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1、第第第第 十七十七十七十七 章章章章 量子力学简介量子力学简介量子力学简介量子力学简介P.2/42第十七章 量子力学简介1.1.玻尔量子理论的缺陷玻尔量子理论的缺陷玻尔量子理论的缺陷玻尔量子理论的缺陷17.1.1 17.1.1 微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性17.1 微观粒子的波粒二象性和微观粒子的波粒二象性和不确定关系不确定关系第17章 量子力学简介量子力学简介 玻尔量子理论成功地解释了原子玻尔量子理论成功地解释了原子的的稳定性稳定性、大小大小及氢原子及氢原子光谱的规光谱的规律性律性.为人们认识微观世界和建立近为人们认识微观世界和建立近代量子
2、理论打下了基础代量子理论打下了基础.玻尔理论是经典与量子的混合物，玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子方面又假定量子化条件来限制电子的运动的运动.它不能解释稍微复杂的问它不能解释稍微复杂的问题，题，正是这些困难，迎来了物理学正是这些困难，迎来了物理学的大革命的大革命.Louis de Broglie1892-1987 The Nobel Prize in Physics 1929P.3/42第十七章 量子力学简介 注意：实物粒子的波动既注意：实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波，不是机械波也不是电磁波，它被称
3、为它被称为“物质波物质波”(matter wave)或或“德布罗意波德布罗意波”(de Broglie wave).2.微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性 德布罗意假设：不仅光具德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒有波粒二象性，一切实物粒子如电子、原子、分子等也子如电子、原子、分子等也都具有都具有波粒二象性波粒二象性.德布罗意波波长的数量级德布罗意波波长的数量级地球地球:子弹子弹:宏观物质的德波罗意波长宏观物质的德波罗意波长均均太小，难以观察其波动特性太小，难以观察其波动特性.P.4/42第十七章 量子力学简介电子电子:质量质量 m0=9.1 10-31 kg，加速电压为加速电
4、压为 U U=150 V =1 U=10000 V =0.122 (a)1927年年Davisson和和Germer以电子射线代替以电子射线代替x射线射线进行了镍单晶体的衍射实验进行了镍单晶体的衍射实验.3.3.物质波的实验证明物质波的实验证明物质波的实验证明物质波的实验证明Clinton Joseph Davisson1881-1958 The Nobel Prize in Physics 1937Lester Halbert Germer18961971 电子在晶体中衍射实验示意图电子在晶体中衍射实验示意图P.5/42第十七章 量子力学简介电子束电子束金箔金箔屏屏电子枪电子枪(b)Thom
5、son的电子衍射实验的电子衍射实验The Nobel Prize in Physics 1937George Paget Thomson1892-1975P.6/42第十七章 量子力学简介(c)电子双缝干涉实验图样电子双缝干涉实验图样 P.7/42第十七章 量子力学简介 由于微观粒子具有波粒二象由于微观粒子具有波粒二象性，用经典概念性，用经典概念(坐标、动量、坐标、动量、能量、轨道等能量、轨道等)描述其状态会受描述其状态会受到限制到限制.17.1.2 不确定关系不确定关系(uncertainty relation)电子一个一个电子一个一个地通过单缝地通过单缝长时间积累后也长时间积累后也出现衍射
6、图样出现衍射图样 其中其中x为缝宽为缝宽,p为粒为粒子的动量子的动量.pxxP.8/42第十七章 量子力学简介 以衍射极小值的位置进以衍射极小值的位置进行估算：行估算：或或pxx由单缝衍射公式由单缝衍射公式:粒子动量在粒子动量在x方向的分量方向的分量px不再为零，而存在一个不再为零，而存在一个分布分布.严格推导可以证明：在平均意严格推导可以证明：在平均意义上义上海森伯海森伯不确定关系不确定关系P.9/42第十七章 量子力学简介继续分析可得继续分析可得 结论：结论：对于微观粒子，对于微观粒子，不不能同时能同时用确定的位置和动量用确定的位置和动量来描述来描述.The Nobel Prize in
