合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方,解题关键在于掌握运算
12、法则B.a5 a5 a10C.3a32 6a6D.a3 2a a7x y3.若把分式中的x、y都扩大 2 倍,那么分式的值（）xyA. 扩大 2 倍【答案】C【解析】【分析】B. 不变C. 缩小一半D. 缩小 4 倍可将式中的 x,y都用 2x,2y来表示,再将后来的式子与原式对比,即可得出答案x y【详解】解：由题意,分式中的 x 和 y都扩大 2倍,xy2x2yx y=,2x2y2xy分式的值是原式的故选：C1,即缩小一半,2【点睛】本题考查了分式的基本性质,分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式,分式的值不变,分子、分母、分式本身同时改变两处的符号,分式的值不变,掌握知识点是解
13、题关键4.下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是（）A.3a b 3a 3bC.ax ay ax y【答案】C【解析】【分析】因式分解的概念：把一个多项式在一个范围内分解 ,化为几个整式乘积的形式,这种式子变形叫做因式分解,据此逐一进行分析判断即可.【详解】A.3a b 3a 3b,整式乘法,故不符合题意；2B.x 6x 9 xx 69,不是因式分解,故不符合题意；2B.x 6x 9 xx 692D.a 2 a 2a 2C.ax ay ax y,是因式分解,符合题意；2D.a 2 a 2a 2,故不符合题意,故选 C.5.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍,这种植物的果实像一
14、个微小的无花果,质量只有 000000 0076克,用科学记数法表示是()A 7.6108克C. 7.610-8克【答案】C【解析】B. 7.610-7克D. 7.610-9克10n形式,其中 1a10,n 是一个负整数,除符号试题解析：对于绝对值小于 1 的数,用科学记数法表示为 a10-8克,外,数字和原数左边第一个不为0 的数前面 0 的个数相等,根据以上内容得：0.00 000 0076克=7.6故选 C6.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出AOB=AOB的依据是()A. SAS【答案】D【解析】【分析】B. AASC. ASAD. SSS根据三角形全等的判定与性质即可得出答
15、案【详解】解：根据作法可知：OC=OC,OD=OD,DC=DCOCDOCD(SSS)COD=CODAOB=AOB故选 D【点睛】本题考查的是三角形全等,属于基础题型,需要熟练掌握三角形全等的判定与性质7.有公共顶点 A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接 AC 交正六边形于点 D,则ADE的度数为（）A. 144【答案】B【解析】正 五 边 形B. 84C. 74D. 54内 角 是 ABC=521805=108,AB=BC,CAB=36, 正 六 边 形 的 内 角 是ABE=E=故选 B621806=120,ADE+E+ABE+CAB=360,ADE=36012012036=8
16、4,8.如图,在ABC中,BC60,点 D在 AB边上,DEAB,并与 AC边交于点 E如果 AD1,BC6,那么 CE等于（）A. 5【答案】B【解析】【分析】B. 4C. 3D. 2根据等边三角形的性质和含30的直角三角形的性质解答即可,【详解】在ABC中,BC60,A60DEAB,AED30AD1,AE2,BC6,ACBC6,CEACAE624,故选 B【点睛】考查含 30的直角三角形的性质,关键是根据等边三角形的性质和含30的直角三角形的性质解答9.如图,将ABD沿ABC的角平分线 AD所在直线翻折,点 B 在 AC边上的落点记为点 E已知C=20、AB+BD=AC,那么B 等于（）A
17、. 80【答案】C【解析】【分析】B. 60C. 40D. 30由翻折可得 BDDE,ABAE,则有 DEEC,再根据等边对等角和外角的性质可得出答案【详解】解：根据折叠的性质可得BDDE,ABAE,B=AED,ACAE+EC,AB+BDAC,DEEC,EDCC20,B=AEDEDC+C40,故选：C【点睛】本题考查了翻折的性质和等腰三角形的性质,掌握知识点是解题关键10.如图,已知,BD为ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA 下列结论： ABDEBC；BCE+BCD=180；AD=AE=EC；AC=2CD其中正确的有（） 个A. 1【答案】C【解析】B. 2C.
