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1、第一章第一章 命题演算基础命题演算基础1.11.1 命题和联结词命题和联结词 1.2 1.2 真假性真假性 1.3 1.3 范式及其应用范式及其应用 1.3.1 1.3.1 范式范式 1.3.2 1.3.2 主范式主范式 1.3.3 1.3.3 范式的应用范式的应用合取式、析取式合取式、析取式定定义义1 命命题题变变元元、或或者者命命题题变变元元的的否否定定、或或由由它它们们利用合取词组成的合式公式称为利用合取词组成的合式公式称为合取式合取式。定义定义2 命题变元、或者命题变元的否定、或由它们命题变元、或者命题变元的否定、或由它们利用析取词组成的合式公式称为利用析取词组成的合式公式称为析取式析
2、取式。例例 显然，显然，P，P，P Q，P QR 均为合取式；均为合取式；P，P，P Q，P QR 均为析取式。均为析取式。(一一)解释与合取式、析取式之间的关系解释与合取式、析取式之间的关系 定理定理1 任给一个成真解释有且仅有一个合取式任给一个成真解释有且仅有一个合取式与之对应；与之对应；任给一个成假解释有且仅有任给一个成假解释有且仅有一个析取式与之对应。一个析取式与之对应。反之亦然。反之亦然。例例 成真解释成真解释(P，Q，R)=(T,F,T)成假解释成假解释(P，Q，R)=(F,F,T)合取式合取式PQ R析取式析取式P QR析取范式、合取范式析取范式、合取范式定义定义3 形如形如A1
3、 A2 An的公式称为的公式称为析取范式析取范式，其中其中Ai(i=1,2,n)为合取式。为合取式。定义定义4 形如形如A1 A2 An的公式称为的公式称为合取范式合取范式，其中其中Ai(i=1,2,n)为析取式。为析取式。例例 如：如：P，P，P Q，P Q，(P Q)(SR)均为析取范式。均为析取范式。如：如：P，P，P Q，P Q，(P Q)(SR)均为合取范式。均为合取范式。例例:考察公式考察公式 =PQ的的析取范式析取范式有两个成真解释：有两个成真解释：(T,T),(F,F),分别对应于两个合取式为分别对应于两个合取式为 P Q,P Q于是，有于是，有 =(P Q)(P Q)P Q
4、P QT T TT F FF T FF F T例例:考察公式考察公式 =PQ的的合取范式合取范式成假解释成假解释 (T,F),(F,T),对应析取式为对应析取式为 P Q,P Q于是，有：于是，有：=(P Q)(P Q)P Q P QT T TT F FF T FF F T定理定理2 任何命题演算公式均可以化为合任何命题演算公式均可以化为合取范式，也可以化为析取范式。取范式，也可以化为析取范式。证明：证明：(1)设公式设公式 为永真公式为永真公式因为因为任何一个永真公式任何一个永真公式 均与公式均与公式PP逻辑等价逻辑等价，而而PP既是析取范式又是合取范式，所以公式既是析取范式又是合取范式，所
5、以公式 既可表示为析取范式又可表示为合取范式。既可表示为析取范式又可表示为合取范式。(2)设公式设公式 为永假公式为永假公式因为因为任何一个永假公式任何一个永假公式 均与公式均与公式PP逻辑等价逻辑等价，而而PP既是析取范式又是合取范式，所以公式既是析取范式又是合取范式，所以公式 既可表示为析取范式又可表示为合取范式。既可表示为析取范式又可表示为合取范式。定理定理2证明证明(续续)(3)设公式设公式 既非永真又非永假既非永真又非永假设公式设公式 的成真解释为的成真解释为 1，2，n，成假解释为成假解释为 1，2，t。根据解释和范式的关系知：根据解释和范式的关系知：对应于成真解释对应于成真解释
6、1，2，n的合取式为的合取式为 1，2，n对应于成假解释对应于成假解释 1，2，t的析取式为的析取式为 1，2，t而公式而公式 12 n的成真解释为的成真解释为 1，2，n；公式公式 12 t的成假解释为的成假解释为 1，2，t。根据根据两个公式逻辑等价的定义两个公式逻辑等价的定义知知=12 n=12 t故公式故公式 既可表示为析取范式又可表示为合取范式。既可表示为析取范式又可表示为合取范式。(二二)析取范式和合取范式的求解方法析取范式和合取范式的求解方法 等价变换法等价变换法解释法解释法等价变换法等价变换法(1)利用前面介绍的等价公式消去公式中的联结词利用前面介绍的等价公式消去公式中的联结词
