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1、电动力学授课老师：赵圣之E-mail:Shengzhi_Shengzhi_Shengzhi_第七章 带电粒子和电磁场的相互作用第一节第一节 运动带电粒子的势和辐射电磁场运动带电粒子的势和辐射电磁场第二节第二节 带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用第三节第三节 电磁波的散射和吸收及介质的色散电磁波的散射和吸收及介质的色散Shengzhi_Shengzhi_第一节 运动带电粒子的势和辐射电磁场 推迟势：推迟势：一、任意运动带电粒子的势一、任意运动带电粒子的势 粒子的带电量粒子的带电量e，在一定的轨道上以速度，在一定的轨道上以速度v运动，运动，(x,t)的势是粒子在的
2、势是粒子在xe(t)发出的，此时，粒子的速度发出的，此时，粒子的速度ve(t)：取取 坐标系在坐标系在t 时刻相对粒子静止，时刻相对粒子静止，在该参考系中：在该参考系中：Shengzhi_Shengzhi_在在系，由坐标变换关系：系，由坐标变换关系：将将 换到换到系中（不同时）：系中（不同时）：因此：因此：称李纳称李纳-维谢尔势。维谢尔势。Shengzhi_Shengzhi_ v v与与r r垂直：垂直：v v与与r r同向：同向：v v与与r r反向：反向：二、偶极辐射二、偶极辐射Shengzhi_Shengzhi_分别计算分别计算:(1)(1)因此：因此：Shengzhi_Shengzhi
3、_(2)(2)(3)(3)将将(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)相关量代入相关量代入E E的表示式：的表示式：Shengzhi_Shengzhi_类似地可得：类似地可得：E E和和B B由粒子在由粒子在t t 时刻的位置、速度、加速度决定，与粒子在其它地时刻的位置、速度、加速度决定，与粒子在其它地方的情况无关。方的情况无关。粒子在远处产生的场，粒子在远处产生的场，E E2 2和和B B2 2起主要作用，起主要作用，E E2 2和和B B2 2称辐射场；称辐射场；粒子在近处产生的场，粒子在近处产生的场，E E1 1和和B B1 1起主要作用，起主要作用，E E1 1和和B B1 1称库仑场
4、或自由场；称库仑场或自由场；考虑辐射问题，只需考虑考虑辐射问题，只需考虑E E2 2和和B B2 2即可。即可。vcvc时，忽略时，忽略(v/cv/c)以上的高次项：以上的高次项：Shengzhi_Shengzhi_取取 在在z z轴上，则：轴上，则：令：令：此为电偶极辐射场。此为电偶极辐射场。辐射能流：辐射能流：辐射功率：辐射功率：Shengzhi_Shengzhi_ 当粒子做匀速直线运动时：当粒子做匀速直线运动时：这是匀速带电粒子的电磁场，这是匀速带电粒子的电磁场，与第六章第五节的例题同。与第六章第五节的例题同。上式中的上式中的R R、v v是与是与(x,tx,t)同时刻的位置和速度。现在
5、把两者统一。粒子同时刻的位置和速度。现在把两者统一。粒子在在t t 时刻位于时刻位于A A点，点，t t时刻位于时刻位于B B点，则：点，则：Shengzhi_Shengzhi_ 电场的分子统一。电场的分子统一。由上式可得：由上式可得：即：即：(1)-(2)(1)-(2)可得：可得：电场的分母统一。电场的分母统一。磁场统一。磁场统一。Shengzhi_Shengzhi_应用公式求解需注意：应用公式求解需注意：(1)有关公式中的有关公式中的v v、r r等均为等均为t t 的函数；的函数；(2)对李纳对李纳维谢尔势做微分运算时，要注意维谢尔势做微分运算时，要注意t t 为为(x,tx,t)的隐函
6、数；的隐函数；r r为为(x,tx,t)的函数；的函数；t t 又隐含又隐含x x；(3)当当vc时：时：问题归结为偶极辐射。问题归结为偶极辐射。Shengzhi_Shengzhi_例：带电粒子例：带电粒子e作匀速圆周运动，圆半径为作匀速圆周运动，圆半径为a，速度，速度vEE1 1时，辐射场占优势。令时，辐射场占优势。令r=rr=r1 1时，时，E E2 2=E=E1 1，即：，即：因此：因此：当当rrrr1 1时，时，E E2 2EE1 1。Shengzhi_Shengzhi_例：设带电粒子的速度与加速度的夹角为例：设带电粒子的速度与加速度的夹角为，求其辐射场为，求其辐射场为0 0的方向与的
