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1、高等院校非数学类本科数学课程主讲:胡春华Email:北京师范大学珠海分校应用数学学院 大 学 数 学-一元微积分学一元微积分学第一章 集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域一、集合的基本概念 集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人康托尔（犹
2、太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合关于集合的几点注意：v 集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。v 集合中的元素互不相同。v 当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合 中的 元素一律平等。2.集合的表示法
3、(1)列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 (2)花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据需要选择其中的一种方法例例1 13.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为。空集是任何一个集合的子集：想到什么没有？例例2 24.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。空集是任何一个非空集合的幂集的元素：二、集合的基本运算也有一些书将全集称为“空间”、“原集合”、“万有集合”等。在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念ABABAB ABABAB
4、 ABAABB (A B)B=A?一般说来,AB仅当 B A 时,才有ABA=1,2,3,4,5,6,7,8,9 。B=4,5,6,7,8,9，设设A=1,2,3,4,5，则则例例3 3B=6,7,8 ，=0,1,2,6,7,8 .设设A=0,1,2 ，则则例例4 4A=x|x2 2x 3 0 ，=x|1 x 3 .B=x|x=1,3 ，设设则则例例5 5例例6 6解解=x|1 x 1 或 2 x 3 。故B=x|x 2 ，解不等式得A=x|1 x 3 ，例例7 7交换律 结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律设有集合 A、B、C 及全集 ，则交换律：结合律：分配律：对偶律：幂等律：
5、吸收律：其它其它：三、映射的基本概念1.映射注意：注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合 X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。如果 x X，存在唯一的 y=f(x)Y 与之对应；反过来,若 y Y,存在唯一的 x X 使得 y=f(x),则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。2.一一对应一一对应的实质是什么？一一对应的实质一一对
6、应的实质其它内容请同学们自己看书1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必 n Z，使 n a n+1.实数与数轴上的点一一对应.四、实数、区间、邻域2.绝对值、距离任一实数 a 的绝对值|a|定义为：数轴上任意两点 a，b 之间的距离为 d=|a b|。绝对值常用的性质：3.区间(1)闭区间 a,b=x|a x b ab(2)开区间 (a,b)=x|a x b ab。()(a,b=x|a x b (称为左开右闭区间)a,b)=x|a x a,(,b=x|x b,(,b)=x|x b,(,+)=x|x +=x|xR a(+)a,+)(5)区间长度有限区间的
7、长度=右端点值左端点值 不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+区间(,2 与(1,+)的 区间长度均为+.区间 1,4 与(1,4)的区间长度均为4 (1)=5例例8 8U(x0,)=x|x x0|0 x0+()x0 x0 x U(x0,)|x x0|4.邻 域U(x0,)=x|0|x x0|0 x0+()x0 x0 x U(x0,)0|x x0|点 的某邻域，记为 U(x0).点 的某去心邻域，记为 (x0).U(3,0.1)=(3 0.1,3+0.1)点 x0=3 的 =0.1 邻域为点 x0=3 的去心 =0.1 邻域为(3,0.1)=(2.9,3)(3,3.1)=(2.9,3.1)例例9 9