7、Physics 1932W.Heisenberg(1901-1976)1)不确定关系是微观粒子波不确定关系是微观粒子波粒二象性的必然结果粒二象性的必然结果.2)不确定性不是实验误差，不确定性不是实验误差，而是量子系统的内禀性质。而是量子系统的内禀性质。它通过与实验装置的相互作它通过与实验装置的相互作用而表现出来用而表现出来.3)不能同时准确确定位置和不能同时准确确定位置和动量动量.4)作用量子作用量子 h 给出了宏观与给出了宏观与微观的界限微观的界限.P.10/42第十七章 量子力学简介 例例.试比较电子和质量为试比较电子和质量为10 g的子弹位置的不确定量，假设它的子弹位置的不确定量，假设它
8、们在们在x方向都以速度方向都以速度200 m/s运动，运动，速度的不确定度在速度的不确定度在0.01%内内.电子电子:解：解：子弹子弹:P.11/42第十七章 量子力学简介17.2.1 17.2.1 概率波概率波概率波概率波 1.波包说：波包说：认为粒子实为波包认为粒子实为波包.17.2 波函数的统计解释波函数的统计解释3.概率波概率波(probability wave)1926年年Born提出粒子在空提出粒子在空间位置出现的概率具有波动间位置出现的概率具有波动性的分布概率波性的分布概率波.电子束电子束金箔金箔屏屏电子枪电子枪问题问题:不同波长的波在媒质中的不同波长的波在媒质中的群速度不同，波
9、包在传播中群速度不同，波包在传播中会扩散，使粒子会扩散，使粒子“发胖发胖”；波包在媒质界面上要反射波包在媒质界面上要反射和折射和折射.波包说夸大了波动性一面，波包说夸大了波动性一面，抹杀了粒子性一面抹杀了粒子性一面.2.疏密波说：疏密波说：认为波动是大认为波动是大量粒子分布在空间的一种疏量粒子分布在空间的一种疏密分布密分布.疏疏密密波波说说夸夸大大了了粒粒子子性性一一面，抹杀了波动性一面面，抹杀了波动性一面.P.12/42第十七章 量子力学简介电子衍射电子衍射类类 比比 I 大处大处 到达光子数多到达光子数多 I 小处小处 到达光子数少到达光子数少I=0 无光子到达无光子到达电子到达该处概率大
10、电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率为零电子到达该处概率小电子到达该处概率小光栅衍射光栅衍射4.波函数波函数(wave function)P.13/42第十七章 量子力学简介 时刻时刻t粒子出现在粒子出现在 附近附近dV体积内的概率为：体积内的概率为：波函数必须满足的条件波函数必须满足的条件:粒子在整个空间出现的概率粒子在整个空间出现的概率为为1.归一化条件归一化条件(normalizing condition)标准条件标准条件单值性、连续性、有限性单值性、连续性、有限性结论：结论：波函数在某一点的强度和该波函数在某一点的强度和该点找到电子的概率成正比，它点找到电子的概率成正
11、比，它是大量粒子形成总分布的一种是大量粒子形成总分布的一种统计规律统计规律.波函数乃是波函数乃是概率波概率波.玻恩对波函数的统计解释：玻恩对波函数的统计解释：波函数模的平方波函数模的平方 代表时代表时刻刻t，在在 处处粒子出现的粒子出现的概概率率密度密度(probability density)。P.14/42第十七章 量子力学简介单色平面简谐波波动方程为：单色平面简谐波波动方程为：用复指数形式表示：用复指数形式表示：一维方向运动的自由粒子的一维方向运动的自由粒子的波函数：波函数：（x）只与坐标有关而与时）只与坐标有关而与时间无关，称为振幅函数，通间无关，称为振幅函数，通常也称为波函数常也称为
12、波函数 波函数不仅把粒子与波统一波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以概率波起来，同时以概率波(概率密度概率密度波波)的形式描述粒子的运动状态的形式描述粒子的运动状态.17.2.2 态叠加原理态叠加原理(principle of superposition of states)：为了理解态叠加原理的深刻为了理解态叠加原理的深刻含义，用电子的双缝干涉实验含义，用电子的双缝干涉实验的结果来进行分析的结果来进行分析:任一点出现的概率密度任一点出现的概率密度:干涉项干涉项P.15/42第十七章 量子力学简介 Erwin Schrdinger，奥地利奥地利理论物理学家理论物理学家.在德布罗意物质在德布罗意
13、物质波思想的基础上，引入波函数波思想的基础上，引入波函数来描述微观客体，提出了薛定来描述微观客体，提出了薛定谔方程谔方程(Schrdinger equation)作为作为量子力学的又一个基本假设来量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律，并描述微观粒子的运动规律，并建立了微扰的量子理论建立了微扰的量子理论量量子力学的近似方法子力学的近似方法.他是量子力他是量子力学的创始人之一学的创始人之一.17.3 薛定谔方程薛定谔方程The Nobel Prize in Physics 1933Erwin Schrdinger 18871961 一、薛定谔方程的引入一、薛定谔方程的引入一、薛定谔方程