7、方向与加速度方向的夹角加速度方向的夹角。解：解：若：若：Shengzhi_Shengzhi_第二节 带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用 运动的带电粒子：运动的带电粒子：若：若：vcvc：一、电磁质量一、电磁质量 E E1 1称为库仑场或自由场，存在粒子附近，其自由能很难从粒子运动能称为库仑场或自由场，存在粒子附近，其自由能很难从粒子运动能量分离。这部分自由能对应于一定的质量，称为电磁质量量分离。这部分自由能对应于一定的质量，称为电磁质量mem。设粒子的电荷分布于半径为设粒子的电荷分布于半径为r re e的球面上，则自由能：的球面上，则自由能：Shengzhi_Shengzhi_电磁质量：电磁质
8、量：若测出的电子质量为若测出的电子质量为m m，则，则m=mm=m0 0+m+me em，m m0 0为非电磁引起的质量。设为非电磁引起的质量。设m m0 0mme em，则：则：而电子的而电子的“经典半径经典半径”：实验：实验：电荷分布不清楚；电荷分布不清楚；m me em与机械惯性质量分不开。与机械惯性质量分不开。二、辐射阻尼二、辐射阻尼 粒子做加速运动，粒子做加速运动，辐射功率：辐射功率：Shengzhi_Shengzhi_若不对粒子做功，相当于有一个力作用于粒子，使粒子的速度变慢，若不对粒子做功，相当于有一个力作用于粒子，使粒子的速度变慢，这就是阻尼力，用这就是阻尼力，用Fs表示：表示
9、：上式对任一瞬时考虑并不成立，因为只考虑了辐射能量，略去了自由上式对任一瞬时考虑并不成立，因为只考虑了辐射能量，略去了自由能能，可作为平均结果。考虑粒子作近似周期运动情况，其周期为，可作为平均结果。考虑粒子作近似周期运动情况，其周期为T:粒子运动一个周期，速度和加速度回到初始值，上式右边第一项为粒子运动一个周期，速度和加速度回到初始值，上式右边第一项为0：这是平均效应。这是平均效应。Shengzhi_Shengzhi_三、谱线的自然宽度三、谱线的自然宽度1 1、谱线、谱线的的自然宽度自然宽度 原子从一个高能级原子从一个高能级E Em跃迁至一低能级跃迁至一低能级E En,发出频率为发出频率为0
10、0的光子：的光子：由精密光谱分析，所得光线不是纯线光谱，而是有一定宽度分布的光由精密光谱分析，所得光线不是纯线光谱，而是有一定宽度分布的光谱谱，=0 0处，强度最大，处，强度最大，=1 1、2 2时，时，强度降为最大值的一半。强度降为最大值的一半。=1 1-2 2用波长表示用波长表示 ：实验给出，不管那一频率之光谱，用波长表示有一极限值：实验给出，不管那一频率之光谱，用波长表示有一极限值：2 2、经典电动力学对谱线的自然、经典电动力学对谱线的自然宽带宽带处理处理 模型：模型：原子中的电子作为谐振子，由于受辐射阻尼力，电子将在原子中的电子作为谐振子，由于受辐射阻尼力，电子将在原子中作衰减运动。原
11、子中作衰减运动。Shengzhi_Shengzhi_ 处理：设电子沿处理：设电子沿x x轴运动，作用于电子的力为弹性力轴运动，作用于电子的力为弹性力(-(-kxkx)、辐射阻、辐射阻尼力尼力F Fs s。电子的运动方程：。电子的运动方程：因为因为F Fs s(-(-kxkx)，作零级近似，忽略，作零级近似，忽略F Fs s :因此因此:令：令：考虑：考虑：因此：因此：Shengzhi_Shengzhi_电子的振动能正比于电子的振动能正比于 ，能量减少为，能量减少为(1/e）时所需时间）时所需时间=(1/)，称为，称为振子的寿命。振子的寿命。大体与实验相符。大体与实验相符。振子的偶极矩：振子的偶
12、极矩：其辐射场：其辐射场：做傅立叶变换：做傅立叶变换：用用W()d 表示辐射场在表示辐射场在+d的辐射能量，的辐射能量，W()表示单位频率表示单位频率间间隔辐射的能量隔辐射的能量:Shengzhi_Shengzhi_总辐射能量：总辐射能量：称称为谱线的自然宽度。用波长表示：为谱线的自然宽度。用波长表示：大体与实验值相符。大体与实验值相符。Shengzhi_Shengzhi_第三节 电磁波的散射和吸收及介质的色散 当频率为当频率为的外来电磁波入射到电子（自由电子或束缚电的外来电磁波入射到电子（自由电子或束缚电子子）时，）时，电子就会在电磁波的作用下以同样的频率作强迫振动电子就会在电磁波的作用下以
13、同样的频率作强迫振动(或在原来的运动或在原来的运动上上叠加一强迫振动叠加一强迫振动)，并不断的发出该频率的次波，这种现象称为散射。，并不断的发出该频率的次波，这种现象称为散射。一、自由电子对电磁波的散射一、自由电子对电磁波的散射 自由电子的运动方程：自由电子的运动方程：作用于电子的外电磁波：作用于电子的外电磁波：电子的振动速度电子的振动速度vcvc，振动范围，振动范围vTvTFFm。Shengzhi_Shengzhi_电子的运动方程：电子的运动方程：方程的稳态解：方程的稳态解：因此：因此：设尝试解：设尝试解：只要入射波的波长：只要入射波的波长：re，则，则,可得：可得：W W就等于振子从入射波