18、 3D. 4【详解】BD 为ABC的角平分线,ABD=CBD,在ABD和EBC中,BD=BC,ABD=CBD,BE=BA,ABDEBC(SAS),正确；BD 为ABC的角平分线,BD=BC,BE=BA,BCD=BDC=BAE=BEA,ABDEBC,BCE=BDA,BCE+BCD=BDA+BDC=180正确；BCE=BDA,BCE=BCD+DCE,BDA=DAE+BEA,BCD=BEA,DCE=DAE,ACE为等腰三角形,AE=EC,ABDEBC,AD=EC,AD=AE=EC,正确；因为 BD 是ABC 的角平分线,且 BABC,所以 D 不可能是 AC 的中点,则 AC2CD,故错误.故选：C
19、.【点睛】 此题考查角平分线定理,全等三角形的判定与性质、 等腰三角形的性质与判定、 三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识,本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,共共 1818 分分) )11.写出点 M（2,3）关于 x轴对称的点 N的坐标_【答案】 （-2,-3）【解析】解：根据平面直角坐标系内关于x 轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变,点 M（-2,3）关于 y 轴的对称点为（-2,-3） 12.3(4) ( ) _【答案】1【解析】20132【分析】根据负整数指数
20、幂,零指数幂,整数指数幂的运算法则计算即可【详解】原式=11+1-=1,99故答案为：1【点睛】本题考查了实数的运算,掌握负整数指数幂,零指数幂,整数指数幂的运算法则是解题关键13.若 a+b=4,ab=1,则 a2b+ab2=_【答案】4【解析】【分析】分析式子的特点,分解成含已知式的形式,再整体代入【详解】解：a2b+ab2=ab(a+b)=14=4故答案为 4.【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力14.若52x3A,则 A= （）x1x1【答案】2【解析】【分析】2x352x35,得 A=,计算可得. A x1x1
21、x1x12x352x35【详解】由,得 A=2. A x1x1x1x1由故答案为 2【点睛】本题考核知识点：分式的加法.解题关键点：掌握分式的加法法则.15.等腰三角形ABC,AB AC,一腰上的中线把这个三角形的长分成12和 15两部分,求这个三角形的底边_.【答案】7 或 11【解析】【分析】如图（见解析）,分两种情况： （1）AD AC 15,BD BC 12； （2）AD AC 12,BD BC 15；然后分别根据三角形的周长列出等式求解即可【详解】如图,ABC是等腰三角形,AB AC,BC 为底边,CD为 AB上的中线设AD BD x,BC y,则AB AC 2x依题意,分以下两种情
22、况：（1）AD AC 15,BD BC 12x2x 15x 5则,解得x y 12y 7（2）AD AC 12,BD BC 15x2x 12x 4则,解得x y 15y 11综上,底边 BC的长为 7或 11故答案为：7或 11【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、中线的定义,读懂题意,正确分两种情况是解题关键16.如图,点 A,C,D,E在 Rt MON的边上,MON=90,AEAB且 AE=AB,BCCD且 BC=CD,BHON于点 H,DFON 于点 F,OM=12,OE=6,BH=3,DF=4,FN=8,图中阴影部分的面积为_【答案】50【解析】【分析】易证AEOBAH,BCHCDF即可
23、求得 AO=BH,AH=EO,CH=DF,BH=CF,即可求得梯形 DEOF的面积和AEO,ABH,CGH,CDF的面积,即可解题【详解】EAO+BAH=90,EAO+AEO=90,BAH=AEO,AEOBAH在AEO和BAH中OBHA90,AEABAEOBAH（AAS）,同理BCHCDF（AAS）,AO=BG=3,AH=EO=6,CH=DF=4,BH=CF=3,梯形 DEOF的面积=SAEO=SABH=1（EF+DH）FH=80,21AFAE=9,21SBCH=SCDF=CHDH=6,29-26=50,图中实线所围成的图形的面积S=80-2故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全