7、“”和和“”；(2)重复使用等值公式，把否定词内移到命题变元上重复使用等值公式，把否定词内移到命题变元上，等等值公式如下：值公式如下：(P Q)=PQ (P Q)=PQ，P=P(3)重复使用分配律将公式化为合取式的析取或析取式的重复使用分配律将公式化为合取式的析取或析取式的合取，等值公式如下：合取，等值公式如下：P (Q R)=(P Q)(P R)P (Q R)=(P Q)(P R)解释法解释法(1)求出公式的所有成真求出公式的所有成真(假假)解释；解释；(2)写出所有成真写出所有成真(假假)解释对应有的合解释对应有的合(析析)取式；取式；(3)把所有的合把所有的合(析析)取式用析取式用析(合
8、合)取词联结起来就构成析取词联结起来就构成析(合合)取范式。取范式。例例(p11)求公式的范式求公式的范式 (PQ)(RP)(RQ)P)解法一解法一：求析取范式：求析取范式原式原式=(P Q)(R P)(RQ)P)=(P Q)(R P)(RQ)P)=(PQ)(RP)(RQ)P)=(PQ)(RP)(PR)(PQ)=(PQ)(PR)(P R)解法一解法一：再求合取范式：再求合取范式原式原式=(PQ)(PR)(P R)(析取范析取范式式)=(P(QR)(P R)=(P(P R)(QR)(P R)(分配率分配率)=(PP)(P R)(P QR)(QR R)=(P R)(P QR)例例(p11)求公式的
9、范式求公式的范式 (PQ)(RP)(RQ)P)例例(p11)求公式的范式求公式的范式 (PQ)(RP)(RQ)P)另解另解:由析取范式，有由析取范式，有 =(P Q)(P R)(P R)于是，于是，=(P Q)(P R)(P R)=(P Q R)(P R)所以所以 =(P Q R)(P R)解法解法二：二：先求公式的所有成真解释和成假解释先求公式的所有成真解释和成假解释(见下一张见下一张)成真解释为：成真解释为：(P,Q,R)=(T,F,),(F,T),(T,F)成假解释为：成假解释为：(P,Q,R)=(T,T,T),(F,F)由成真解释可分别求出对应的合取式：由成真解释可分别求出对应的合取式
10、：PQ，P R，PR 公式的析取范式即为上面合取式的析取：公式的析取范式即为上面合取式的析取：(PQ)(PR)(P R)由成假解释可分别求出对应的析取式：由成假解释可分别求出对应的析取式：P QR，P R 公式的合取范式为上面析取式的合取：公式的合取范式为上面析取式的合取：(P QR)(P R)例例(p11)求公式的范式求公式的范式 (PQ)(RP)(RQ)P)解：解：P=T时时,原式原式=(TQ)(RT)(RQ)T)=(Q T)(RQ)=Q(RQ)=Q (R Q)=Q R P=F时时,原式原式=(FQ)(RF)(RQ)F)=(T R)T=(R)=R 所以有所以有:成真解释为：成真解释为：(P
11、,Q,R)=(T,F,),(F,T),(T,F)成假解释为：成假解释为：(P,Q,R)=(T,T,T),(F,F)6？例例(补补)求公式的成真求公式的成真(假假)解释解释 (PQ)(RP)(RQ)P)例例(补补)求公式的成真求公式的成真(假假)解释解释 (PQ)(RP)(RQ)P)PQPQRPRPP QRQ QP P(P Q)P(PQ)(RP)(PQ)(RP)(P Q)P)另解：另解：所以有所以有:成真解释为：成真解释为：(P,Q,R)=(T,F,),(F,T),(T,F)成假解释为：成假解释为：(P,Q,R)=(T,T,T),(F,F)(P,Q,R)A=PQB=RPC=(A B)D=RQE=
12、DPCE(T,T,T)TTFFTF(T,T,F)TTFTFT(T,F,T)FTTTFT(T,F,F)FTTTFT(F,T,T)TFTFTT(F,T,F)TTFTTF(F,F,T)TFTTTT(F,F,F)TTFTTF例例(补补)求公式的成真求公式的成真(假假)解释解释 (PQ)(RP)(RQ)P)范式不唯一性范式不唯一性例例 求求(PQ)P的析取范式和合取范式的析取范式和合取范式解解:(PQ)P=(P Q)P =(P Q)P 析取范式析取范式 =P 析取范式析取范式 (PQ)P=(P Q)P 析取范式析取范式 =P(Q P)合取范式合取范式 =P 合取范式合取范式第一章第一章 命题演算基础命题
