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1、第三章第三章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础3.1 3.1 3.1 3.1 应力分析应力分析应力分析应力分析3.2 3.2 3.2 3.2 应变分析应变分析应变分析应变分析3.3 3.3 3.3 3.3 平面问题和轴对称问题平面问题和轴对称问题平面问题和轴对称问题平面问题和轴对称问题3.4 3.4 3.4 3.4 屈服准则屈服准则屈服准则屈服准则3.5 3.5 3.5 3.5 塑性变形时应力应变关系塑性变形时应力应变关系塑性变形时应力应变关系塑性变形时应力应变关系3.6 3.6 3.6 3.6 真实应力真实应力真实应力真实应力-应变曲线应变曲线应变曲线应变曲线塑性理论的研究内容塑
2、性理论的研究内容 塑性力学是塑性力学是塑性力学是塑性力学是研究物体变形规律研究物体变形规律研究物体变形规律研究物体变形规律的一门学科，是固体力的一门学科，是固体力的一门学科，是固体力的一门学科，是固体力学的一个分支。它研究变形体学的一个分支。它研究变形体学的一个分支。它研究变形体学的一个分支。它研究变形体受外界作用受外界作用受外界作用受外界作用（外载荷、边（外载荷、边（外载荷、边（外载荷、边界强制位移、温度场等）时，界强制位移、温度场等）时，界强制位移、温度场等）时，界强制位移、温度场等）时，物体形状及相关物理量物体形状及相关物理量物体形状及相关物理量物体形状及相关物理量在在在在变形体内发生变
3、化的规律（应力场、应变场、应变速度变形体内发生变化的规律（应力场、应变场、应变速度变形体内发生变化的规律（应力场、应变场、应变速度变形体内发生变化的规律（应力场、应变场、应变速度场等）。场等）。场等）。场等）。塑性力学的基本假设塑性力学的基本假设 变形体连续变形体连续变形体连续变形体连续 变形体均质和各向同性变形体均质和各向同性变形体均质和各向同性变形体均质和各向同性 变形体静力平衡变形体静力平衡变形体静力平衡变形体静力平衡 体积力和体积变形不计体积力和体积变形不计体积力和体积变形不计体积力和体积变形不计塑性理论涉及到的理论知识塑性理论涉及到的理论知识与其它工程力学（理论力学、材料力学、断裂力
4、学）的与其它工程力学（理论力学、材料力学、断裂力学）的与其它工程力学（理论力学、材料力学、断裂力学）的与其它工程力学（理论力学、材料力学、断裂力学）的区别：区别：区别：区别：研究方法、对象、结果的差异研究方法、对象、结果的差异研究方法、对象、结果的差异研究方法、对象、结果的差异。弹塑性力学弹塑性力学弹塑性力学弹塑性力学的研的研的研的研究对象是究对象是究对象是究对象是整个整个整个整个（而不是分离体）变形体内部的应力、应（而不是分离体）变形体内部的应力、应（而不是分离体）变形体内部的应力、应（而不是分离体）变形体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。变分布规律（而不是危险端面）。变分布规律（
5、而不是危险端面）。变分布规律（而不是危险端面）。静力学静力学静力学静力学 变形体静力平衡，平衡方程变形体静力平衡，平衡方程变形体静力平衡，平衡方程变形体静力平衡，平衡方程几何学几何学几何学几何学 变形体连续，几何方程、连续方程变形体连续，几何方程、连续方程变形体连续，几何方程、连续方程变形体连续，几何方程、连续方程物理学物理学物理学物理学 应力应变关系，本构方程、屈服准则应力应变关系，本构方程、屈服准则应力应变关系，本构方程、屈服准则应力应变关系，本构方程、屈服准则 物体受力变形的力学分析物体受力变形的力学分析 已知：已知：已知：已知：外力、外力、外力、外力、位移边界条件位移边界条件位移边界条
6、件位移边界条件 求解：求解：求解：求解：应力应力应力应力 、位移、位移、位移、位移、应变应变应变应变外部载荷外部载荷外部载荷外部载荷位移约束位移约束位移约束位移约束应力应力应力应力应变应变应变应变位移位移位移位移几何方程几何方程塑性应力应变关系塑性应力应变关系塑性应力应变关系塑性应力应变关系弹性应力应变关系弹性应力应变关系弹性应力应变关系弹性应力应变关系应力应变曲线应力应变曲线应力应变曲线应力应变曲线应力平衡微分方应力平衡微分方应力平衡微分方应力平衡微分方程程程程屈服准则屈服准则屈服准则屈服准则协调方程协调方程协调方程协调方程弹性、塑性变形的力学特征弹性、塑性变形的力学特征可逆性：弹性变形可逆
