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1、 概率知识应用（案例）概率知识应用（案例）彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 报童的决窍报童的决窍 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 n 序言序言 人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以及其他社会问题中，通常总是通过及其他社会问题中，通常总是通过调查调查或对社会现象的或对社会现象的观察
2、观察来来获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通过过科学实验科学实验或对自然现象的或对自然现象的观察观察来获取所需要的资料。来获取所需要的资料。对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统计学中都统称为计学中都统称为试验试验。现象现象确定现象确定现象随机现象随机现象相同条件下，结果总是相同相同条件下，结果总是相同相同条件下，结果不总是相同相同条件下，结果不总是相同一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述（1 1）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个；）
3、试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个；（2 2）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知.n 随机试验随机试验（1 1）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；（2 2）在一批产品中任意抽取一件进行检验；）在一批产品中任意抽取一件进行检验；（3 3）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；（4 4）对某产品进行的寿命）对某产品进行的寿命.【举例举例】1.11.1随机事件及其概率随机事件及
4、其概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述n 随机事件及相关概念随机事件及相关概念u 随机事件随机事件随机试验的结果称为随机事件随机试验的结果称为随机事件.u 基本事件基本事件试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点.u 复合事件复合事件由多个基本事件构成的集合由多个基本事件构成的集合.基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母 A A，B B，C C，表示表示.u 样本空间样本空间由试验由试验 E E 所有样本点组成的集合，常用字母所有样本点组成的集合，常用字母 S S 表示表示.u 必然事
5、件必然事件每次试验中必然发生的事件；样本空间每次试验中必然发生的事件；样本空间 S S 是必然事件是必然事件.u 不可能事件不可能事件试验中不可能发生的事件，记为试验中不可能发生的事件，记为.样本空间的任何子集样本空间的任何子集.1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述【举例举例】SA1=出现偶数点A2=小于4的点A4=大于6的点A3=不超过6的点【例1】投一个均匀的骰子，观察出现的点数，则有下列事件：【例2】在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进行检验，分别记为T、F为抽到正品和次品，则：S=A1=第一次抽到的是正品A2=抽到一个正品A3=两
6、次抽到的质量相同一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率n 事件的关系和运算事件的关系和运算一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率例如：新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销；购买彩票中奖的可能性；项目投资后赢利或亏损的可能性等等；事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常密切的关系。密切的关系。在日常生活和
7、科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发在日常生活和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发在日常生活和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发在日常生活和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。n 事件的概率事件的概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率 对于随机事件对于随机事件 A A，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在，在
8、一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件 A A 发生的次数发生的次数 nA 与试验次数与试验次数 n n 之比将之比将在某个确定的值附近波动在某个确定的值附近波动。n 频率及其稳定性频率及其稳定性事件A 发生的次数nA与试验次数n 之比就称为事件A 发生的频率，记为fn(A)，即一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率 人们发现，随着重复试验次数的增多，事件人们发现，随着重复试验次数的增多，事件 A 发生的频率发生的频率 fn(A)就逐渐稳定地趋近
9、于某个常数就逐渐稳定地趋近于某个常数 P(A)附近，这一客观存在附近，这一客观存在的常数的常数 P(A)就称为事件就称为事件 A 的概率。的概率。【著名的掷币试验】一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。n n 主观概率主观概率主观概率主观概率一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率n n 古典概率古典概率古典概率
