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1、第第1.21.2节节 行列式的性质行列式的性质主要内容主要内容:一、行列式的性质一、行列式的性质二、行列式的计算二、行列式的计算三、思考与练习三、思考与练习一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式。转置行列式。(transpose of determinant).记记说明说明:行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式因此行列式 的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立.推论：推论：行列式可按列展开，也可按行展开行列式可按列展开，也可按行展开性质性质性质性质1 1：行列式与它的转置行列式相等行列式与
2、它的转置行列式相等.性质性质性质性质2 2 2 2：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 一数一数 k，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.推论推论:如果行列式的某一行（列）的元素皆为零，则如果行列式的某一行（列）的元素皆为零，则 此行列式的值为零此行列式的值为零性质性质性质性质:交换行列式两行（列）元素的位置行列式交换行列式两行（列）元素的位置行列式 变号变号.推论推论1:如果行列式有两行（列）完如果行列式有两行（列）完 全相同，则全相同，则 此行列式为零此行列式为零.推论推论2:行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行（列
3、）元素成比例，则此 行列式为零行列式为零推论推论推论推论3:3:行列式任一行（列）的所有元素与另一行行列式任一行（列）的所有元素与另一行(列列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零对应元素的代数余子式乘积的和等于零.定理定理1.2:n阶阶行列式行列式D 的任意一行（列）的元素与其对应的任意一行（列）的元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于的代数余子式乘积之和等于D；某一行（列）；某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子 式乘积之和等于式乘积之和等于.1)已知四已知四阶阶行列式行列式中第二列元素分中第二列元素分别别是是1，0，2，1，它它们们的余
4、子式分的余子式分别别是是2，3，1，4，则则2)若若3阶行列式阶行列式D的第二行元素分别为的第二行元素分别为1，2，0，第三行元素的余子式分别为第三行元素的余子式分别为6,x,19，则，则 x=性质性质:若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则该行列式等于两个行列式之和则该行列式等于两个行列式之和.例如例如:如果如果 那么那么D D1 1=()=()(A)8 (B)(A)8 (B)12 (C)24 (D)12 (C)24 (D)2424性质性质:把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一 数然后加到另一行数然后加到
5、另一行(列列)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列 式不变式不变例如例如:二、行列式的计算二、行列式的计算(1)降阶法：降阶法：例例1:计算计算解法解法1：直接用直接用定理定理1.2按第一行按第一行展开展开=3(3+0+15 20+3+0)(15 24 3+4 15+18)(0+40 1 0+25+6)2(030+1 0 25 6)=15+5 70+120=40.解法解法2：利用性质利用性质=40.(2)三角形法：三角形法：利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角 形行列式，从而算得行列式的值形行列式，从而算得行列式的值例例2 计算.
6、例例3:计算计算解：解：x+1+nx+xx+xx+x例例4:计算计算n 阶行列式阶行列式解解:将将第第 都加到第一列得都加到第一列得例例5:解解:将将第第 一行的一行的-1倍分别加到倍分别加到 第第2,3,n行上行上 例例6 计计算算 例例7 计计算算 例例8 计计算算例例9:证明证明:证明证明:证证用用数学归纳法数学归纳法例例10 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式三、小结三、小结二、行列式的计算二、行列式的计算一、行列式的性质一、行列式的性质(1)降阶法降阶法(2)三角形法三角形法(3)每行（列）所有元素的和相同每行（列）所有元素的和相同(4)练习练习1.2 (P18)1.判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？(1)若若n阶行列式阶行列式D=0，则，则D有两行元素相同有两行元素相同.(2)若若n阶行列式阶行列式D有一行元素为零，则有一行元素为零，则D=0.(3)若二阶行列式若二阶行列式D=0，则，则D的两行元素对应成比例的两行元素对应成比例(4)若一个若一个n阶行列式阶行列式D中为零的元素超过中为零的元素超过个个,则则 D=0.(错错)(对对)(对对)(对对)四、思考与练习题四、思考与练习题