7、性：弹性变形可逆性：弹性变形可逆性：弹性变形可逆可逆可逆可逆；塑性变形；塑性变形；塑性变形；塑性变形不可逆不可逆不可逆不可逆 -关系：弹性变形关系：弹性变形关系：弹性变形关系：弹性变形线性线性线性线性；塑性变形；塑性变形；塑性变形；塑性变形非线性非线性非线性非线性与加载路径的关系：弹性与加载路径的关系：弹性与加载路径的关系：弹性与加载路径的关系：弹性无关无关无关无关；塑性；塑性；塑性；塑性有关有关有关有关对组织和性能的影响：弹性变形对组织和性能的影响：弹性变形对组织和性能的影响：弹性变形对组织和性能的影响：弹性变形无影响无影响无影响无影响；塑性变形；塑性变形；塑性变形；塑性变形影响大影响大影响
8、大影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等）成织构等）成织构等）成织构等）变形机理：弹性变形变形机理：弹性变形变形机理：弹性变形变形机理：弹性变形原子间距的变化原子间距的变化原子间距的变化原子间距的变化；塑性变形塑性变形塑性变形塑性变形位错运动为主位错运动为主位错运动为主位错运动为主弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形塑性变形塑性变形塑性变形；塑性变形的发
9、生必先经历塑性变形的发生必先经历塑性变形的发生必先经历塑性变形的发生必先经历弹性变形弹性变形弹性变形弹性变形；在材料加工过程；在材料加工过程；在材料加工过程；在材料加工过程中，工件的中，工件的中，工件的中，工件的塑性变形塑性变形塑性变形塑性变形与工模具的与工模具的与工模具的与工模具的弹性变形弹性变形弹性变形弹性变形共存。共存。共存。共存。3.13.1应力分析应力分析一、应力和外力一、应力和外力一、应力和外力一、应力和外力 a.a.a.a.外力外力外力外力面力（作用于面力（作用于面力（作用于面力（作用于表面表面表面表面）。可以是集）。可以是集）。可以是集）。可以是集 中力，通常中力，通常中力，通
10、常中力，通常是是是是分布力分布力分布力分布力；体积力（作用于体积力（作用于体积力（作用于体积力（作用于质点质点质点质点）b.b.b.b.内力内力内力内力在外力作用下，物理内各质点之间产生的相互作在外力作用下，物理内各质点之间产生的相互作用的力用的力(N)(N)。方向、大小。方向、大小。应力应力应力应力单位面积上的内力单位面积上的内力(N/mm(N/mm2 2)。方向、大小方向、大小1.1.1.1.单向受力的应力及其分量单向受力的应力及其分量单向受力的应力及其分量单向受力的应力及其分量（截面法）（截面法）（截面法）（截面法）N N N NdPdPdPdPdAdAdAdAA A A AS S S
11、SC C C CC C C CP1P1P1P1P2P2P2P2P3P3P3P3P4P4P4P4P5P5P5P5设设设设C-CC-CC-CC-C截面上某一质点，截面上某一质点，截面上某一质点，截面上某一质点，周围切取一小面积周围切取一小面积周围切取一小面积周围切取一小面积dAdAdAdA，则在该面积上内力的合则在该面积上内力的合则在该面积上内力的合则在该面积上内力的合力为力为力为力为dPdPdPdP全应力全应力全应力全应力S S S SS S S SdP/dAdP/dAdP/dAdP/dA全应力全应力全应力全应力S S S S分解，法向上分解，法向上分解，法向上分解，法向上的的的的正应力正应力正
12、应力正应力和垂直法向和垂直法向和垂直法向和垂直法向的的的的切向量切向量切向量切向量令令令令C-CC-CC-CC-C截面平行于截面平行于截面平行于截面平行于xzxz平面，平面，平面，平面，N N法向与法向与法向与法向与y y轴平行，则该轴平行，则该轴平行，则该轴平行，则该质点的微分面称为质点的微分面称为质点的微分面称为质点的微分面称为y y y y面面面面，是全应力是全应力是全应力是全应力S S S S的的的的应应应应力分量力分量力分量力分量。y y y yyxyxyxyxyzyzyzyzN NS SC CC Cy y y yyzyzyzyzyxyxyxyxx xz zy yy y y yyzy
