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1、“高等量子力学”补充专题：二次量子化简介 2010.12.22一、多体量子体系的理论处理多体波函数 包含了所有信息，但直接求解薛定谔方程很困难。常需依赖于：1.二次量子化：用二次量子化算符体现全同粒子的统计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描述全同粒子的统计方便。此外，常可作合理的物理近似将二次量子化哈密顿算符简化为二次形式而有严格解。2.量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只关注感兴趣的几个矩阵元。3.格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态能量和寿命等物理信息，可用Feynman-Dyson微扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。二、一次量子化的薛定谔方程 常有
2、这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标，T是动能(单粒子)算符，V是粒子间的相互作用势能。用单粒子定态波函数的完备集合或完备基(依问题而定、不含时间)展开多粒子波函数(理论上是严格的)：Ek：单粒子量子数集合（如nlmms)将展开式代入薛定谔方程，方程两边乘 ，对所有坐标积分，得含时多粒子波函数的耦合微分方程组：（T是单粒子算符，V含两粒子坐标）三、全同粒子 充分+必要条件：玻色子：由于C的对称性，可将量子数重组并统一表示为：由波函数的归一和正交性知定义则：完全对称的波函数用完全对称和正交的完备基展开完全对称的波函数用完全对称和正交的完备基展开应用于动能项有：|i:单粒子量子态(因
3、，ni大部分为0)应用于势能项薛定谔方程变为：etc表示i,j,k,l相等和不等关系的其他13种可能可简化为：形式非常复杂;利用二次量子化可变得很简洁四、二次量子化方法多粒子希尔伯特空间1.抽象不含时态矢(粒子数表象)n正交性n完备性2.不含时产生与湮没算符（玻色子）3.多粒子态矢：薛定谔方程 最后可得简洁的二次量子化中的薛定谔方程：H是抽象占据数Hilbert空间（二次量子化）的哈密顿算符。粒子的统计性和算符性质包含于产生和湮灭算符中。f 给出了一次与二次量子化态矢之间的联系。和是c数。五、费米子 反对称波函数（一次量子化）二次量子化态矢 费米子的产生与湮没算符：薛定谔方程 将E顺序排列产生额外相因子：相应有：最后得二次量子化的薛定谔方程：注意au、at的顺序一次量子化波函数展开系数的反对称性所引起的相位体现于H和直积态矢中六、应用例子：简并电子气 感兴趣的物理效应均体现于Hel二次量子化形式(周期性边界条件 )由于：第一项与上面H的第一项相消 考虑先L后0(L1/)的极限，得：小结作业n1）若N个全同粒子体系的哈密顿算符为：,写出对应的二次量子化形式并指出产生湮灭算符的基本对易或反对易关系。n2）N个自旋为1/2的无相互作用的全同粒子受势 作用，求以平面波为基时的哈密顿算符的二次量子化形式，并指出相应产生与湮没算符满足的基本关系。