10、古典概率称满足以下条件的试验为古典概型：试验的样本空间仅有有限个基本事件；试验中每一基本事件发生的概率相等。【古典概型古典概型古典概型古典概型】若试验的样本空间S 包含了n 个样本点，事件A包含了其中的k个，则事件A发生的概率为：【古典概率古典概率】一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率【例4】在100件产品中有5件是次品，从中任取10件，求以下事件的概率：A=全为正品B=恰有1件次品C=至少有3件次品 D=至少有1件次品P(B)=0.3394P(A)=0.5838解：=0.0066一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事
11、件及其概率随机事件及其概率n n 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 设设 A、B 是两个事件，且是两个事件，且 P(A)0，称在，称在 A A已发生的条件下已发生的条件下B 发发生的概率，为生的概率，为 B 对对 A 的的条件概率条件概率，记为，记为P(B|A).【计算式计算式】【例例5 5】产品抽样检验问题产品抽样检验问题 已知已知 10 10 件产品中有件产品中有 3 3 件是次品，从中先后抽取件是次品，从中先后抽取 2 2 件，作不放回抽样。件，作不放回抽样。求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率
12、。（乘法公式）（乘法公式）【定义定义】一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率n n 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式A A1 1 1 1AA5 5称之为一个称之为一个称之为一个称之为一个完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组，或样本的一个划分，或样本的一个划分，或样本的一个划分，或样本的一个划分A A A A2 2 2 2A A A A5 5 5 5A A A A4 4 4 4A A A A1 1 1 1A A A A3 3 3 3SB应用：应用：知因求果知因求果一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率
13、随机事件及其概率n 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应用！贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应用！应用：知果寻因应用：知果寻因一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率【例例6 6】某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/21/2，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/41/4。考试结束后发现他答对了，。考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率是多大呢？那么他知道正确答案的概率是多大呢？解：解：设设 A A
14、=该考生答对了该考生答对了 ，B B=该考生知道正确答案该考生知道正确答案 依题意有依题意有 P P(B B)=1/2)=1/2，P P(B B)=1/2)=1/2，P P(A A|B B)=1/4)=1/4，P P(A A|B B)=1)=1再由贝叶斯公式，得：再由贝叶斯公式，得：【公式的应用举例公式的应用举例公式的应用举例公式的应用举例】于是由全概率公式，有：于是由全概率公式，有：P P(B B)=)=一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.1随机事件及其概率随机事件及其概率【例7】伊索寓言故事”狼来了“。一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他大喊：狼来了，结果山下的村民都
15、上山打狼，结果狼没来；第二天，仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊，没人来救他。为什么？分析：村民的对小孩的可信度是如何下降的？建模解释：小孩第二次撒谎，则以小孩第二次撒谎，则以小孩第二次撒谎，则以小孩第二次撒谎，则以 替换替换替换替换代入公式后可计算得小孩第二次撒谎后的可信度为：代入公式后可计算得小孩第二次撒谎后的可信度为：代入公式后可计算得小孩第二次撒谎后的可信度为：代入公式后可计算得小孩第二次撒谎后的可信度为：【应用】（1）银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他.（2）医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明.一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.11.
16、1随机事件及其概率随机事件及其概率 层次分析的一般方法层次分析的一般方法 -层次结构图层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验、比较矩阵、权重向量、一致性检验 概率知识应用（案例）概率知识应用（案例）彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 报童的决窍报童的决窍 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。任何随机试验的试
17、验结果，都可以定量化并用随机变量表示。【如如如如】1 1 1 1、投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量用用用用X X表示出现正面的数量，则表示出现正面的数量，则表示出现正面的数量，则表示出现正面的数量，则X X的取值为的取值为的取值为的取值为X=0X=0、1 1、2 2n n 随机变量的概念随机变量的概念随机变量的概念随机变量的概念2 2 2 2、在灯泡寿命试验中、在灯泡寿命试验中、在灯泡寿命试验中、在灯泡寿命试验中 令令令令 X X 为为为为“灯泡寿命灯泡寿命灯泡寿命灯泡寿命”(小时小时小时小时)，则，则，则，则 X X 0
18、 0 X 500X 500，X1000X1000，800 X1200800 X1200等表示了不同的随等表示了不同的随等表示了不同的随等表示了不同的随机事件。机事件。机事件。机事件。一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.21.2随机变量及其分布随机变量及其分布设设X是一随机变量，是一随机变量，x 是任意实数，称函数是任意实数，称函数 F(x)=PXx 为为 X 的分布函数。的分布函数。【定义定义】对任意实数对任意实数 x1x2，有，有 Px0，则称X服从参数为,的正态分布，记为X N(，2)。xf(x)0=0.5=1=20f(x)x12一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.
