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1、第四章第四章 数控加工与编程的数控加工与编程的数值计算方法数值计算方法 数控加工数控加工与与数控编程数控编程实质上是实质上是曲线、曲面几曲线、曲面几何学何学在机械制造业的应用。在机械制造业的应用。数控加工中，有简单数控加工中，有简单曲线和曲面（如直曲线和曲面（如直线、圆弧及球面等）数学描述及处理；还有线、圆弧及球面等）数学描述及处理；还有不不能用二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面能用二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面自由曲线或自由曲自由曲线或自由曲面面。l 自由曲面自由曲面是工程中最复杂而又经常遇到的是工程中最复杂而又经常遇到的曲面，在曲面，在航空、造船、汽车、能源、国防航空、造船、汽车、
2、能源、国防等部等部门中许多零件的外形如各种门中许多零件的外形如各种叶片曲面叶片曲面、各种、各种螺螺旋桨叶曲面、许多变距螺旋面以及模具工作面旋桨叶曲面、许多变距螺旋面以及模具工作面等均为等均为空间自由曲面空间自由曲面，其，其形状复杂、材料难以形状复杂、材料难以加工、精度要求高，加工、精度要求高，在整个部件生产过程中其在整个部件生产过程中其加工质量和加工效率的高低举足轻重。加工质量和加工效率的高低举足轻重。19631963年美国波音公司佛格森将年美国波音公司佛格森将曲线曲面表示为参数矢量函数式曲线曲面表示为参数矢量函数式；19641964年美国麻省理工学院（年美国麻省理工学院（MITMIT）孔斯用
3、）孔斯用封闭曲线的四条边界定封闭曲线的四条边界定义一块曲面义一块曲面；同一年，舍恩伯格提出了同一年，舍恩伯格提出了参数样条曲线、曲面的参数样条曲线、曲面的形式；形式；19711971年，法国雷诺（年，法国雷诺（RenaultRenault）汽车公司的）汽车公司的贝齐尔贝齐尔（BezierBezier）提出）提出用用控制多边形定义曲线和曲面的方法控制多边形定义曲线和曲面的方法；19721972年，德布尔（年，德布尔（de Boorde Boor）给出）给出B B样条标准的计算方法样条标准的计算方法；19741974年年,美国通用汽车公司戈登（美国通用汽车公司戈登（GordenGorden)将将B
4、 B样条理论用于形状描样条理论用于形状描述，提出述，提出B B样条曲线、曲面样条曲线、曲面；19751975年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出有理有理B B样条方法样条方法；2020世纪世纪8080年代，美国人皮格尔等将有理年代，美国人皮格尔等将有理B B样条发展成为非均匀有理样条发展成为非均匀有理B B样条（样条（NUBRSNUBRS)方法。方法。用用NUBRSNUBRS方法可统一表示初等解析曲线和曲面，成为当今方法可统一表示初等解析曲线和曲面，成为当今自由曲线和曲面最广为流行的技术。自由曲线和曲面最广为流行的技术。4.1 4.1 基点基点和和节点节点计
5、算计算 机械零件由几种不同几何元素构成的，如，直机械零件由几种不同几何元素构成的，如，直线、圆弧、二次曲线等。线、圆弧、二次曲线等。基点：基点：各个几何元素之间的连接点各个几何元素之间的连接点，如：直线与直，如：直线与直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。对于对于直线和圆弧直线和圆弧组成的平面零件，由于组成的平面零件，由于数控系统数控系统都有直线和圆弧插补功能都有直线和圆弧插补功能，数值计算较简单，主要是，数值计算较简单，主要是确定确定基点坐标、圆
6、弧的中心坐标基点坐标、圆弧的中心坐标。有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工程序。程序。程序。程序。4.1.1 4.1.1 节点的计算节点的计算 对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由曲线的插补功能，做法是：曲线的插补功能，做法是：即将这类轮廓曲线即将这类轮廓曲线按编程允差分割成许多小段，用按编程允差分割成许多小段，用直线或圆弧直线或圆弧来来代替代替(即逼近即逼近)这些曲线小段。这些曲线小段。节点节点：逼近直线或
