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1、第六模块数列第六模块数列第二十七讲第二十七讲数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法回归课本回归课本1.数列的定义数列的定义数列是数列是按照一定顺序排列着的一列数按照一定顺序排列着的一列数,在函数意义下在函数意义下,数列是数列是定义域为正整数集定义域为正整数集N+(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3,n)的函数的函数,即当自变量从小到大的顺序依次取值时即当自变量从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数所对应的一列函数值值,其图象是其图象是相应的曲线相应的曲线(或直线或直线)上横坐标为正整数的一系上横坐标为正整数的一系列孤立的点列孤立的点,数列的一般形式为数列的一般形式为a1,a2,a
2、n,通常简记为通常简记为an,其中其中an是数列是数列an的的第第n项项,也叫做通项也叫做通项.2.数列的通项公式数列的通项公式一个数列一个数列an的的第第n项项an与序号与序号n之间的关系之间的关系,如果可以如果可以用一个用一个式子式子an=f(n)来表示来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式项公式.数列的通项公式是研究数列的最佳载体数列的通项公式是研究数列的最佳载体,因此确定一个数列是因此确定一个数列是否有通项公式否有通项公式,以及如何求出这个通项公式以及如何求出这个通项公式,是解决数列问是解决数列问题的关键题的关键.求通项公式的常用方法有求通项公式
3、的常用方法有:观察分析法观察分析法 累差法累差法 累商法累商法和和公式法公式法等等.3.数列的表示方法数列的表示方法从函数的观点看从函数的观点看,数列的表示方法有数列的表示方法有:列表法列表法 图象法图象法 解析法解析法.4.数列的分类数列的分类(1)按照项数是有限还是无限来分按照项数是有限还是无限来分:有穷数列有穷数列 无穷数列无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系来分按照项与项之间的大小关系来分:递增数列递增数列 递减数列递减数列 常常数列数列 摆动数列摆动数列.(3)按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分:有界数有界数列列 无界数列无界数列
4、.5.数列数列an与与Sn之间的关系之间的关系Sn=a1+a2+a3+an,an=6.数列的递推公式数列的递推公式如果已知数列如果已知数列an的的第第1项项(或前几项或前几项),且从且从第第2项起项起(或某一项或某一项)任意一项任意一项an与它的与它的前一项前一项an-1(或前几项或前几项)间的关系可以用间的关系可以用一个公式来表示一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.等差数列与等比数列是最基本的递推数列等差数列与等比数列是最基本的递推数列,递推数列的基递推数列的基本问题是由递推关系求通项公式本问题是由递推关系求通项公式.考点陪练考点陪练1.
5、(2010安徽安徽)设数列设数列an的前的前n项和项和Sn=n2,则则a8的值为的值为()A.15B.16C.49D.64解析解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案答案:A2.下列说法正确的是下列说法正确的是()A.数列数列1,3,5,7可表示为可表示为1,3,5,7B.数列数列1,0,-1,-2与数列与数列-2,-1,0,1是相同的数列是相同的数列C.数列数列 的第的第k项为项为D.数列数列0,2,4,6,可记为可记为2n解析解析:根据数列的定义与集合定义的不同可知根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确不正确;D项项2n中的中的n N*,故不正确故不正确;C中中an=ak=答
6、案答案:C3.已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是an=,那么这个数列是那么这个数列是()A.递增数列递增数列B.递减数列递减数列C.摆动数列摆动数列D.常数列常数列解析解析:解法一解法一:an+1-an=,an+1an,数列数列an为递增数列为递增数列.答案答案:A4.设数列设数列an中中,a1=1,n2,都有都有a1 a2 a3an=n2,则则a3+a5=()分析分析:从理论上说从理论上说,如果已知数列的首项和递推公式可以求出如果已知数列的首项和递推公式可以求出这个数列的任何一项这个数列的任何一项,但当序号较大时但当序号较大时,利用递推公式来求利用递推公式来求是很麻烦的是很麻烦的,
7、从这一点来说数列的通项公式要比递推公式更从这一点来说数列的通项公式要比递推公式更为深刻为深刻,当序号较小时可用解法二当序号较小时可用解法二,如果由递推公式能很快如果由递推公式能很快地推导出通项公式地推导出通项公式,还是用通项公式来求解还是用通项公式来求解,这样能使得计这样能使得计算简捷算简捷 准确准确.解析解析:解法一解法一:由已知由已知a1 a2 a3an=n2得得an=,n2,n N*,将将a1a2an-1=(n-1)2,n3,n N*,代入代入an得得an=(n3).当当n=2时适合此式时适合此式,当当n=1时不适合此式时不适合此式.an=a3+a5=,选选A.解法二解法二:当当n=2时
