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1、逻 辑 学第八讲第八讲青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20232第三节 归谬赋值法及真值表的作用一个演绎推理是有效的，当且仅当在任何赋值情况下，它都不会出现前提真而结论假的情况。有效的演绎推理，它前提的合取蕴涵结论，也正是在这种意义上可以把演绎推理用符合命题的蕴涵式表示：前提1 前提2 结论前提的合取为前件，结论为后件。这样，对演绎推理有效性的检验就可以简化为对蕴涵式是否是重言式的验证。如果它为重言式，则推理是有效的，否则就是无效的。前件前件后件后件青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20233第三节 归谬赋值法及真值表的作用例如：验证下面的推理例如：验证下面的
2、推理有效有效(p(p q)q)p q p qp pq q(p(p q)q)p q p qT TT TT TF FF FT TF FF F青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20234第三节 归谬赋值法及真值表的作用例如：验证下面的推理例如：验证下面的推理无效无效(p(p q)q)p q p qp pq q(p(p q)q)p q p qT TT TT TF FF FT TF FF F青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20235第三节 归谬赋值法及真值表的作用如果对复合命题推理是否有效都这样列出真假值予以判定，尽管可靠，但不简便，尤其对于复杂公式更不简便。因此，人们
3、运用简化的真值表方法，即归谬赋值法予以判定归谬赋值法思路归谬赋值法思路 假设命题公式是永假式，如果从中不可避免地导出了矛盾，则导出假设应被否定，即命题公式是真的。例：(p q)p q青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20236第三节 归谬赋值法及真值表的作用真值表的作用真值表的作用（一）定义作用（一）定义作用 (1)定义逻辑联接项的性质，如:、。(2)定义命题的类型，如:重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、协调式（有真有假）。（二）判断作用（二）判断作用(1)判定命题间的关系，如：pq与(pq)pq与pq pq与pq(2)判定推理是否有效，如：(pq)pq (pq)qp青岛大学
4、国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20237第三节 归谬赋值法及真值表的作用真值表的作用真值表的作用（三）总结作用（三）总结作用 如通过真值表可总结(pq)pq，即 当pq真并且p真时，q必定为真。又如对于(pq)qp，即 当pq真并且q假时，p必假。青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20238命题形式化及推理命题形式命题形式 命题形式是指由真值联结词和命题变项所构成的形式结构 不关心p、q等符号具体代表哪一个命题，意义是什么，内涵是什么，只关心命题的真假。全部用形式化的方法来探讨逻辑命题推理的规律形式逻辑。青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 20239命
5、题形式化及推理命题形式化基本步骤命题形式化基本步骤1.确定简单命题，一个简单命题用一个字母，将命题变元用字来表示和替换，保证同一个命题用相同的字母进行代换2.如果需要，在不改变语句意义的前提下对语句的表面结构进行改动3.确定所有的命题联结词，并“由内至外”或“由外至内”一步步将整个语句形式化青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202310命题形式化及推理命题形式化例子例例1 1：如果这匹马儿不吃饱草，那么这匹马儿就不能跑：如果这匹马儿不吃饱草，那么这匹马儿就不能跑P：这匹马儿吃饱草Q：这匹马儿跑 P Q例例2 2：如果明天天晴，那么我们明天去爬山，否则，那么：如果明天天晴，那么我
6、们明天去爬山，否则，那么我们去游泳。我们去游泳。P：明天天晴Q：明天去爬山R：明天去游泳 （P Q）（P R）青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202311命题形式化及推理命题形式化例子例例3 3：只有把：只有把9 9号或者号或者7 7号换下来，并且把号换下来，并且把4 4号或者号或者6 6号换上号换上场去，甲队才有希望扭转局面场去，甲队才有希望扭转局面P：9号换下来Q：7号换下来R：4号换上去S：6号换上去T：甲队有希望（P Q）（R S）T T （P Q）（R S）青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202312命题形式化及推理命题形式化例子例例4 4：当爸爸
7、、妈妈中只有一个人外出时，儿子可以留在：当爸爸、妈妈中只有一个人外出时，儿子可以留在家里。如果爸爸、妈妈都外出，必须找一个保姆，才可以家里。如果爸爸、妈妈都外出，必须找一个保姆，才可以把儿子留在家中。把儿子留在家中。P：爸爸在家Q：妈妈在家R：儿子在家S：有保姆在家R （P Q）R （P Q）S青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202313命题形式化及推理命题形式化例子例例5 5：1010月月6 6日晚上，张强要么去电影院看电影，要么去拜日晚上，张强要么去电影院看电影，要么去拜访朋友秦玲。如果那天晚上张强开车回家，他就没去电影访朋友秦玲。如果那天晚上张强开车回家，他就没去电影院
8、看电影；只有张强事先与秦玲约定，张强才能去拜访她。院看电影；只有张强事先与秦玲约定，张强才能去拜访她。事实上，张强不可能事先与秦玲约定。事实上，张强不可能事先与秦玲约定。P：张强去看电影Q：张强去拜访秦玲R：张强开车回家S：张强与秦玲约定P QR PQ S S青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202314命题逻辑的自然演绎方法自然演绎系统概述自然演绎系统概述自然演绎推理是对推理有效性判断的又一种方法基本思想是：确定一些保真性的推理规则，依据这些规则从真前提推出真结论，也就是说如果推理前提真，则结论一定真。自然演绎推理所依据的只有推理的规则，没有公理。自然演绎系统的形式推理规则、
