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1、2022/12/29第四章 分离变量法31第四章第四章 分离变量分离变量(傅立叶级数傅立叶级数)法法4.1 齐次方程的分离变量法齐次方程的分离变量法（重点：重点：4个齐次边界条件）个齐次边界条件）4.2 非齐次方程和输运方程非齐次方程和输运方程4.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理4.4 Laplace 方程、方程、泊松方程泊松方程 （重点：周期边界条件）（重点：周期边界条件）2022/12/29第四章 分离变量法324.4 泊松方程泊松方程本节介绍稳定场方程本节介绍稳定场方程(拉普拉斯方程，泊松方程拉普拉斯方程，泊松方程)的分离变量的分离变量法、傅里叶级数法求解。法、傅里叶级数法求
2、解。1、拉普拉斯方程、拉普拉斯方程例如矩形截面散热片的稳定温度分布例如矩形截面散热片的稳定温度分布u(x,y)，边界上温度分布如图所示，定解问题为边界上温度分布如图所示，定解问题为(1)1)矩形边界矩形边界的稳定场问题的稳定场问题yxOabUu0u0u02022/12/29第四章 分离变量法33分析：分析：u满足二维拉普拉斯方程的满足二维拉普拉斯方程的第一类边界条件第一类边界条件问题。问题。(2)则定解问题变为则定解问题变为(3)为了简化计算，为了简化计算，设法将设法将x方向的边界条件化为齐次方向的边界条件化为齐次。为此作如。为此作如下平移变换：下平移变换：注意到注意到v满足齐次的泛定方程，可
3、用分离变量法求解，令试探解满足齐次的泛定方程，可用分离变量法求解，令试探解为为v(x,y)=X(x)Y(y)；又因为；又因为v(x,y)在在x方向的两端是固定的，所以方向的两端是固定的，所以有有本征值本征值l ln=(np p/a)2及本征函数及本征函数Xn=Csin(np px/a)。2022/12/29第四章 分离变量法34于是令试探解为于是令试探解为其中其中Yn待定，由泛定方程及待定，由泛定方程及y方向的边界条件确定。方向的边界条件确定。将试探解将试探解Eq.(4)代入泛定方程，得代入泛定方程，得(4)即即另一方面，由另一方面，由y方向的边界条件得方向的边界条件得(5a)(5b)2022
4、/12/29第四章 分离变量法35以及以及比较系数得比较系数得Yn(b)=fn，而，而fn为常数为常数U-u0的傅里叶正弦展开系数，的傅里叶正弦展开系数，因此因此(5c)综合综合(5a)、(5b)和和(5c)式，我们得到式，我们得到Yn(y)满足的方程。满足的方程。2022/12/29第四章 分离变量法36这是一个二阶常系数微分方程，通解为这是一个二阶常系数微分方程，通解为e指数形式指数形式Yn(y)=ery(r待定待定)，代入方程得到，代入方程得到r2=(np p/a)2，有两个实根，有两个实根r=(np p/a)，因此，因此将上式代入到将上式代入到Yn满足的边界条件中，得满足的边界条件中，
5、得(i)n为偶数时为偶数时可见当可见当n为偶数时，为偶数时，Yn(y)=0，即，即v(x,y)=0，舍弃这个平凡解。，舍弃这个平凡解。(6)2022/12/29第四章 分离变量法37求解上面的联立方程，得求解上面的联立方程，得(ii)n为奇数时为奇数时通解仍为通解仍为Eq.(6)，即，即 ，由代入边界条，由代入边界条件中，得件中，得2022/12/29第四章 分离变量法38由此解得由此解得n为奇数为奇数时时代入到试探解中，令代入到试探解中，令n=2k+1(k=0,1,2,)，得，得(7)2022/12/29第四章 分离变量法39最后得稳定场温度分布最后得稳定场温度分布u(x,y)=u0+v(x
6、,y)，即，即(8)2022/12/29第四章 分离变量法3102)圆形边界圆形边界的稳定场问题的稳定场问题如图，带电云和大地之间静电场视为匀如图，带电云和大地之间静电场视为匀强电场强电场(场强场强E0)，求圆柱形输电线对电，求圆柱形输电线对电势势u和场强和场强E的改变。的改变。由于电线沿由于电线沿z轴方向轴方向“无限长无限长”，静电场，静电场与与z无关，可归结为无关，可归结为x-y平面内圆形边界的平面内圆形边界的狄里希利狄里希利(Dirichlet)问题问题。式中已取圆形半径为式中已取圆形半径为a，规定边界处及导体内电势为规定边界处及导体内电势为0。因为因为柱外无电荷，电势柱外无电荷，电势u