7、圆弧小段与轮廓曲线的交点逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点或切点或切点称为称为节点节点。数值计算的任务就是求算节点的坐标。数值计算的任务就是求算节点的坐标。在数控加工方法中所说的在数控加工方法中所说的空间立体曲空间立体曲面面的的行切法行切法加工，实际上是用许多加工，实际上是用许多平行平行的的平面曲线平面曲线来逼近来逼近空间曲面空间曲面，这时需求出所，这时需求出所有的平面曲线，面且还要计算各有的平面曲线，面且还要计算各平面曲线平面曲线上的基点或节点上的基点或节点，然后再编写各节点、基，然后再编写各节点、基点之间的直线或圆弧加工程序。点之间的直线或圆弧加工程序。4.1.2 4.1.2 非圆曲线的节
8、点计算非圆曲线的节点计算非圆曲线非圆曲线：除直线、与圆外，可用：除直线、与圆外，可用y=f(x)表示的平面表示的平面 曲线。曲线。节节点的数目及其坐标值取决于点的数目及其坐标值取决于曲线的特性，逼近曲线的特性，逼近线段的形状及允许的迫近误差线段的形状及允许的迫近误差允允。根据这三方面的。根据这三方面的条件、可用数学方法求出各节点的坐标。条件、可用数学方法求出各节点的坐标。是用是用直线还是圆弧作为逼近线段直线还是圆弧作为逼近线段，则应考虑在，则应考虑在保保证逼近精度的前提下，使节点数目少证逼近精度的前提下，使节点数目少，计算简单。，计算简单。1）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利；）曲率半径大的
9、曲线用直线逼近较为有利；2）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。1.1.等间距直线逼近法等间距直线逼近法方方 法：法：使每一个程序段中的某一个坐标的增量相等。使每一个程序段中的某一个坐标的增量相等。直角坐标系直角坐标系：令：令x坐标坐标的增量相等；的增量相等；极坐标系极坐标系：令转角坐标的增量相等，也可令向径长度的：令转角坐标的增量相等，也可令向径长度的 增量相等。增量相等。图中为加工一个凸轮时，图中为加工一个凸轮时，x坐标坐标按按等间隔分段时节点的分布情况。等间隔分段时节点的分布
10、情况。间距的大小一般根据零件加工精度间距的大小一般根据零件加工精度凭经验选取。凭经验选取。l从上图看出，不一定每一段都要验算。从上图看出，不一定每一段都要验算。l只需验算只需验算y y 坐标增量值最大的线段坐标增量值最大的线段(如小如小A A1 1A A2 2段段)；l曲率曲率比较大的线段比较大的线段(如如A A5 5A A6 6段段)；l有拐点的线段有拐点的线段(如如A A6 6A A7 7段段)。l如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要求。求。l下图中下图中A1A2是要验算的线段，是要验算的线段，l曲线的方程曲线的方程l
11、距直线距直线A1A2为为允允的直线方程的直线方程l式中：式中：A=y1-y2,B=x2-x1,C=y1(x1-x2)x1(y1-y2)2.2.等弦长直线逼近法等弦长直线逼近法方法方法：使每个程序段的直线段长度相等。使每个程序段的直线段长度相等。由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段的逼近误差不相等，必须使的逼近误差不相等，必须使最大误差仍小于最大误差仍小于允允。一般说来，零件一般说来，零件轮廓曲线的曲率半径最小轮廓曲线的曲率半径最小的地方，的地方，逼近误差最大逼近误差最大。先确定曲率半径最小的位置，然后在该。先确定曲率半径最小的位置，然后在该处处按
12、照逼近误差小于等于按照逼近误差小于等于允允的条件求出逼近直线段的长度的条件求出逼近直线段的长度，用此弦长分割零件的轮廓曲线，用此弦长分割零件的轮廓曲线，即可求出各即可求出各节点节点的坐标。的坐标。3.3.等误差直线逼近法等误差直线逼近法l该法是使每个直线段的逼近误差相等，并该法是使每个直线段的逼近误差相等，并l小于或等于小于或等于允允。所以上面两种方法都合。所以上面两种方法都合l理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮廓采用这种方法较合理。廓采用这种方法较合理。4.4.圆弧逼近法圆弧逼近法 如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件如果数控机床有圆弧插补功能
13、，可用圆弧去逼近工件的轮廓曲线的轮廓曲线。但需要求每段圆弧的但需要求每段圆弧的圆心圆心、起点、终点的坐标值及圆弧半径起点、终点的坐标值及圆弧半径。节点的计算依据节点的计算依据：圆弧段与工件轮廓曲线间的误差圆弧段与工件轮廓曲线间的误差允。允。4.2 4.2 三次参数样条曲线三次参数样条曲线l某些零件，如某些零件，如机翼外形机翼外形、内燃机进排气门的凸内燃机进排气门的凸轮轮曲线等，对曲线等，对外形的光顺性外形的光顺性要求较高，要求较高，曲线的曲线的光顺性就意味着曲线的导数要连续光顺性就意味着曲线的导数要连续。如果要求。如果要求曲线的一阶和二阶导数都是连续的，这可用三曲线的一阶和二阶导数都是连续的，