9、形式推理关系、形式证明都比较直接和自然地反映了演绎推理过程。与公理系统相比较，这种推理更接近自然科学，接近一般数学中的演绎推理，接近人们日常思维，因此被称为自然演绎推理自然演绎推理系统包括：初始符号、形成规则、定义、推导规则青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202315命题逻辑的自然演绎方法（一）初始符号（一）初始符号(1)命题变项：p,q,r,s,p1,q1,r1,s1(2)联结词：，；(3)辅助符号：(，)青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202316命题逻辑的自然演绎方法（二）形成规则（二）形成规则 形成规则形成规则规定在系统中哪些符号的组合是有意义的，哪
10、些是没有意义的。有意义的符号组合叫合式公式，简称公式。形成规则为：(1)命题变项是公式；(2)如果A是公式，则 A是合式公式；(3)如果A和B是公式，则AB、AB、AB、A B是公式(4)只有有限次使用上面三条所得的复合组合才是公式 联结词的结合力依以下次序递减：，青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202317命题逻辑的自然演绎方法（三）定义（三）定义 定义定义用于表示缩写的，定义两边的符号串可以相互代替 例如：（A B）=df（A B）(A B)=df(AB)(BA)青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202318命题逻辑的自然演绎方法（四）推导规则（四）推导规
11、则 （1）整推规则 （2）置换规则 （3）条件证明规则 （4）间接证明规则青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202319命题逻辑的自然演绎方法（1 1）整推规则）整推规则规则规则1 1：PQ,P /Q规则规则2 2：PQ,Q /P规则规则3 3：PQ,P/Q 或者：PQ,Q/P规则规则4 4：PQ/P 或者：PQ/Q规则规则5 5：P,Q/PQ 规则规则6 6：P/PQ 或者：Q/PQ 规则规则7 7：PQ,QR/PR规则规则8 8：PQ,RS,PR/QS 规则规则9 9：P(QQ)/P 规则规则1010：PR,QS,RS/PQ 青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月
12、 202320命题逻辑的自然演绎方法整推规则应用：整推规则应用：1、如果小张参加长跑比赛，那么小林参加短跑比赛。如果小汪参加跳远比赛，那么小莫参加跳高比赛。如果小林参加短跑比赛，或者小莫参加跳高比赛，那么A班比赛得分将提高。如果A班比赛得分提高，那么A班同学受到鼓舞。小张参加长跑比赛或者小汪参加跳远比赛；所以，A班比赛得分提高并且A班同学受到鼓舞。P：小张参加长跑比赛 Q：小林参加短跑比赛 R：小汪参加跳远比赛 S：小莫参加跳高比赛 T：A班比赛得分 G：A班同学受到鼓舞青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202321命题逻辑的自然演绎方法整推规则应用：整推规则应用：2、如果古励
13、能考上剑桥大学，那么古励英语水平高；古励或者上剑桥大学或者上职业技术学院；如果古励英语水平高，那么古励打算将来从事涉外工作；所以，古励上职业技术学院；因为古励不打算将来从事涉外工作。P：古励考上剑桥大学 Q：古励的英语水平高 R：古励上职业技术学院 S：古励打算将来从事涉外工作青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202322命题逻辑的自然演绎方法（2 2）置换规则）置换规则规则规则1 1：双否律双否律 A A规则规则2 2：易位律易位律 AB (BA)规则规则3 3：德摩根律德摩根律 (AB)(AB)或 (AB)(AB)规则规则4 4：交换律交换律 AB BA 或 AB BA规则
14、规则5 5：幂等律幂等律 A AA 或 A AA规则规则6 6：分配律分配律 A(BC)(AB)(AC)或 A(BC)(AB)(AC)规则规则7 7：结合律结合律 A(BC)(AB)C 或 A(BC)(AB)C规则规则8 8：移出律移出律 (ABC)(A(BC)规则规则9 9：蕴析律蕴析律 AB(AB)规则规则1010：等值律：等值律 (AB)(AB)(BA)青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202323命题逻辑的自然演绎方法置换规则应用：置换规则应用：1、如果王蓉是优秀教师，那么她既认真教书又潜心育人；王蓉没有认真教师或者没有潜心育人；所以，王蓉不是优秀教师。P：王蓉是优秀教
15、师 Q：王蓉认真教书 R：王蓉潜心育人青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202324命题逻辑的自然演绎方法（3 3）条件规则）条件规则 条件证明规则：（另一条推演规则）如果从前提Pr和假设P推出Q，那么，仅从前提Pr可以推得PQ 条件证明规则应用:P Q,RP /QR如果外出忘记锁门则家里被盗，那么社会秩序不好；或者家里被盗或者安心工作；然而，如果外出忘记锁门，那么不安心工作；所以，社会秩序不好。P：外出忘记锁门 Q：家里被盗 R：社会秩序好 S：安心工作青岛大学国际教育合作学院软件工程教学部01 一月 202325命题逻辑的自然演绎方法（4 4）间接证明规则）间接证明规则 间接证明规则是通过否定结论、推出矛盾、肯定结论三个步骤来实现的。间接证明规则：如果从前提如果从前提PrPr和假设和假设 P P推出推出AA A A，那么，仅从前提，那么，仅从前提PrPr可以推出可以推出P P。更适合于采用间接证明规则的命题：某初始命题否定性命题以简单命题为结论的命题结论与前提无关，结论是重言式的命题