19、21.2随机变量及其分布随机变量及其分布【标准正态分布标准正态分布】称=0，=1的正态分布为标准正态分布，记为XN(0,1)，其密度函数和分布函数分别记为(x)和和(x)。0a-a(-a)1-(a)(x)x(a)正态分布表给出的是标准正态分布的分布函数的值(x)。查正态分布表时常要用到以下关系：PXa=(a)PX a=1-(a)PaXb=(b)-(a)(-a)=1-(a)【正态分布表的使用正态分布表的使用】一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.21.2随机变量及其分布随机变量及其分布【一般正态的标准化一般正态的标准化】设 XN(,2)，则一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1
20、.21.2随机变量及其分布随机变量及其分布 层次分析的一般方法层次分析的一般方法 -层次结构图层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验、比较矩阵、权重向量、一致性检验 概率知识应用（案例）概率知识应用（案例）彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 报童的诀窍报童的诀窍 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 【引例】“赌博问题”法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100元,共200元，并约定谁
21、先赢满5局，谁取得全部200元，由于出现意外情况，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？按1:1分？或者其他分法？按4:3分？【分析分析】最多两局便可分出胜负,其情况有以下四种:因此,A 能“期望”得到的数目应为:而B 能“期望”得到的数目为：一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差n n 数学期望数学期望数学期望数学期望【离散型时的定义离散型时的定义离散型时的定义离散型时的定义】设X 为离散型随机变量，其分布列为：则称为X的数学期望（或期望）【连续型时的定义连续型时的定义连续型时的定义连续型时
22、的定义】设X 为连续型随机变量，其密度函数为f(x)则称为X的数学期望（或期望）级数或广义积分绝对收敛【数学期望的含义】表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差【再解“赌博问题】法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100元,共200元，并约定谁先赢满5局，谁取得全部200元，由于出现意外情况，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？解：假定
23、他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；若是A输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。设X为A所能赢得的金额，则X=1或1/2因为A输赢的可能性都是1/2，于是有X的数学期望如下：E（X）=112121234一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差【案例1】“保险收益问题”据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98,因事故死亡概率0.02.保险公司开办老事故死亡保险,投保者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a 元。（1）应如何定a,才能使公司可期望获益;（2）若1000人投保,公司期望总获益多
24、少?解：设Xi表示公司从第i个投保者身上所得的收益，i=11000，则Xi 0.98 0.02100由题设于是得公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差【案例2】“验血方案的选择”为普查某种疾病,n 个人需验血.验血方案有如下两种：（1）逐一化验每个人的血，共需化验n次；（2）分组化验，k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验，找出有病者,此时k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳
25、性的概率为 p，且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.分析：只须计算方案(2)所需化验次数的期望E(X)。为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k 组.一、概率论基础知识概述一、概率论基础知识概述1.3 1.3 数学期望及方差数学期望及方差解：设第i 组需化验的次数为X i,则其分布列为Xi P 1 k+1则其期望为：于是X的期望为：显然，当E(X)0.50.5上述结果说明：上述结果说明：上述结果说明：上述结果说明：从每一局比赛来说，从每一局比赛来说，从每一局比赛来说，从每一局比赛来说，A A A A队的实力比队的实力比队的实力比队的实力比B B B B队略微强一些队略微强一
26、些队略微强一些队略微强一些!要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。实际上：实际上：实际上：实际上：2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用下面计算在五局三胜制比赛中下面计算在五局三胜制比赛中下面计算在五局三胜制比赛中下面计算在五局三胜制比赛中A A A A队最后获胜的概率：队最后获胜的概率：队最后获胜的概率：队最后获胜的概率：A A A A队最后获胜，可以分成下列几种情况：队最后获胜，可以分成下列几种情况：队最后获胜，可以