24、等三角形对应边相等的性质,本题中求证AEOBAH,BCHCDF是解题的关键三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 1010 个小题个小题, ,共共 102102 分解答时应写出必要的文字说明分解答时应写出必要的文字说明, ,证明过程和演算步证明过程和演算步骤骤) )17.计算：（1）a b(3a b )(6a b )（2）(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y)【答案】 （1）b； （2）9xy【解析】【分析】（1）按照同底幂指数的运算规则计算可得；（2）先去括号,然后合并同类项【详解】 （1）a b(3a b )(6a b )141223141223121 -a112b423
25、21 b2（2） (2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y) 4x24xy y2 x2 y25x25xy 9xy【点睛】本题考查同底幂的乘除运算和多项式相乘,需要注意,在去括号的过程中,若括号前为“”,则括号内需要变号18.解分式方程：12xxx1【答案】原方程的解为x 2【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、验根、写结论解答即可.【详解】12xxx12去分母得：xx12x1 x去括号得：x2 x2x2 x2解得：x 2经检验x 2是原方程的解所以原方程的解为x 2.【点睛】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤是基础,去分母时确定最简公分母是关键,注意不要漏乘
26、.3a22a 119.先化简代数式1,再从2 a 2中选一个恰当的整数作为a的值代入求值2a 2a 4【答案】【解析】【分析】根据分式的运算法则即可化简,再代入使分式有意义的值即可求解a 2,当a 0时,原式 2a 13a22a 1【详解】12a 2a 4a23a22a12a2a 4a1 (a2)(a2)a2(a1)2a 2,a 102 201化简求值,解题的关键是熟知分式的运算法则当a 0时,原式【点睛】此题主要考查分式20.小红家有一个小口瓶（如图5 所示）,她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测,于是她想了想,唉！有办法了她拿来了两根长度相同的细木条 ,并且把两根长木条的中
27、点固定在一起,木条可以绕中点转动,这样只要量出AB的长,就可以知道玻璃瓶的内径是多少,你知道这是为什么吗？请说明理由 （木条的厚度不计）【答案】见解析.【解析】【分析】CD,由条件可以证明 AOBDOC,从而可以得出 AB=CD,故只要量出 AB的长,就可以知道玻连接 AB、璃瓶的内径【详解】解：连接 AB、CD,O 为 AD、BC的中点,AO=DO,BO=CO在 AOB和 DOC中,的AO DOAOB DOC,BO COAOBDOCAB=CD只要量出 AB的长,就可以知道玻璃瓶的内径21.解决下列两个问题：（1）如图 1,在 ABC中,AB3,AC4,BC5EF垂直且平分 BC点 P 在直线
28、 EF上,直接写出 PA+PB的最小值,并在图中标出当 PA+PB取最小值时点 P的位置；解：PA+PB的最小值为（2）如图 2点 M、N 在BAC的内部,请在BAC的内部求作一点 P,使得点 P 到BAC两边的距离相等,且使 PMPN （尺规作图,保留作图痕迹,无需证明）【答案】 （1）4； （2）见解析【解析】分析】（1） 根据题意知点 B关于直线 EF的对称点为点 C,故当点 P 与点 D 重合时,AP+BP的最小值,求出 AC长度即可得到结论【详解】 （1）点 P 的位置如图所示：于 AC的长,即最小值为 4故答案为 4（2）作AOB的平分线 OE,作线段 MN的垂直平分线 GH,GH
29、交 OE 于点 P,点 P 即为所求EF垂直平分 BC,B、C关于 EF对称,设 AC交 EF于 D,当 P 和 D重合时,AP+BP 的值最小,最小值等（2）如图,作AOB的平分线 OE,作线段 MN的垂直平分线 GH,GH交 OE 于点 P,则点 P 即为所求【点睛】本题考查了基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识 ,解题的关键是熟练掌握五种基本作图,学会利用两点之间线段最短解决最短问题22. 我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书 经了解,科普书的单价比文学书的单价多4元,用12000元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等（1）文学书和科普书的单价各多少