13、演算基础1.11.1 命题和联结词命题和联结词 1.2 1.2 真假性真假性 1.3 1.3 范式及其应用范式及其应用 1.3.1 1.3.1 范式范式 1.3.2 1.3.2 主范式主范式 1.3.3 1.3.3 范式的应用范式的应用(一一)主析取范式主析取范式定义定义1 对于对于n个命题变元个命题变元P1，P2，Pn，公式，公式 Q1 Q2 Qn 称为称为极小项极小项，其中，其中Qi=Pi或或 Pi(i=1，n)。例例 由两个命题变元由两个命题变元P，Q组成的极小项有四个，它们分别为：组成的极小项有四个，它们分别为：PQ P QPQ P Q三个命题变元三个命题变元P、Q和和R可构造可构造8
14、个极小项个极小项把命题变元的否定形式看成把命题变元的否定形式看成0，肯定形式看成，肯定形式看成1，则每，则每个极小项对应一个二进制数，也对应一个十进制数。个极小项对应一个二进制数，也对应一个十进制数。它们对应如下：它们对应如下：PQR 与与000 或或0对应，简记为对应，简记为 m0 PQ R 与与001 或或1对应，简记为对应，简记为 m1 P QR 与与010 或或2对应，简记为对应，简记为 m2 P Q R 与与011 或或3对应，简记为对应，简记为 m3 PQR 与与100 或或4对应，简记为对应，简记为 m4 PQ R 与与101 或或5对应，简记为对应，简记为 m5 P QR 与与
15、110 或或6对应，简记为对应，简记为 m6 P Q R 与与111 或或7对应，简记为对应，简记为 m7n个命题变元组成的极小项有个命题变元组成的极小项有2n个个公式的每一个完全成真解释对应一个极小项公式的每一个完全成真解释对应一个极小项公式的所有完全成真解释对应极小项的析取公式的所有完全成真解释对应极小项的析取例例:考察公式考察公式 =PQ 有两个成真解释：有两个成真解释：(T,T),(F,F)分别对应于两个极小项分别对应于两个极小项(合取式合取式)为为 P Q,P Q 于是，有于是，有 =(P Q)(P Q)主析取范式主析取范式 定义定义2 仅有极小项构成的析取范式称为仅有极小项构成的析
16、取范式称为主析取范式主析取范式。定理定理1 任何一个合式公式，均有惟一的一个主析取范式任何一个合式公式，均有惟一的一个主析取范式与该合式公式等价。与该合式公式等价。主析取范式就是主析取范式就是公式的所有完全成真解释对应极小项的析取。公式的所有完全成真解释对应极小项的析取。求主析取范式的两种方法(1)解释法解释法:根据公式的所有完全成真解释，求出与这些根据公式的所有完全成真解释，求出与这些成真解释对应的合取式，所有合取式的析取就为成真解释对应的合取式，所有合取式的析取就为公式的主析取范式。公式的主析取范式。(2)等价变换法等价变换法:将析取范式中的每一个合取式用将析取范式中的每一个合取式用AA填
17、满命题变元，然后用等价公式进行变换，消去填满命题变元，然后用等价公式进行变换，消去相同部分，即得公式的主析取范式。相同部分，即得公式的主析取范式。例例(p12)求求 (PR)(P(Q R)的主析取范式。的主析取范式。解法1：等价变换法原式原式=(P R)(P Q R)(P(Q R)(去蕴涵词、等价词去蕴涵词、等价词)=(P R)(P Q R)(P(Q R)（否定深入）（否定深入）=(P R)(P Q R)(PQ)(P R)（分配率）（分配率）=(P Q R)(PQ R)(P R)(分解后，六项剩三项）分解后，六项剩三项）=(P Q R)(PQ R)(P R)(QQ)例例(p12)求求(PR)(