27、分成下列几种情况：队最后获胜，可以分成下列几种情况：（1 1 1 1）A A A A队连胜三局，其概率为队连胜三局，其概率为队连胜三局，其概率为队连胜三局，其概率为 （2 2 2 2）在前三局中）在前三局中）在前三局中）在前三局中A A A A队胜二局，最后队胜二局，最后队胜二局，最后队胜二局，最后A A A A队又胜一局，其概率为队又胜一局，其概率为队又胜一局，其概率为队又胜一局，其概率为（3 3 3 3）在前四局中）在前四局中）在前四局中）在前四局中A A A A队胜二局，最后队胜二局，最后队胜二局，最后队胜二局，最后A A A A队又胜一局，其概率为队又胜一局，其概率为队又胜一局，其概率
28、为队又胜一局，其概率为于是得到在五局三胜制比赛中于是得到在五局三胜制比赛中于是得到在五局三胜制比赛中于是得到在五局三胜制比赛中A A A A队最后获胜的概率为：队最后获胜的概率为：队最后获胜的概率为：队最后获胜的概率为：2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用矩阵矩阵Q Q中元素中元素qij表示：表示：当当A A队以队以ai次序出场、次序出场、B B队以队以bj次序出场时，在五局三胜制比赛中次序出场时，在五局三胜制比赛中A A队最队最后获胜的概率（也就是后获胜的概率（也就是B B队最后失败的概率）。队最后失败的概率）。如果两队都随机排阵，如果两队都随机排阵，
29、如果两队都随机排阵，如果两队都随机排阵，9 9 9 9种出场次序出现的可能性相等，都是种出场次序出现的可能性相等，都是种出场次序出现的可能性相等，都是种出场次序出现的可能性相等，都是1/91/91/91/9，根据全，根据全，根据全，根据全概率公式，就可以算出概率公式，就可以算出概率公式，就可以算出概率公式，就可以算出A A A A队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率：队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率：队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率：队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率：0.50.5说明说明说明说明A A A A队的实力比较强！队的实力比较强！队的实力比较强！队的实力比较强！2
30、.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用l l 问题问题问题问题2 2 2 2的模型的模型的模型的模型什么是什么是什么是什么是“稳妥的方案稳妥的方案稳妥的方案稳妥的方案”？对自己的每一种出场次序，都考虑最坏的情况，求出在最坏的情况对自己的每一种出场次序，都考虑最坏的情况，求出在最坏的情况下，我方失败的概率是多少，然后在各种出场次序中，选择一种最坏情下，我方失败的概率是多少，然后在各种出场次序中，选择一种最坏情况下失败概率最小的出场次序，作为我方的排阵方案。况下失败概率最小的出场次序，作为我方的排阵方案。用出场次序用出场次序用出场次序用出场次序b b1 1 1
31、1时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是A A A A队用出场次序队用出场次序队用出场次序队用出场次序a a3 3，B B B B队失败概率队失败概率队失败概率队失败概率 用出场次序用出场次序用出场次序用出场次序b b2 2时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是A A A A队用出场次序队用出场次序队用出场次序队用出场次序a a2 2或或或或a a3 3，B B B B队失败概率队失败概率队失败概率队失败概率 用出场次序用出场次序用出场次序用出场次序b b3 3时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是A A A A队用出场次序队用出场次序队用
32、出场次序队用出场次序a a1 1或或或或a a2 2，B B B B队失败概率队失败概率队失败概率队失败概率对于对于对于对于B B B B队来说，由矩阵队来说，由矩阵队来说，由矩阵队来说，由矩阵 Q Q 可以看出：可以看出：可以看出：可以看出：所以，所以，所以，所以，B B B B队最稳妥的方案是采用出场次序为队最稳妥的方案是采用出场次序为队最稳妥的方案是采用出场次序为队最稳妥的方案是采用出场次序为b b2 22.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用对于对于对于对于A A A A队来说，由矩阵队来说，由矩阵队来说，由矩阵队来说，由矩阵 Q Q 可以看出：可以
33、看出：可以看出：可以看出：所以，所以，所以，所以，A A A A队最稳妥的方案是采用出场次序为队最稳妥的方案是采用出场次序为队最稳妥的方案是采用出场次序为队最稳妥的方案是采用出场次序为a a11或或或或a a3 3 用出场次序用出场次序用出场次序用出场次序a a1 1 1 1时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是A A A A队用出场次序队用出场次序队用出场次序队用出场次序b b2 2，A A A A队获胜概率队获胜概率队获胜概率队获胜概率 用出场次序用出场次序用出场次序用出场次序a a2 2时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是A A A A队用出场次序队
