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1、第一节第一节 数量值函数的曲线积分数量值函数的曲线积分 (第一类曲线积分第一类曲线积分)一、第一类曲线积分的概念和性质一、第一类曲线积分的概念和性质二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算三、几何与三、几何与物理意义物理意义一、第一类的曲线积分的概念一、第一类的曲线积分的概念1、问题的提出、问题的提出实例实例（1 1）柱面的面积柱面的面积（2 2）曲线形构件的质量）曲线形构件的质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值2、定义、定义被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量弧长元素弧长元素若在若在 L 上上 f(x,y)1,定积分是否
2、可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否否!对对弧长的曲线积分要求弧长的曲线积分要求 ds 0,但但定积分中定积分中dx 可能为负可能为负.=L的长度的长度.思考题思考题3.第一类曲线积分存在的条件：第一类曲线积分存在的条件：1)若若 f(x,y)在光滑曲线在光滑曲线 L上连续，则上连续，则 一定存在一定存在.2)f(x,y)在在L上有界且在上有界且在L上只有有限个间断点时，上只有有限个间断点时，存在存在.4.第一类曲线积分的性质第一类曲线积分的性质 定理定理二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算3.注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于
3、“换元法换元法”.注意注意:第一类曲线积分在一定条件下化为定积分计算，第一类曲线积分在一定条件下化为定积分计算，但要注意但要注意：1)f(x,y)定义在曲线定义在曲线L上，上，2)ds是弧长微分是弧长微分.解解特殊情形特殊情形例例2解解例例3解解例例4解解例例4法二：法二：例例5解解例例5解解例例5解解例例6解解对空间曲线有类似的定义和计算公式对空间曲线有类似的定义和计算公式计算方法计算方法:例例1解解=例例2 2例例3解解 由对称性由对称性,知知三、几何与三、几何与物理意义物理意义例例4 设螺旋线的方程为设螺旋线的方程为 x=acos t，y=a sin t，z=k t(0 t 2)，其线密度为其线密度为 x2+y2+z2，求其质量，对求其质量，对 z 轴的转动惯量及质心轴的转动惯量及质心.解解=故重心坐标为故重心坐标为 四、小结四、小结1 1、第一类曲线积分的概念、第一类曲线积分的概念2 2、第一类曲线积分的计算、第一类曲线积分的计算3 3、第一类曲线积分的应用、第一类曲线积分的应用练习题练习题练习题答案练习题答案