18、P(Q R)的主析取范式。的主析取范式。解法解法1：等价变换法（续上页）：等价变换法（续上页）原式原式=(P Q R)(PQ R)(P R)(QQ)=(P Q R)(PQ R)(P Q R)(PQ R)=(P Q R)(PQ R)(P Q R)=010 101 111 =m2 m5 m7 =去等价词的两个公式需要灵活运用，才能将原式快速转化为析取范式！解法解法2：解释法：解释法公式的所有成真解释为：公式的所有成真解释为：(P，Q，R)=(F，T，F),(T，F，T),(T，T，T)对应于成真解释的极小项为：对应于成真解释的极小项为：P Q R,PQ R,P Q R 故主析取范式为：故主析取范式
19、为：(P Q R)(PQ R)(P Q R)例例(p12)求求(PR)(P(Q R)的的主析取范式。主析取范式。例例(p12)补求补求(PR)(P(Q R)的解释的解释解解:P=T时时,原式原式=(TR)(T(Q R)=R(Q R)=R (Q R)=(R Q)R=R P=F时时,原式原式=(FR)(F(Q R)=T(Q R)=Q R 于是于是,所有成真解释为：所有成真解释为：(T，*，T)、(F，T，F)所有成假解释为：所有成假解释为：(T，*，F)、(F，F，*)、(F，T，T)(二二)主合取范式主合取范式定义定义3 对于对于n个命变元个命变元P1，P2，Pn，公式，公式 Q1 Q2 Qn
20、称为称为极大项极大项，其中，其中Qi=Pi或或 Pi(i=1，n)。例例 由两个命题变元由两个命题变元P，Q组成的极大项有四个，它们分别为：组成的极大项有四个，它们分别为：PQ P Q PQ P Q三个命题变元三个命题变元P、Q和和R可构造可构造8个极大项个极大项 把命题变元的否定形式看成把命题变元的否定形式看成1，肯定形式看成，肯定形式看成0，则每个，则每个极大项对应一个二进制数，也对应一个十进制数。它们极大项对应一个二进制数，也对应一个十进制数。它们对应如下：对应如下：P Q R 与与000 或或0对应，简记为对应，简记为 M0 P QR 与与001 或或1对应，简记为对应，简记为 M1
21、PQ R 与与010 或或2对应，简记为对应，简记为 M2 PQR 与与011 或或3对应，简记为对应，简记为 M3 P Q R 与与100 或或4对应，简记为对应，简记为 M4 P QR 与与101 或或5对应，简记为对应，简记为 M5 PQ R 与与110 或或6对应，简记为对应，简记为 M6 PQR与与111 或或7对应，简记为对应，简记为 M7n个命题变元组成的极大项有个命题变元组成的极大项有2n个个公式的每一个完全成假解释对应一个极大项公式的每一个完全成假解释对应一个极大项公式的所有完全成假解释对应极大项的合取公式的所有完全成假解释对应极大项的合取例例:考察公式考察公式 =PQ 有两
22、个成假解释：有两个成假解释：(T,F),(F,T)分别对应于两个极大项分别对应于两个极大项(析取式析取式)为为 P Q,P Q 于是，有于是，有 =(P Q)(P Q)主合取范式主合取范式定义定义4 仅有极大项构成的合取范式称为仅有极大项构成的合取范式称为主合取范式主合取范式。定理定理2 任何一个合式公式，均有惟一的一个主合取范式与任何一个合式公式，均有惟一的一个主合取范式与该合式公式等价。该合式公式等价。主合取范式就是主合取范式就是公式的所有完全成假解释对应的极大项的合取。公式的所有完全成假解释对应的极大项的合取。求主合取范式的两种方法求主合取范式的两种方法(1)解释法解释法 根据公式的所有
23、完全成假解释，求出与这些根据公式的所有完全成假解释，求出与这些成假解释对应的析取式，所有析取式的合取就为成假解释对应的析取式，所有析取式的合取就为公式的主合取范式。公式的主合取范式。(2)等价变换法等价变换法 将合取范式中的每一个析取式用将合取范式中的每一个析取式用AA填满命题变元，然后用等价公式进行变换，消去填满命题变元，然后用等价公式进行变换，消去相同部份，即得公式的主合取范式。相同部份，即得公式的主合取范式。解：解：原式原式=(P R)(P (Q R)(P(Q R)（去蕴涵词、等价词）（去蕴涵词、等价词）=(P R)(P Q)(PR)(PQ R)于是，于是，(P R)=(P R)(QQ)