14、这可用三次样条曲线次样条曲线。l样条样条：最初是在造船业中放样用的一根：最初是在造船业中放样用的一根木料或木料或塑料做成的弹性长条塑料做成的弹性长条，放样员利用它通过，放样员利用它通过型值型值点点画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。l 下面介绍下面介绍三次参数样条曲线三次参数样条曲线。4.2.1.三次样条曲线定义定义：在区间：在区间a，b上给定上给定n个点：个点：x1,x2,xn，得到得到a=x1x2 xn=b,称在区间称在区间a，b上满上满足下列条件的函数足下列条件的函数S(x）为三次样条函数：为三次样条函数：1）在每一个子区间）在每一个子区间xi,x
15、i+1(i=1,2n-1)上，上，S(x)都是三都是三次函数。次函数。2）在整个区间）在整个区间a,b上，上，S(x)连续，且具有连续的一阶连续，且具有连续的一阶和二阶导数。和二阶导数。则称则称S(x)为为a，b上，以上，以xi(i=1,2,n)为节点的三次样条为节点的三次样条函数。函数。1.三次参数样条曲线方程曲线、曲面有曲线、曲面有显式、隐式和参数显式、隐式和参数表示，从计算表示，从计算机图形机图形学和计算几何的角度看，学和计算几何的角度看，参数表示较好参数表示较好。曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是：曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是：xx(t)y y(t)曲线上一点的参数表达式为：曲线上一
16、点的参数表达式为：p(t)x(t),y(t)工程上常用以弦长工程上常用以弦长t为参数的为参数的三次样条函数三次样条函数。已知两端点已知两端点已知两端点已知两端点 ，得到一条通过，得到一条通过，得到一条通过，得到一条通过P1,P2P1,P2点，且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。点，且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。点，且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。点，且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。其中其中称为三次参数样条曲线的称为三次参数样条曲线的基函数。基函数。t为曲线起点与曲为曲线起点与曲线上任一点之间的弦长，线上任一点之间的弦长，t0,1端点条件：端点条件：2.2.两段曲线光滑连接的条件两
17、段曲线光滑连接的条件要构造一条三次参数样条曲线需要给出端点的坐要构造一条三次参数样条曲线需要给出端点的坐标与切矢量，若要构造一条通过多个型值点的光标与切矢量，若要构造一条通过多个型值点的光滑曲线，就要给出这些型值点的坐标和切矢量，滑曲线，就要给出这些型值点的坐标和切矢量，使初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的使初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的坐标和两个端点的切矢量，就可根据坐标和两个端点的切矢量，就可根据曲线光滑连曲线光滑连接条件构造出通过各型值点的光滑曲线接条件构造出通过各型值点的光滑曲线，中间各，中间各连结点的切矢量可由型值点坐标确定，方法为：连结点的切矢量可由型值点坐标确定，
18、方法为：设曲线设曲线设曲线设曲线P P1 1P P1 1(t),P(t),P2 2P P2 2(t),(t),分别通过分别通过分别通过分别通过P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4，曲线在，曲线在，曲线在，曲线在P P2 2点光滑连接，即点光滑连接，即点光滑连接，即点光滑连接，即可写成矩阵形式：可写成矩阵形式：3.3.端点条件端点条件给出两个端点的切矢量给出两个端点的切矢量 上式为（上式为（n-2)个未个未知数，补充知数，补充2个端点条件，为个端点条件，为求解的方程为：求解的方程为：习题习题5 51 1 逐点比较法直线插补的偏差函数是如何确定的？逐点比较法直线插补的偏差函数是如何确定的？它与刀具位置有何关系？它与刀具位置有何关系？2 2 直线的起点坐标在原点直线的起点坐标在原点O(0O(0，0)0)，终点，终点A的坐标的坐标为为A（1010，5 5）.试用逐点比较法对直线进行插补，试用逐点比较法对直线进行插补，并画出插补轨迹。并画出插补轨迹。