14、吸收的能量。就等于振子从入射波吸收的能量。对应于量子力学：对应于量子力学：Shengzhi_Shengzhi_四、介质的色散四、介质的色散 折射率：折射率：讨论稀薄气体，忽略分子之间的相互作用。作用于电子的电场：讨论稀薄气体，忽略分子之间的相互作用。作用于电子的电场：电子运动的位移及偶极矩：电子运动的位移及偶极矩：若单位体积有若单位体积有N个电子，极化强度：个电子，极化强度：因此：因此：Shengzhi_Shengzhi_对稀薄气体，对稀薄气体，r1：令：令：n=n+i+i,则：则：n 和和的物理意义的物理意义 介质中沿介质中沿z轴传播的单色平面波：轴传播的单色平面波：n 就是通常的折射率，就
15、是通常的折射率，是在传播方向上的衰减，是在传播方向上的衰减，只有只有0附近，介质中的波才显著衰减（被吸收）。附近，介质中的波才显著衰减（被吸收）。Shengzhi_Shengzhi_ 介质的色散介质的色散当当0 0和和0 0时，时，n n 11；当；当0 0时：时：柯西色散公式，柯西色散公式，a a、b b、c c由实验给出。由实验给出。Shengzhi_Shengzhi_例例:束缚电子束缚电子e e在初始时处于静止状态，在初始时处于静止状态，x=0,v=0 x=0,v=0。固有频率为。固有频率为0 0，入射，入射电磁波的频率为电磁波的频率为，忽略辐射阻尼及磁场作用力，求该谐振子的振，忽略辐射
16、阻尼及磁场作用力，求该谐振子的振动解，并证明该振子以动解，并证明该振子以和和0 0两种频率振动。两种频率振动。解：选解：选E E0 0的方向为的方向为x x轴，则谐振子在该轴上振动，运动方程及解：轴，则谐振子在该轴上振动，运动方程及解：由初始条件定常数：由初始条件定常数：因此得到振子以因此得到振子以和和0 0两种频率振动的解：两种频率振动的解：Shengzhi_Shengzhi_例：带电例：带电e的粒子在的粒子在xy平面上绕平面上绕z轴作匀速圆周运动，角频率为轴作匀速圆周运动，角频率为，半径，半径为为R0。设。设R0 c，试计算辐射场及平均辐射能流密度，讨论：，试计算辐射场及平均辐射能流密度，
17、讨论：处电磁场的偏振。处电磁场的偏振。解：解：因此：因此：辐射场：辐射场：Shengzhi_Shengzhi_平均辐射能流密度平均辐射能流密度:=0=0：圆偏振；圆偏振；=180=180：圆偏振；圆偏振；=45=45：椭圆偏振；椭圆偏振；=90=90：线偏振。线偏振。Shengzhi_Shengzhi_例：设有一各向同性的带电谐振子，受弹性恢复力例：设有一各向同性的带电谐振子，受弹性恢复力 ,处于均匀处于均匀恒定外磁场恒定外磁场B中，设中，设vc，忽略辐射阻尼力，求：，忽略辐射阻尼力，求：振子的通解；振子的通解；沿磁场方向和垂直磁场方向上辐射场的频率及偏振。沿磁场方向和垂直磁场方向上辐射场的频
18、率及偏振。解：解：设设B B沿沿z z轴方向，则粒子受磁场力：轴方向，则粒子受磁场力：因此，运动方程：因此，运动方程：(1)+i(2)(1)+i(2)得：得：Shengzhi_Shengzhi_令尝试解令尝试解:，则代入后可得：，则代入后可得：因此解为：因此解为：由由(3)(3)可得：可得：因此，振子通解：因此，振子通解：Shengzhi_Shengzhi_ (a)(a)平行磁场（沿平行磁场（沿z z轴轴)观察观察:两个圆偏振：两个圆偏振：(b)(b)垂直磁场垂直磁场(z(z轴轴)观察：观察：三个线偏振：三个线偏振：Shengzhi_Shengzhi_例：设电子在均匀外磁场例：设电子在均匀外磁
19、场B中运动，取中运动，取B沿沿z轴，初始条件：轴，初始条件：假定假定vc，求：，求：考虑辐射阻尼力的电子运动轨道；考虑辐射阻尼力的电子运动轨道；电子在单位时间内的辐射能量。电子在单位时间内的辐射能量。解：解：电子受磁场力和辐射阻尼力：电子受磁场力和辐射阻尼力：电子的运动方程：电子的运动方程：Shengzhi_Shengzhi_(1)+i(2)(1)+i(2)得：得：令：令：则则(4)(4)式化为：式化为：一般有：一般有：0 0，(5)(5)式右边可看作微扰项。首先忽略微扰项得：式右边可看作微扰项。首先忽略微扰项得：因此：因此：将将(6)(6)代入代入(5)(5)得：得：Shengzhi_Shengzhi_(7)(7)的解为：的解为：利用初始条件得：利用初始条件得：因此：因此：由由(3)(3)式计初始条件可得：式计初始条件可得：z=0z=0。所以，振子通解：。所以，振子通解：Shengzhi_Shengzhi_