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1、第四章第四章 受弯构件受弯构件4-1 截面的几何性质截面的几何性质一、一、静矩和形心静矩和形心形心坐标：形心坐标：静矩和形心坐标之间的关系：静矩和形心坐标之间的关系：例：计算由抛物线、例：计算由抛物线、y轴和轴和z轴所围成的平面轴所围成的平面图形对图形对y轴和轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。轴的静矩，并确定图形的形心坐标。解：解：例：确定图示图形形心例：确定图示图形形心C的位置。的位置。解：解：例：求图示阴影部分的面积对例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。轴的静矩。解：解：二、二、惯性矩、极惯性矩和惯性积惯性矩、极惯性矩和惯性积1、惯性矩、惯性矩 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与
2、工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即某一长度平方的乘积，即分别称为平面图形对分别称为平面图形对y轴和轴和z轴的惯性半径轴的惯性半径2、极惯性矩、极惯性矩例：求图示矩形对对称轴例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。的惯性矩。解：解：例：求图示圆平面对例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。轴的惯性矩。3、惯性积、惯性积 如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。必等于零。几个主要定义几个主要定义:(1)主惯性轴主惯性轴 当平面图形对某一对正交当平面图形对某一
3、对正交坐标轴坐标轴y0、z0的惯性积的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。称为主惯性轴。因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。轴一定是平面图形的主惯性轴。(2)主惯性矩主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。惯性矩称为主惯性矩。(3)形心主惯性轴形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。形心主惯性轴。可以证明可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。惯性轴。(4)形心主惯性矩形心
4、主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。矩称为形心主惯性矩。三、三、平行移轴公式平行移轴公式 平行移轴公式：平行移轴公式：4-2-1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念当作用在杆件上的当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直载荷和支反力都垂直于杆件轴线于杆件轴线时，杆件的轴线因变形由直线变时，杆件的轴线因变形由直线变成了曲线，这种变形称为成了曲线，这种变形称为弯曲变形弯曲变形。工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为4-2 受弯构件的内力受弯构件的内力 纵向对称面纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所：梁的轴线与横截面的对称轴所 构
5、成的平面构成的平面CL7TU1平面弯曲平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。一条位于纵向对称面内的曲线。4-2-2 受弯构件的内力及计算受弯构件的内力及计算一、杆件的简化一、杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁用梁的轴线来代替实际的梁折杆或曲杆用中心线代替折杆或曲杆用中心线代替二、载荷的分类二、载荷的分类 1.集中载荷集中载荷2.分布载荷分布载荷3.集中力偶集中力偶三、支座的分类三、支座的分类 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，根据支座对梁在载荷平面内的约束情况
6、，一般可以简化为三种基本形式：一般可以简化为三种基本形式：1.固定铰支座固定铰支座2.可动铰支座可动铰支座3.固定端支座固定端支座CL7TU2四、静定梁的基本形式四、静定梁的基本形式1.简支梁简支梁2.外伸梁外伸梁3.悬臂梁悬臂梁CL7TU3五五 剪力和弯矩的符号规定剪力和弯矩的符号规定CL7TU4剪力剪力Q的符号规定：的符号规定：弯矩弯矩M的符号规定：的符号规定：CL7TU5左上右下为正左上右下为正上压下拉上压下拉 (上凹下凸上凹下凸)为正为正CL7TU6 例：求图示梁例：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的截面上的剪力和弯矩。剪力和弯矩。4-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4-3
7、-1利用剪力方程和弯矩方程作梁的内力图利用剪力方程和弯矩方程作梁的内力图一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程二、剪力和弯矩作图规定二、剪力和弯矩作图规定1、剪力作图规定：上正下负、剪力作图规定：上正下负2、弯矩作图规定：画在受拉侧（上负下正）、弯矩作图规定：画在受拉侧（上负下正）三、用截面法求指定截面内力三、用截面法求指定截面内力先计算左截面的内力，可取截面先计算左截面的内力，可取截面1以左以左隔离体进行分析。隔离体进行分析。PPPP1.5aM Z1N Z1Q Z1M U1N U1Q U12Pa计算右截面的内力计算右截面的内力,也可取截面也可取截面1以左以左隔离体进行分析。在这个隔离体
8、上有隔离体进行分析。在这个隔离体上有集中力矩集中力矩 2Pa，三个未知力为三个未知力为：P2Pa1a1.5a1.5aP计算如图所示结构截面计算如图所示结构截面 1 的内力的内力PP1.5a根据静力平衡条件求截面未知力：根据静力平衡条件求截面未知力：aM 2N 2Q2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a)PP1.5a(d)1.5a22PaPN 2M 2Q2N 3PaPQ3M 3 现取截面现取截面 2 左边的隔离体进行左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出分析，根据三个平衡条件就可得出截面截面 2 上的三个未知力：上的三个未知力：此时应取截面此时应取截面 3 以上的隔离体进行以上的隔