34、用出场次序队用出场次序队用出场次序b b1 1，A A A A队获胜概率队获胜概率队获胜概率队获胜概率 用出场次序用出场次序用出场次序用出场次序a a3 3时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是时，最坏情况是A A A A队用出场次序队用出场次序队用出场次序队用出场次序b b3 3，B B B B队获胜概率队获胜概率队获胜概率队获胜概率 A A A A队如何安排出场才是最队如何安排出场才是最队如何安排出场才是最队如何安排出场才是最“稳妥稳妥稳妥稳妥”的？的？的？的？a a1 1？a a3 3?若若若若A A A A队预料到队预料到队预料到队预料到B B B B队安排队安排队安排队安排b b
35、2 2出场，则出场，则出场，则出场，则A A A A队安排队安排队安排队安排 若若若若B B B B队又预料到队又预料到队又预料到队又预料到A A A A队安排队安排队安排队安排a a3 3出场，则出场，则出场，则出场，则A A A A队安排队安排队安排队安排 若若若若A A A A队预料到队预料到队预料到队预料到B B B B队安排队安排队安排队安排b b3 3出场，则出场，则出场，则出场，则A A A A队安排队安排队安排队安排a a3 3b b3 3a a1 1这样的推理，可以无穷无尽地进行下去这样的推理，可以无穷无尽地进行下去这样的推理，可以无穷无尽地进行下去这样的推理，可以无穷无尽地
36、进行下去2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题两人零和博弈两人零和博弈两人零和博弈两人零和博弈（Zero-SumTwo-PersonGameZero-SumTwo-PersonGame）博弈论博弈论博弈论博弈论（GameTheoryGameTheory）又名对策论，研究具有竞争或斗争性质现象的数学理论和方法。又名对策论，研究具有竞争或斗争性质现象的数学理论和方法。指一项游戏中，游戏者有输有赢，一方所赢正是另一方所输，游指一项游戏中，游戏者有输有赢，一方所赢正是另一方所输，游指一项游戏中，游戏者有输有赢，一方所赢正是另
37、一方所输，游指一项游戏中，游戏者有输有赢，一方所赢正是另一方所输，游戏的总成绩永远为零，零和游戏原理之所以广受关注，主要是因为人们戏的总成绩永远为零，零和游戏原理之所以广受关注，主要是因为人们戏的总成绩永远为零，零和游戏原理之所以广受关注，主要是因为人们戏的总成绩永远为零，零和游戏原理之所以广受关注，主要是因为人们在社会的方方面面都能发现与零和游戏类似的局面，胜利者的光荣后面在社会的方方面面都能发现与零和游戏类似的局面，胜利者的光荣后面在社会的方方面面都能发现与零和游戏类似的局面，胜利者的光荣后面在社会的方方面面都能发现与零和游戏类似的局面，胜利者的光荣后面往往隐藏着失败者的辛酸和苦涩。往往隐
38、藏着失败者的辛酸和苦涩。往往隐藏着失败者的辛酸和苦涩。往往隐藏着失败者的辛酸和苦涩。A A A A队可以采用的队可以采用的队可以采用的队可以采用的3 3 3 3种出场次序种出场次序种出场次序种出场次序a a1 1,a,a2 2,a,a3 3，是，是，是，是A A A A队可以采用的队可以采用的队可以采用的队可以采用的3 3 3 3种种种种策略策略策略策略 B B B B队可以采用的队可以采用的队可以采用的队可以采用的3 3 3 3种出场次序种出场次序种出场次序种出场次序b b1 1,b,b2 2,b,b3 3，是，是，是，是B B B B队可以采用的队可以采用的队可以采用的队可以采用的3 3
39、3 3种种种种策略策略策略策略 矩阵矩阵矩阵矩阵Q Q=(=(=(=(q qij ij),),),),是是是是A A A A队的队的队的队的得分矩阵，得分矩阵，得分矩阵，得分矩阵，B B B B队的队的队的队的失分矩阵（支付矩阵失分矩阵（支付矩阵失分矩阵（支付矩阵失分矩阵（支付矩阵)二、概率论知识应用二、概率论知识应用2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题当博弈的双方都只采用一种当博弈的双方都只采用一种固定的策略固定的策略（称为（称为纯策略纯策略）时，两人零和博弈问）时，两人零和博弈问题要得到一个稳定的解，矩阵题要得到一个稳定的解，矩阵Q=(qij)中必须有一个中必须有一个鞍点鞍点（Sadd
40、lePoint），），即在即在同一列中取到最大值同一列中取到最大值、又在同一行中取到最小值又在同一行中取到最小值的元素。的元素。在上述矩阵在上述矩阵在上述矩阵在上述矩阵Q=(Q=(q qij ij)中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可能有一个稳定的能有一个稳定的能有一个稳定的能有一个稳定的纯策略解纯策略解纯策略解纯策略解。考虑考虑考虑考虑混合策略解混合策略解混合策略解混合策略解混合策略混合策略混合策略混合策略 就是博弈双方不是固定采用一种纯策略，而是以就是博弈双方不是固定采用一种
41、纯策略，而是以就是博弈双方不是固定采用一种纯策略，而是以就是博弈双方不是固定采用一种纯策略，而是以某种概率混合采用各种策略。某种概率混合采用各种策略。某种概率混合采用各种策略。某种概率混合采用各种策略。二、概率论知识应用二、概率论知识应用设设设设A A A A队以队以队以队以概率概率概率概率x x1 1,x x2 2,x x3 3采用策略采用策略采用策略采用策略a a1 1,a a2 2,a a3 3,则有则有则有则有。设设设设Z Z是是是是A A A A队采用这种混合策略时，不管队采用这种混合策略时，不管队采用这种混合策略时，不管队采用这种混合策略时，不管B B B B队采用什么策略，队采用
42、什么策略，队采用什么策略，队采用什么策略，A A A A队的得分（最队的得分（最队的得分（最队的得分（最后获胜概率）能够保证的后获胜概率）能够保证的后获胜概率）能够保证的后获胜概率）能够保证的最小值最小值最小值最小值。由全概率公式可知，当由全概率公式可知，当由全概率公式可知，当由全概率公式可知，当B B B B队采用纯策略队采用纯策略队采用纯策略队采用纯策略b bj j时，时，时，时，A A A A队的得分（最后队的得分（最后队的得分（最后队的得分（最后获胜概率）为获胜概率）为获胜概率）为获胜概率）为，因为因为因为因为Z Z是是是是A A A A队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必