30、钱？（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变 ,该校打算用 10000 元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书？【答案】 （1）文学书和科普书的单价分别是8 元和 12 元 （2）至多还能购进 466 本科普书【解析】【详解】 （1）设文学书的单价为每本x元,则科普书的单价为每本（x+4）元,依题意得：800012000,xx4解得：x=8,经检验 x=8是方程的解,并且符合题意x+4=12购进的文学书和科普书的单价分别是8 元和 12元设购进文学书 550本后至多还能购进 y本科普书依题意得5508+12y10000,解得y 466y为整数,y
31、的最大值为 466至多还能购进 466本科普书23.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为 m,宽为 n的全等小长方形,且 mn.(以上长度单位：cm)(1)观察图形,可以发现代数式 2m25mn2n2可以因式分解为_；(2)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.2,3【答案】(1)(m2n)(2mn)（2）42cm【解析】【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）求出 m+n的值,然后根据图象由正方形
32、的性质和长方形的性质即可得出结论；【详解】 （1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n） （2m+n） ；故答案为（m+2n） （2m+n） ；（2）依题意得：2m2+2n2=58,mn=10,m2+n2=29（m+n）2m2+n2+2mn=49,m+n7,7=42cm图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用 ,根据已知图形得出是解题的关键24.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中,老师提出一个问题：若关于x 的分式方程求 a 的取值范围？经过小组交流讨论后,同学们逐渐形成了两种意见
33、：小明说：解这个关于 x 的分式方程,得到方程的解为 x=a2由题意可得 a20,所以 a2,问题解决小强说：你考虑的不全面还必须保证a3 才行老师说：小强所说完全正确请回答：小明考虑问题不全面,主要体现在哪里？请你简要说明：完成下列问题：a31的解为正数,x11 x2mx1=1 的解为负数,求 m 的取值范围；x232x2nx=1 无解直接写出 n 的取值范围（2）若关于 x 的分式方程x33 x（1）已知关于 x 的方程【答案】 （1） ：m【解析】【分析】151且 m； （2）n=1 或 n=234考虑分式的分母不为 0,即分式必须有意义；（1）表示出分式方程的解,由解为负数确定出 m的
34、范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程无解,得到有增根或整式方程无解,确定出 n的范围即可【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于 x 的分式方程得,x=方程有解,且解为负数,3,2m12m10,3 22m1解得：m11且 m-；24（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3,即（n-1）x=2,由分式方程无解,得到 x-3=0,即 x=3,代入整式方程得：n=5；3当 n-1=0时,整式方程无解,此时 n=1,综上,n=1或 n=53【点睛】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验25.如图 1,
35、点 P、Q 分别是边长为 4cm的等边三角形 ABC的边 AB、BC上的动点,点 P 从顶点 A,点 Q从顶点 B 同时出发,且它们的速度都为 1cm/s（1）连接 AQ、CP交于点 M,则在 P,Q运动的过程中,证明ABQCAP；（2）CMQ会发生变化吗？若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数；（3）P、Q运动几秒时,PBQ是直角三角形？（4）如图 2,若点 P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC 上运动,直线 AQ、CP交点为 M,则CMQ变化吗？若变化说明理由,若不变,则求出它的度数。【答案】 （1）见解析； （2）CMQ=60,不变； （3）当第CMQ=120,不变【解析】【分析