7、满足二维拉普满足二维拉普拉斯方程拉斯方程(即，齐次泊松方程即，齐次泊松方程)E0E02022/12/29第四章 分离变量法311极坐标系下，定解问题变为极坐标系下，定解问题变为(见附录见附录)(9)其中周期边界条件如右图所示。其中周期边界条件如右图所示。xyOa研究区域研究区域o a 2p p研究区域研究区域xyEx=E0(,)O 2022/12/29第四章 分离变量法312应用分离变量法，取试探解为：应用分离变量法，取试探解为：(10)将试探解代入到泛定方程中，即式将试探解代入到泛定方程中，即式(9)，得，得两边同乘两边同乘 2/F F，得，得上式等号左边只和上式等号左边只和 有关，右边只和
8、极角有关，右边只和极角 有关，二者相等的有关，二者相等的条件是它们同时等于一个常数条件是它们同时等于一个常数l l，即，即2022/12/29第四章 分离变量法313F F满足二阶常系数微分方程，通解为：满足二阶常系数微分方程，通解为：其中只有其中只有l l 0的解满足的解满足周期边界条件，即式周期边界条件，即式(12)。于是泛定方程分解为于是泛定方程分解为两个独立的常微分方程两个独立的常微分方程(11)(12)极角极角 加减加减2p p的整数倍电势的整数倍电势u不变，因此有不变，因此有周期边界条件周期边界条件：2022/12/29第四章 分离变量法314于是于是圆域内周期边界条件圆域内周期边
9、界条件的本征值和本征函数为的本征值和本征函数为(13a)(13b)将本征值将本征值(13a)代入代入R满足的常微分方程中，得满足的常微分方程中，得(14a)这是一个这是一个欧拉型欧拉型二阶常微分方程二阶常微分方程，作变换，作变换=et，即，即t=ln，式式(14a)简化为简化为(见附录，见附录，下一章还将用到下一章还将用到！)(14b)2022/12/29第四章 分离变量法315Eq.(14b)是一个常系数二阶微分方程，通解为是一个常系数二阶微分方程，通解为(=et，t=ln)代回试探解代回试探解u=RF F中，由中，由Eqs.(13b)和和(15)得得所有本征解的叠加给出一般解所有本征解的叠
10、加给出一般解:(16)(15)2022/12/29第四章 分离变量法316Eq.(16)中的系数由边界条件中的系数由边界条件u|=a=0，u|=-E0 cos 确确定，定，所以得所以得(17)2022/12/29第四章 分离变量法317比较系数得比较系数得对于对于 a，m项的贡献远大于项的贡献远大于D0ln(/a)和诸和诸 -m项，忽略后者项，忽略后者的贡献，得的贡献，得(18)将将Eq.(17)代入代入(16)中，得中，得 au=u=1u=ln 2022/12/29第四章 分离变量法318如果导体不带电，如果导体不带电，D0=0，Eq.(19)只剩后面两项。由此可证只剩后面两项。由此可证y轴
11、方向的电势始终为零，轴方向的电势始终为零，即即A1=-E0，其他系数都为零，最终得圆柱之外的静电势，其他系数都为零，最终得圆柱之外的静电势(19)其中第一项为其中第一项为电线自带电荷产生的电势；第二项为匀强静电场电线自带电荷产生的电势；第二项为匀强静电场的电势；最后一项代表圆柱形导线对其邻近区域匀强电场的修的电势；最后一项代表圆柱形导线对其邻近区域匀强电场的修正，当正，当(离电线无穷远离电线无穷远)时，修正项可以忽略。时，修正项可以忽略。2022/12/29第四章 分离变量法319此外导体此外导体A、B两点两点(如图如图)的电场强度的电场强度是匀强电场的两倍，因此特别容易被击穿。是匀强电场的两
12、倍，因此特别容易被击穿。讨论：对于平板电容器，如果上极板上带有讨论：对于平板电容器，如果上极板上带有半半圆形突起圆形突起，那么该突起处的电场强度总是无限，那么该突起处的电场强度总是无限远电场强度远电场强度E0的两倍。的两倍。AB为防止突起点处被击穿，高压电容器的极板必为防止突起点处被击穿，高压电容器的极板必须刨得非常光滑。须刨得非常光滑。203)推广：推广：周期边界条件周期边界条件(periodic boundary condition)2022/12/29第四章 分离变量法321周期边界条件的应用：周期边界条件的应用：固体物理、半导体物理固体物理、半导体物理-晶晶格振动；格振动；电磁场电磁场
13、(E.M.field)理论理论、电电动力学、量子光学，动力学、量子光学，etc.The free classical E.M.fieldSee e.g.,R.Loudon,The quantum theory of light(2th edition,Clarendon Press,Oxford,1983).2022/12/29第四章 分离变量法322泊松方程泊松方程采用采用特解法特解法求解：先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解求解：先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令，然后令u=v+w，把问题转化为求，把问题转化为求w。因为。因为 u=v=f，所以，所以 w=u-v=0，即即w