14、的引入一、薛定谔方程的引入1.一维自由粒子的波函数：一维自由粒子的波函数：P.16/42第十七章 量子力学简介一维一维自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程2.一维粒子在外保守力场中运动一维粒子在外保守力场中运动时具有势能时具有势能V3.非自由粒子在三维空间中运动非自由粒子在三维空间中运动引入引入引入引入拉普拉斯算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符P.17/42第十七章 量子力学简介定义哈密顿算符定义哈密顿算符薛定谔方程薛定谔方程4.多粒子体系的薛定谔方程多粒子体系的薛定谔方程二、定态二、定态二、定态二、定态 不含时间的薛定谔方程不含时间的薛定谔方程不含时间的薛定谔方程不含时间的薛定谔方
15、程 在薛定谔方程中，在薛定谔方程中，V通常也是通常也是时间的函数时间的函数.现考虑现考虑V不显含时间不显含时间的情况：的情况：可令粒子的波函数为：可令粒子的波函数为：分离变量可得分离变量可得P.18/42第十七章 量子力学简介 要使该式恒成立，左右两要使该式恒成立，左右两边必须同等一个常数边必须同等一个常数E.薛定谔方程的解为薛定谔方程的解为 定态薛定谔方程定态薛定谔方程(stationary Schrdinger equation)定态波函数定态波函数(stationary wave function)k 为积分常数为积分常数P.19/42第十七章 量子力学简介 定态波函数描述的粒子具定态波
16、函数描述的粒子具有的性质：有的性质：1)空间各处的几率密度不随空间各处的几率密度不随时间变化时间变化.2)一切力学量一切力学量(不含时间不含时间t)的平均值不变的平均值不变.定态定态(stationary state)：能量不随时间变化的状态能量不随时间变化的状态.2)方程的每一个解必有一个相方程的每一个解必有一个相应的能量应的能量E;E 值称为体系的值称为体系的能能量本征值量本征值（energy eigenvalue）;相应于每个相应于每个E 值的解值的解 也被称也被称为为能量本征函数能量本征函数（energy eigenfunction）;定态定态Schrdinger方程的讨论：方程的讨论
17、：1)Schrdinger方程是描述微观方程是描述微观粒子运动的基本方程，若粒子运动的基本方程，若 是方程的一个解，则是方程的一个解，则 就对就对应一个粒子运动的稳定态；应一个粒子运动的稳定态；3)波函数的单值、有限、连续的波函数的单值、有限、连续的要求，能量要求，能量E只能取某些分立值只能取某些分立值能级或能带能级或能带;4)Schrdinger方程的方程的局限性局限性：未反映电子自旋；未反映电子自旋；未满足相对论要求未满足相对论要求(相对论量子相对论量子力学力学)；未考虑粒子的产生和湮灭未考虑粒子的产生和湮灭(量子量子场论场论).P.20/42第十七章 量子力学简介17.4.117.4.1
18、一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱(Infinite potential well)(Infinite potential well)问题问题问题问题1.势函数势函数2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程17.4 一维定态问题一维定态问题(1)阱内：阱内：令令:(2)阱外：阱外：(3)分区求通解分区求通解 阱内：阱内：阱外：波函数的有界性阱外：波函数的有界性C和和D是待定常数是待定常数oaxV(x)P.21/42第十七章 量子力学简介(4)由波函数自然条件和边由波函数自然条件和边界条件界条件 定特解定特解10可得能量的可能值为：可得能量的可能值为：En称为能量的本征值称
19、为能量的本征值显然：显然：*能量取分立值能量取分立值(能级能级)能量量子化能量量子化(quantization)；*最最低能量：基态能量低能量：基态能量*当当n 时，量子化时，量子化 连续；连续；令令n=10*相邻两能级间隔相邻两能级间隔 n增大，相邻两能级间隔增大；增大，相邻两能级间隔增大；a增大增大(宏观尺度宏观尺度)则则 ，能量连续变化能量连续变化经典情况；反之，经典情况；反之，出现量子尺寸效应。出现量子尺寸效应。P.22/42第十七章 量子力学简介20与各能级相对应的波函数与各能级相对应的波函数本征函数本征函数(eigenfunction)系系由归一化条件：由归一化条件：一维无限深势阱的能量本征函数一维无限深势阱的能量本征函数n 0，否则，否则 0；主量子数主量子数 n，代表同一状态，代表同一状态，取正值；取正值；一个一个n对应一个波函数对应一个波函数 n，即，即对于粒子的一个可能态对于粒子的一个可能态一个一个“轨道轨道”.P.23/42第十七章 量子力学简介30 概率密度概率密度当当n 时，量子时，量子 经典经典在坐标在坐标x处找到粒子的概率密度处找到粒子的概率密度在在x1x2区间内找到粒子的概率区间内找到粒子的概率