24、=(P R Q)(P RQ)(P Q)=(P Q)(R R)=(P Q R)(P Q R)(PR)=(PR)(QQ)=(P QR)(PQR)原式原式=(100 110)(000 001)(001 011)110 =100 110 000 001 011=例例(p12)求求(PR)(P(Q R)的主合取范式的主合取范式勘误！例例 试求试求 =(PR)(P(Q R)的主析取范式和主合取范式的主析取范式和主合取范式解解:=(PR)(P(QR)(P(QR)（去（去蕴蕴涵涵词词、等价、等价词词）=(PR)(P QR)(PQ)(P R)（化（化简简）=(P R)(P QR)(PQ)(P R)（去（去蕴蕴涵
25、涵词词）=(P R)(P QR)(PQ)=(110 100)001 (111 110)=(1,4,6,7)例例 试求试求 (PR)(P(Q R)的主析取范式和主合取范式的主析取范式和主合取范式解解:已经得到已经得到 =(P Q R)(P Q)(P R)=(P P)(P Q)(Q P)(Q Q)(P R)(Q R)(P R)=(P Q)(Q P)(P R)(Q R)(P R)=(T(P Q R)(Q P)(P Q R)(P R)T)(P Q R)T)=101 (010 011)(010 000)000 =(0,2,3,5)例例 试求试求 (PR)(P(Q R)的主析取范式和主合取范式的主析取范式
26、和主合取范式另解另解:已经得到已经得到 =(P Q R)(P Q)(P R)=(P Q R)(P Q)(P R)=(P Q R)(P(Q R)=(P Q R)(Q P)(R P)分解分解,共共6项项 =(P Q R)(Q P R)(Q P R)(R Q P)=(P Q R)(P Q R)(P Q R)(P Q R)=(0,2,3,5)主合取范式和主析取范式的关系主合取范式和主析取范式的关系(1)紧密相关性：紧密相关性：一个公式的主合取范式和主析取范式是紧密相关的。一个公式的主合取范式和主析取范式是紧密相关的。如例：=(PR)(P(Q R)=(PR)(P(Q R)=(2)惟一性：惟一性：任何一个
27、命题演算公式，具有惟一的主合取范式和主任何一个命题演算公式，具有惟一的主合取范式和主析取范式，因此如果两个公式具有相同的主析取范式析取范式，因此如果两个公式具有相同的主析取范式或主合取范式，则称两公式逻辑等价。或主合取范式，则称两公式逻辑等价。第一章第一章 命题演算基础命题演算基础1.11.1 命题和联结词命题和联结词 1.2 1.2 真假性真假性 1.3 1.3 范式及其应用范式及其应用 1.3.1 1.3.1 范式范式 1.3.2 1.3.2 主范式主范式 1.3.3 1.3.3 范式的应用范式的应用例 运筹学问题从甲、乙、丙、丁从甲、乙、丙、丁4 个人之中派两个出去执行个人之中派两个出去
28、执行任务任务,按下列按下列3 个条件共有几种派法？如何派个条件共有几种派法？如何派?(1)如果派甲去如果派甲去,那么丙和丁之中至少要派一那么丙和丁之中至少要派一;(2)乙和丙不能同时都去乙和丙不能同时都去;(3)如果派丙去如果派丙去,那么丁必须留下。那么丁必须留下。解:分别用A、B、C、D 表示依次派甲、乙、丙、丁去,则根据题意,三种派法分别翻译为:A (C D),(B C),C D都是真命题。于是T=(A (C D)(B C)(C D)=(A C D)(B C)(C D)=(A B C)(A B D)(A C)(A C D)(C B D)(D B C)(D C)=(A B C)(A B D)
29、(A C D)(A C D)(C B D)(D B C)(DB C)解:=(A B C)(A B D)(A C D)(A C D)(C B D)(D B C)(DB C)=(A B C)(A B D)(ABCD)(ABCD)(A C D)(ACBD)(ACBD)(ADBC)(AD BC)(ADB C)(ADB C)另解：从4人中任意取出2人，共有6种取法：(1)挑出甲、乙，不符合第一条。(2)挑出甲、丙，符合所有条件。(3)挑出甲、丁，符合所有条件。(4)挑出乙、丙，不符合第二条。(5)挑出乙、丁，符合所有条件。(6)挑出丙、丁，不符合第三条。例 问路问题有有A、B两个相邻的小岛。两个相邻的小