14、满足拉普拉斯方程，它的求解过程如前。满足拉普拉斯方程，它的求解过程如前。2、泊松方程、泊松方程例例1(P219).在圆域在圆域 0内求解泊松方程的边值问题：内求解泊松方程的边值问题：也称为非齐次拉普拉斯方程，它描述与时间无关的稳定场问题，也称为非齐次拉普拉斯方程，它描述与时间无关的稳定场问题，不适合用冲量定理法求解。不适合用冲量定理法求解。2022/12/29第四章 分离变量法323于是取满足泊松方程的特解为于是取满足泊松方程的特解为解：先找特解。注意到解：先找特解。注意到令令问题转化为问题转化为w的定解问题：的定解问题：2022/12/29第四章 分离变量法324该定解问题的一般结论由该定解
15、问题的一般结论由Eq.(16)给出，即给出，即其中系数由边界条件其中系数由边界条件w|=0给出。此外给出。此外w在圆内应处处有限，在圆内应处处有限，而而ln 和和-m在圆心处发散，所以排除在外。于是得在圆心处发散，所以排除在外。于是得2022/12/29第四章 分离变量法325代入到边界条件中，代入到边界条件中，比较两边系数，得比较两边系数，得最后得最后得 ，即，即2022/12/29第四章 分离变量法326作业作业nP1722.nP16116.(1)nP1782.2022/12/29第四章 分离变量法327附录附录A：极坐标系拉普拉斯方程：极坐标系拉普拉斯方程从极坐标系中的柯西从极坐标系中的
16、柯西-黎曼方程可求出拉普拉斯黎曼方程可求出拉普拉斯(Laplace)方程方程的极坐标表示式的极坐标表示式(P12).解解:极坐标下极坐标下C-R条件为条件为(A1)(A2)消去消去g(其中其中g=u或或v),就对它求偏导就对它求偏导,使之成为使之成为 的形式的形式.例如消掉例如消掉v,Eq.(A1)左右乘左右乘 然后对然后对 求偏导求偏导,得得(A3)2022/12/29第四章 分离变量法328接着接着,Eq.(A2)左右左右对对 求偏导求偏导,得到得到(A4)比较比较Eqs.(A3)和和(A4),自然得到自然得到(A5)或者写为或者写为(A6)Eqs.(A5)和和(A6)就是极坐标下拉普拉斯
17、方程的表达式就是极坐标下拉普拉斯方程的表达式.2022/12/29第四章 分离变量法329附录附录B(1)圆柱外圆柱外“无穷远处无穷远处”的静电场视为沿的静电场视为沿x方向的匀强方向的匀强电场电场Ex=E0，Ey=0，于是电势的导数，于是电势的导数ux=-E0，uy=0，所以有，所以有因此给出因此给出(9)式中圆柱外电势的边界条件。式中圆柱外电势的边界条件。(2)欧拉型二阶常微分方程欧拉型二阶常微分方程(14a)的化简：的化简：径向部分函数径向部分函数R满满足的常微分方程为足的常微分方程为(B1)这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换=et，即，即t=ln，于
18、，于是有是有2022/12/29第四章 分离变量法330所以所以Eq.(B1)简化为简化为即即(B2)2022/12/29第四章 分离变量法331例题例题.在矩形域在矩形域0 x a，0 y b 上求解泊松方程的边值问题上求解泊松方程的边值问题解：先找一个特解解：先找一个特解v.显然显然v=-x2满足泊松方程。另外满足泊松方程。另外也满足泊松方程。取也满足泊松方程。取c1=a，c2=0，即，即令令u=v+w，则，则w满足齐次边界条件定解问题满足齐次边界条件定解问题附录附录C：补充例题补充例题(C1)(C2)(C3)2022/12/29第四章 分离变量法332注意到注意到x方向是两端固定，本征函
19、数已知，按其展开得方向是两端固定，本征函数已知，按其展开得将试探解代入泛定方程，得将试探解代入泛定方程，得即即(C4)2022/12/29第四章 分离变量法333另一方面，由另一方面，由y方向的边界条件得方向的边界条件得而而x(x-a)可展开成傅里叶正弦级数可展开成傅里叶正弦级数其中系数为其中系数为2022/12/29第四章 分离变量法334(i)n为偶数时为偶数时如前所述，该方程的解为如前所述，该方程的解为Yn(y)=0，舍弃这个平凡解。，舍弃这个平凡解。(ii)n为奇数时为奇数时通解为通解为 ，由代入边界条件中，得，由代入边界条件中，得2022/12/29第四章 分离变量法335比较系数可得比较系数可得于是得于是得2022/12/29第四章 分离变量法336将将Yn(y)带回带回Eq.(C4)，得，得求出的求出的w(x,y)加上加上x(x-a)就是就是u(x,y)。