9、离体进行分析比较简单分析比较简单。计算截面计算截面 2 的内力的内力也可取截面也可取截面 2 右边隔离体计算右边隔离体计算计算截面计算截面 3 的内力的内力4-3-1 、荷载、内力之间的关系、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）（平衡条件的几种表达方式）q(x)d xQ Q+d Q MM+d M（1）微分关系）微分关系q d x（2）增量关系）增量关系Q Q+Q MM+M d xPm（3）积分关系）积分关系q(x)QA QB MAMB由d Q=qd x由d M=Qd x水平杆件下侧受拉为正；竖向杆件右侧受拉为正。载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:几种典型弯
10、矩图和剪力图几种典型弯矩图和剪力图l/2l/2ml/2l/2Pl q 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下；Q 图有一突变，荷载向图有一突变，荷载向下突变亦向下。下突变亦向下。2、集中力矩作用点、集中力矩作用点M图有一突变，力矩图有一突变，力矩为顺时针向下突变；为顺时针向下突变；Q 图没有变化。图没有变化。3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；Q 图为斜直线，荷载向图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜下直线由左向右下斜4-3-2 4-3-2 分段叠加法作弯矩图分段叠加
11、法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：分段叠加法的理论依据：假定假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：图中：OA段即为线弹性阶段段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段段为非线性弹性阶段3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2）
12、跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图分段叠加法作弯矩图的方法：分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯
13、矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF G例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。分析分析该梁为简支梁，弯矩控制截该梁为简支梁，弯矩控制截面为：面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值计算控制截面位置的弯矩值解：解：（1）先计算支座反力）先计算支座反力kNkN（2）求控制截面弯矩值）求控制截面弯矩值取取AC部分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：取取GB部
14、分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：kNkN1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF GABCDEF GABCDEF G17A C1713P=8kNADm=16kN.mGB4267G B782315308M图图（kN.m）1797+_Q图图（kN）掌握：表掌握：表6-1 内力图绘制的规律性总结内力图绘制的规律性总结P Pm mq=q=常数常数q=0q=0无外力梁段dFs（x）dx=q(x)=0dM（x）dx=Fs(x),斜直线Q0；Q0q5h)时，剪应力和挤时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不压应力对弯曲正应力的影响甚小，可
15、以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。仍可以应用于横力弯曲的梁中。二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强梁的强度度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺截面尺寸寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷 例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相
16、等，但放置如图相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？CL8TU7解：解：4-4-2 弯曲剪应力和强度校核弯曲剪应力和强度校核一、矩形截面梁的剪应力一、矩形截面梁的剪应力CL8TU16二、二、工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力腹板腹板CL8TU17翼缘翼缘在腹板上：在腹板上：在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。可忽略不计。在翼缘上，还有垂直于在翼缘上，还有垂直于Q方向的剪应力分方向
17、的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。次要的。腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。负担了截面上的大部分弯矩。对于标准工字钢梁：对于标准工字钢梁：三、圆截面梁的剪应力三、圆截面梁的剪应力CL8TU18下面求最大剪应力：下面求最大剪应力：弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件 例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径试求最小直径dmin。CL8TU19解：解：由正应力强度条件：由正应力
18、强度条件：由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：4-5 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以以作为梁设计的主要依据。因此应使作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使尽可能地小，使WZ尽尽可能地大。可能地大。一、梁的合理截面一、梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。模量较大。CL8TU20CL8TU21CL8TU9二、合理安排梁的受力情况二、合理安排梁的受力情况CL8TU22CL8TU23三、采用变截面梁三、采用变截面梁梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力许用应力时，称为时，称为等强度梁等强度梁。