8、时,a1 a2=4,a2=4.当当n=3时时,a1 a2 a3=9,a3=当当n=4时时,a1 a2 a3 a4=16,a4=当当n=5时时,a5=,a3+a5=,选选A.答案答案:A5.数列数列an中中,a1=1,a2=2,当当n N*时时,an+2等于等于anan+1的个位数的个位数,若数列若数列an的前的前k项和为项和为243,则则k=()A.61B.62C.63D.64解析解析:依题意依题意,得得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,数列数列an除第一项外除第一项外,其余的项形成以其余的
9、项形成以6为周期的数列为周期的数列,且从且从a2到到a7这六项的和等于这六项的和等于24.注意到注意到243=1+2410+2,因此因此k=1+610+1=62.故选故选B.答案答案:B 类型一类型一由前由前n项探索数列的通项公式项探索数列的通项公式解题准备解题准备:观察法就是观察数列的特征观察法就是观察数列的特征,找出各项共同规律找出各项共同规律,横横看看“各项之间的关系结构各项之间的关系结构”,纵看纵看“各项与项数各项与项数n的关系的关系”,从而确定出数列的通项从而确定出数列的通项.利用观察法求数列的通项时利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征要抓住以下几个特征:(1)分式中分子分式
10、中分子 分母的特征分母的特征;(2)相邻项的变化特征相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征拆项后的特征;(4)各项符号特征等各项符号特征等,并对此进行归纳并对此进行归纳 联想联想.注意注意:一个数列的通项公式的表达形式不一定唯一一个数列的通项公式的表达形式不一定唯一.【典例典例1】根据数列的前几项根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式写出数列的一个通项公式.(1)1,0,1,0,;(2)1,1,2,2,3,3,;(3),.(3)奇数项为负奇数项为负,偶数项为正偶数项为正,故选用故选用(-1)n确定符号确定符号.由观察知由观察知分子为分子为2n,而分母为两个连续奇数的积即而分母为两个连续奇数的积
11、即(2n-1)(2n+1).an=(-1)n 反思感悟反思感悟由给出的前由给出的前n项求通项公式时项求通项公式时,常由数列的各项中常由数列的各项中的有关元素与项数之间相关变化归纳出规律的有关元素与项数之间相关变化归纳出规律,并对找出的规并对找出的规律加以验证律加以验证.这种问题显然较简单且单纯这种问题显然较简单且单纯,此类题型在高考此类题型在高考题中也少有出现题中也少有出现,但它是但它是“猜想猜想证明证明”的前提的前提,在高考中在高考中占有很重要的地位占有很重要的地位.类型二类型二简单的数列递推公式简单的数列递推公式解题准备解题准备:已知数列的递推公式求通项已知数列的递推公式求通项,可把每相邻
12、两项的可把每相邻两项的关系列出来关系列出来,抓住它们的特点进行适当处理抓住它们的特点进行适当处理,有时借助拆分有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列或取倒数等方法构造等差数列或等比数列,转化为等差数列转化为等差数列或等比数列的通项问题或等比数列的通项问题;对于形如对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式的递推公式求通项公式,只要只要f(n)可可求和求和,便可利用累加的方法便可利用累加的方法;对于形如对于形如 =g(n)的递推公式求通项公式的递推公式求通项公式,只要只要g(n)可求积可求积,便可利用累积的便可利用累积的方法或迭代的方法方法或迭代的方法;对于形如对于形如an+
13、1=Aan+B(A0且且A1)型递型递推关系求通项公式时推关系求通项公式时,可用迭代法或构造等比数列法可用迭代法或构造等比数列法.【典例典例2】根据下列条件根据下列条件,写出数列的通项公式写出数列的通项公式:(1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n-1an=an-1.分析分析(1)将递推关系写成将递推关系写成n-1个等式累加个等式累加.(2)将递推关系写成将递推关系写成n-1个等式累乘个等式累乘,或逐项迭代也可或逐项迭代也可.解解(1)当当n=1,2,3,n-1时时,可得可得n-1个等式个等式.an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,a2-a1=1,将其相加将其相加
14、,得得an-a1=1+2+3+(n-1).an=a1+类型三类型三数列的单调性数列的单调性解题准备解题准备:数列的单调性是高考中经常考查的内容数列的单调性是高考中经常考查的内容,有关数有关数列的最大列的最大(小小)项、数列的有界性等问题项、数列的有界性等问题,都可以借助于数列都可以借助于数列的单调性来研究的单调性来研究,必须牢固掌握这类问题的解决方法必须牢固掌握这类问题的解决方法.这些这些方法主要有方法主要有a作差法作差法;b作商法作商法;c利用数列或函数的单调性等方法利用数列或函数的单调性等方法.【典例典例3】已知数列已知数列an的通项的通项an=(n+1)()n(n N+).试问该试问该数
15、列数列an有没有最大项有没有最大项?若有若有,求出最大项和最大项的项数求出最大项和最大项的项数;若没有若没有,说明理由说明理由.分析分析因因an是是n的函数的函数,难点在于难点在于an是一个一次函数是一个一次函数(n+1)与一与一个指数函数个指数函数()n的积的积.所以从一次函数或指数函数增减性所以从一次函数或指数函数增减性看看,一增一减积不确定一增一减积不确定.但但n N+,不妨试从比较不妨试从比较an与与an+1的大的大小入手小入手.解解 an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n=()n .当当n0,即即an+1an;当当n=9时时,an+1-an=0,即即an+1=an;当