36、】（1）利用 SAS可证全等；（2）先证 ABQCAP,得出BAQ=ACP,通过角度转化,可得出CMQ=60；（3）存在2 种情况,一种是PQB=90,另一种是BPQ=90,分别根据直角三角形边直角的关系可求得t的值；（4）先证 PBCACQ,从而得出BPC=MQC,然后利用角度转化可得出CMQ=120【详解】 （1）证明：在等边三角形ABC中,AB=AC,B=CAP=60又由题中“点 P 从顶点 A,点 Q 从顶点 B同时出发,且它们的速度都为 1cm/s.”可知：AP=BQABQCAP；（2）CMQ=60不变等边三角形中,AB=AC,B=CAP=60又由条件得 AP=BQ,ABQCAP(S
37、AS),BAQ=ACP,CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60；（3）设时间为 t,则 AP=BQ=t,PB=4-t,当PQB=90时,B=60,PB=2BQ,得 4-t=2t,t=当BPQ=90时,B=60,BQ=2PQ,得 2t=2（4-t）,t=2；4秒或第 2 秒时,PBQ 为直角三角形； （4）34；3当第4秒或第 2 秒时, PBQ 为直角三角形；3（4）CMQ=120不变,在等边三角形中,AB=AC,B=CAP=60,PBC=ACQ=120,又由条件得 BP=CQ,PBCACQ(SAS),BPC=MQC,又PCB=MCQ,CMQ=PBC=180-60=120【点睛】
38、本题考查动点问题中三角形的全等,解题关键是找出图形中的全等三角形,利用全等三角形的性质进行角度转化,得出需要的结论26.在ABC中,BC=AC,C=90,直角顶点 C在 x 轴上,一锐角顶点 B在 y轴上（1）如图若 AD于垂直 x 轴,垂足为点 D点 C坐标是（-1,0）,点 A的坐标是（-3,1）,求点 B的坐标（2）如图,直角边 BC在两坐标轴上滑动,若 y轴恰好平分ABC,AC 与 y轴交于点 D,过点 A作 AEy轴于 E,请猜想 BD与 AE有怎样的数量关系,并证明你的猜想（3） 如图,直角边BC在两坐标轴上滑动,使点A在第四象限内,过 A点作AFy轴于 F,在滑动的过程中,请猜想
39、 OC,AF,OB 之间有怎样的关系?并证明你的猜想【答案】 （1）点 B 的坐标是（0,2） ； （2）BD=2AE,证明见解析； （3）OC=OB+AF,证明见解析【解析】【分析】（1）先证 ADCCOB,得出 OB=CD,从而得出点 B 的坐标；（2）如下图,可证明 BDCAFC,BD=AE,然后根据 BEAE,y轴恰好平分ABC,可推导得出结论；（3）如下图,根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质,可证 BOCCEO,从而得出结论【详解】 （1）点 C坐标是(-1,0),点 A 的坐标是(-3,1)AD=OC,在 Rt ADC和 Rt COB中AD=OC,AC=BCRt ADCRt CO
40、B(HL),OB=CD=2,点 B的坐标是(0,2)；（2）BD=2AE,理由：作 AE 的延长线交 BC 的延长线于点 F,如下图 2所示,ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点 C在 x 轴上,AEy轴于 E,BCA=ACF=90,AED=90,DBC+BDC=90,DAE+ADE=90,BDC=ADE,DBC=FAC,在 BDC和 AFC中,BCD ACFBC ACDBC FACBDCAFC(ASA)BD=AF,BEAE,y轴恰好平分ABC,AF=2AE,BD=2AE；（3）OC=OB+AF,证明：作 AEOC 于点 E,如下图 3所示,AEOC,AFy轴,四边形 OFAE是矩形,AEC=90,AF=OE,ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点 C在 x 轴上,BOC=90,BCA=90,BCO+CBO=90,BCO+ACE=90,CBO=ACE,在 BOC和 CEO中,BOC CEACBO ACEBC ACBOCCEO(AAS)OB=CE,OC=OE+EC,OE=AF,OB=EC,OC=OB+AF【点睛】本题考查三角形全等综合,解题关键是通过辅助线,构造出全等三角形,然后利用全等三角形的性质转化求解