30、岛。A 岛居民都是诚实岛居民都是诚实人，人，B 岛居民都是骗子。一个旅游者独自登岛居民都是骗子。一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛，他分辨不清这个岛是上了两岛中的某个岛，他分辨不清这个岛是A 岛还是岛还是B岛，只知道这个岛上的人既有本岛的，岛，只知道这个岛上的人既有本岛的，也有另一岛的，他可以向一个人问路也有另一岛的，他可以向一个人问路1次。此次。此旅游者问一个什么问题就可以断定这是哪个旅游者问一个什么问题就可以断定这是哪个岛？岛？你是这个岛的居民吗？问路地点A岛居民回答（诚实）B岛居民回答（骗子）A岛是是B岛不是不是例例(p14)趣味数理逻辑趣味数理逻辑有一个逻辑学家误入某个部落，他被拘于牢
31、，酋长有一个逻辑学家误入某个部落，他被拘于牢，酋长意欲放行，他对逻辑学家说：意欲放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。为协助你离开，由，一为死亡，你可任意开启一门。为协助你离开，今加派两名战士负责回答你提出的任何一个问题。今加派两名战士负责回答你提出的任何一个问题。惟可虑者，此两战士中一名天性诚实，一名说谎成惟可虑者，此两战士中一名天性诚实，一名说谎成性，今后生死由你自己选择性，今后生死由你自己选择”。逻辑学家沉思片刻，。逻辑学家沉思片刻，即向战士发问。他手指向身边一名战士说：即向战士发问。他手指向身边一名战士说：“这扇这扇门为死亡门，他门为死
32、亡门，他(指另一名战士指另一名战士)回答回答是是吗？吗？”然然后开门从容而去。试用真值表及范式说明理由。后开门从容而去。试用真值表及范式说明理由。例例(p14)趣味数理逻辑趣味数理逻辑解解令令 P：被：被问战问战士是士是诚实诚实人；人；Q：被：被问战问战士回答是士回答是“是是”；R：另一战士回答是：另一战士回答是“是是”；S：这扇门是死亡门。：这扇门是死亡门。根据题意可得真值表如图所示。根据题意可得真值表如图所示。根据真值表知析取范式为：根据真值表知析取范式为：S=(PQ)(PQ)=(PP)Q =Q因此被问战士回答是因此被问战士回答是“是是”时，时，此门不是死亡门。逻辑学家可从此门不是死亡门。
33、逻辑学家可从此门离去。此门离去。P Q R ST T T(说谎)FT F F(说谎)TF T F(诚实)FF F T(诚实)T被问战士诚实时，不能相信另一战士；被问战士不诚实时，必须相信另一战士。例例(p14)趣味数理逻辑趣味数理逻辑被问战士答案被问战士是否诚实另一战士答案另一战士是否诚实 命题 P是否为真是是是否否否否是否否是否否是否是是是P为真命题为真命题,他他(另一战士另一战士)回答回答“是是”吗？吗？例例 A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。你来到你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首国，并在一个二叉路口不知如何走
34、才能到达首都。守卫路口的士兵都。守卫路口的士兵有两种人各一名有两种人各一名，只准你问一个问只准你问一个问题，而且他只答题，而且他只答“是是”或或“不是不是”。你应该如何发问，。你应该如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。才能从士兵处获知去首都的道路。你可以向身边一名战士问：你可以向身边一名战士问：“这条路不通向首都，你这条路不通向首都，你的同伴回答的同伴回答是是，是吗，是吗？趣味离散数学一、巧猜围棋子甲手里有一个围棋子，要乙来猜棋子的颜色是白的还是黑的。条件是：只允许乙问一个只能回答“是”或“否”的问题，但甲可以说真话，也可以说假话，问乙可以向甲提出一个什么问题，然后从甲回答“是”或“否”中就能够判断出甲手中棋子的颜色？第一章第一章 命题演算基础命题演算基础 1.11.1 命题和联结词命题和联结词 1.2 1.2 真假性真假性 1.3 1.3 范式及其应用范式及其应用 1.3.1 1.3.1 范式范式 1.3.2 1.3.2 主范式主范式 1.3.3 1.3.3 范式的应用范式的应用 第二章第二章 命题演算的推理理论命题演算的推理理论