16、当n9时时,an+1-an0,即即an+1an.故故a1a2a11a12,数列数列an的最大项是的最大项是a9或或a10,其值为其值为10()9,其项数为其项数为9或或10.反思感悟反思感悟由通项公式研究数列是常用方法由通项公式研究数列是常用方法,此时要注意数列此时要注意数列是一类特殊的函数是一类特殊的函数,要重视函数思想方法的运用和函数性质要重视函数思想方法的运用和函数性质的应用的应用.类型四类型四利用利用Sn与与an的关系求通项公式的关系求通项公式解题准备解题准备:an与与Sn的关系式的关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是的使用条件是n2,求求an时切勿漏掉时切勿漏掉n=1的情况的情况;
17、利用利用an与与Sn的关系可以消去的关系可以消去Sn得到关于得到关于an与与an-1的关系的关系,也可以消去也可以消去an得到得到Sn与与Sn-1之之间的关系间的关系,借助递推关系的特点构造等差或等比数列借助递推关系的特点构造等差或等比数列,前者前者可直接求出通项可直接求出通项an,后者求出后者求出Sn后再利用后再利用an与与Sn的关系求的关系求an即可即可.8an=(an+an-1+4)(an-an-1),(an+an-1)(an-an-1-4)=0,an0,an+an-10,an-an-1-4=0,即即an-an-1=4,数列数列an为等差数列为等差数列,且公差且公差d=4,又又a1=S1
18、=,a1=2,an=2+4(n-1)=4n-2.【典例典例1】已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=n2-4n+1,则则|an|=_.错解错解由题意得由题意得:an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-(n-1)2-4(n-1)+1=2n-5.则则|an|=|2n-5|.剖析剖析未验证未验证n=1时时,a1=S1是否适合当是否适合当n2时的解析式时的解析式,适合合适合合并并,否则否则,分段来写分段来写.错源二错源二方法理解不到位方法理解不到位 剖析剖析本题的错误原因是忽视了本题的错误原因是忽视了a1+3a2+3n-2an-1=中中n2,使得计算过程中出现了考虑不全面的错误使得计算过程中出现了
19、考虑不全面的错误.名师技法名师技法练智力练智力求解数列递推式通项的求解数列递推式通项的6种类型与方法种类型与方法求数列的通项公式是数列知识的一类基本题型求数列的通项公式是数列知识的一类基本题型,是进一步研究是进一步研究数列性质的前提数列性质的前提,因此是高考数列知识考查的重点内容之一因此是高考数列知识考查的重点内容之一.研究近几年的高考命题研究近几年的高考命题,我们可以归纳出求解这类问题的我们可以归纳出求解这类问题的基本思想主要是把问题转化成等差数列或等比数列基本思想主要是把问题转化成等差数列或等比数列,而转化而转化的常见方法有两种的常见方法有两种:一种是通过变形把问题转化一种是通过变形把问题
20、转化,另一种是另一种是通过构造把问题转化通过构造把问题转化.下面我们列举几种常见数列递推式的下面我们列举几种常见数列递推式的类型类型,希望能给同学们提供解答这类问题的基本方法希望能给同学们提供解答这类问题的基本方法.技法一技法一an+1=pan+qn(其中其中p,q均为常数均为常数,(pq(p-1)0)或或an+1=pan+rqn(其中其中p,q,r均为常数均为常数)技法二技法二an+1=an+f(n)把原递推公式转化为把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用叠加法再利用叠加法(逐差相加法逐差相加法)求解求解.技法三技法三an+1=f(n)an把原递推公式转化为把原递推公式转化为 再
21、利用叠乘法再利用叠乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解求解.技法四技法四an+1=pan+q(其中其中p,q均为常数均为常数,pq(p-1)0)先用待定系数法把原递推公式转化为先用待定系数法把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解再利用换元法转化为等比数列求解.【典例典例4】已知数列已知数列an中中,a1=1,an+1=2an+3,求求an.解解设递推公式设递推公式an+1=2an+3可以转化为可以转化为an+1-t=2(an-t),即即an+1=2an-tt=-3.故递推公式为故递推公式为an+1+3=2(an+3).令令bn=an+3,则则
22、b1=a1+3=4,且且bn是以是以b1=4为首项为首项,2为公比的等比数列为公比的等比数列,bn=42n-1=2n+1,即即an=2n+1-3.技法五技法五an+1=pan+an+b(p1,0,a0)这种类型一般利用待定系数法构造等比数列这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令即令an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),与已知递推式比较与已知递推式比较,解出解出x,y,从而转化为从而转化为an+xn+y是公比为是公比为p的等比数列的等比数列.【典例典例5】设数列设数列an满足满足a1=4,an=3an-1+2n-1,(n2),求求an.技法六技法六an+1=parn(p0,an0)这种类型一般是等式两边取对数后转化为这种类型一般是等式两边取对数后转化为an+1=pan+q,再利用再利用待定系数法求解待定系数法求解.【典例典例6】已知数列已知数列an中中,a1=1,an+1=a2n(a0),求数列求数列an的通项公式的通项公式.