43、须有队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必须有队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必须有队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必须有容易看出，只要上述不等式成立，当容易看出，只要上述不等式成立，当容易看出，只要上述不等式成立，当容易看出，只要上述不等式成立，当B B B B队以某种概率混合采用各种策略时，队以某种概率混合采用各种策略时，队以某种概率混合采用各种策略时，队以某种概率混合采用各种策略时，A A A A队的得分同样也可以保证大于队的得分同样也可以保证大于队的得分同样也可以保证大于队的得分同样也可以保证大于Z Z,所以不必再列式子了。所以不必再列式子了。所以
44、不必再列式子了。所以不必再列式子了。2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用整个问题就可以表示成一个线性规划问题：整个问题就可以表示成一个线性规划问题：。目标函数目标函数目标函数目标函数约束条件约束条件约束条件约束条件解上述线性规划问题，求得：解上述线性规划问题，求得：解上述线性规划问题，求得：解上述线性规划问题，求得：A A A A队队队队采用策略采用策略采用策略采用策略a a1 1,a a2 2,a a3 3的概率应该分别为的概率应该分别为的概率应该分别为的概率应该分别为当当当当A A A A队队队队采用这种混合策略时，采用这种混合策略时，采用这种混合策
45、略时，采用这种混合策略时，A A A A队能够保证的获胜概率为队能够保证的获胜概率为队能够保证的获胜概率为队能够保证的获胜概率为 2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用对于对于对于对于B B B B队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述A A A A队问题的对偶队问题的对偶队问题的对偶队问题的对偶问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：
46、问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：B B B B队队队队采用策略采用策略采用策略采用策略的概率应该分别为的概率应该分别为的概率应该分别为的概率应该分别为当当当当B B B B队队队队采用这种混合策略时，采用这种混合策略时，采用这种混合策略时，采用这种混合策略时，B B B B队能够保证的获胜概率为队能够保证的获胜概率为队能够保证的获胜概率为队能够保证的获胜概率为 2.3 2.3 乒乓球赛问题乒乓球赛问题二、概率论知识应用二、概率论知识应用 层次分析的一般方法层次分析的一般方法 -层次结构图层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验、比较矩阵、权重向量、一致性检验 概率知识应用（案例）概
47、率知识应用（案例）彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 空中交通管理空中交通管理 概率论基础知识概述概率论基础知识概述 事件的概率事件的概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 数学期望及方差数学期望及方差 概率知识应用（案例）概率知识应用（案例）彩票中的数学彩票中的数学 指纹是否唯一指纹是否唯一 乒乓赛问题乒乓赛问题 报童的决窍报童的决窍2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价格为b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设abc.这就是说，报童售出一份赚a-b，退回一份赔b-c.报童每天
48、如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚；如果购进太多，卖不完，要赔钱.请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.n 问题提出问题提出问题报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？二、概率论知识应用二、概率论知识应用n n 问题分析问题分析问题分析问题分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的数学期望售出一份赚a-b；退回一份赔b-c2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概
49、率论知识应用二、概率论知识应用调查需求量的随机规律每天需求量为r 的概率f(r),r=0,1,2n n 假设及符号说明假设及符号说明假设及符号说明假设及符号说明设每天购进n 份，日平均收入为G(n)已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用n n 模型建立模型建立模型建立模型建立求求n 使使G(n)最大最大(其中其中a,b,c,f(r)已知已知)2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用n 模型求解模型求解将r 视为连续变量2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用nP1P2取取n使使a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱0rp需求量需求量不超过不超过n的概率的概率需求量超需求量超过过n的概的概率率n n 结果解释结果解释结果解释结果解释2.4 2.4 报童的诀窍报童的诀窍二、概率论知识应用二、概率论知识应用