13、zyzyzyxyxyxyx分量中用分量中用分量中用分量中用2 2 2 2个角标表示，个角标表示，个角标表示，个角标表示，第一个第一个第一个第一个表示表示表示表示分量所分量所分量所分量所在的微分面在的微分面在的微分面在的微分面，第二个第二个第二个第二个表示表示表示表示其作用方向其作用方向其作用方向其作用方向。单向拉伸的应力单向拉伸的应力单向拉伸的应力单向拉伸的应力 设一圆柱体内一质点设一圆柱体内一质点设一圆柱体内一质点设一圆柱体内一质点Q Q Q Q，受两向拉伸力，受两向拉伸力，受两向拉伸力，受两向拉伸力P P P P，过，过，过，过Q Q Q Q点作任一切点作任一切点作任一切点作任一切面面面面
14、C1-C1C1-C1C1-C1C1-C1，其法线，其法线，其法线，其法线N N N N与拉伸方向成与拉伸方向成与拉伸方向成与拉伸方向成角，面积为角，面积为角，面积为角，面积为A A A A。由于均匀拉。由于均匀拉。由于均匀拉。由于均匀拉伸，则过伸，则过伸，则过伸，则过C1-C1C1-C1C1-C1C1-C1截面的应力为均布应力截面的应力为均布应力截面的应力为均布应力截面的应力为均布应力P P P PP P P Pc1c1c1c1c1c1c1c1 结论结论结论结论：根据式子可知，在：根据式子可知，在：根据式子可知，在：根据式子可知，在单向均匀受力单向均匀受力单向均匀受力单向均匀受力条件下，可用条
15、件下，可用条件下，可用条件下，可用来表示点的应力状态来表示点的应力状态来表示点的应力状态来表示点的应力状态P P P PP P P Pc1c1c1c1c1c1c1c1c c c cc c c cc1c1c1c1c1c1c1c1P P P PQ Q Q Qc c c cc c c cP P P PQ Q Q Q0 0 0 02.2.2.2.多向受力下的应力分量多向受力下的应力分量多向受力下的应力分量多向受力下的应力分量以某质点以某质点以某质点以某质点Q Q Q Q为中心，做三向为中心，做三向为中心，做三向为中心，做三向互相正交的微分面，组成单互相正交的微分面，组成单互相正交的微分面，组成单互相正
16、交的微分面，组成单元体，棱边分别平行与三根元体，棱边分别平行与三根元体，棱边分别平行与三根元体，棱边分别平行与三根坐标轴。坐标轴。坐标轴。坐标轴。根据应力分析，可知根据应力分析，可知根据应力分析，可知根据应力分析，可知3 3 3 3个微分面上共有个微分面上共有个微分面上共有个微分面上共有9 9 9 9个应力分个应力分个应力分个应力分量，其中量，其中量，其中量，其中正应力正应力正应力正应力3 3 3 3个个个个，切应力切应力切应力切应力6 6 6 6个个个个，如图，如图，如图，如图y y y yz z z zx x x x yzyzyzyz yxyxyxyx y y y y x x x x zx
17、zxzxzx zyzyzyzy xyxyxyxy xzxzxzxz z z z z应力（应力（应力（应力（stressstressstressstress）应力应力应力应力S S S S 是内力的是内力的是内力的是内力的集度集度集度集度 内力为内力为内力为内力为矢量矢量矢量矢量，应力为，应力为，应力为，应力为张量张量张量张量，都有方向和分量，都有方向和分量，都有方向和分量，都有方向和分量 应力的单位：应力的单位：应力的单位：应力的单位：1 1 1 1PaPaPaPa=1N/m=1N/m=1N/m=1N/m2 2 2 2=0.10197kgf/mm=0.10197kgf/mm=0.10197kg
18、f/mm=0.10197kgf/mm2 2 2 2 1 1 1 1MPaMPaMPaMPa=10=10=10=106 6 6 6 N/m N/m N/m N/m2 2 2 2应力是应力是应力是应力是质点坐标的函数质点坐标的函数质点坐标的函数质点坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。，即受力体内不同点的应力不同。，即受力体内不同点的应力不同。，即受力体内不同点的应力不同。应力是质点在坐标系中应力是质点在坐标系中应力是质点在坐标系中应力是质点在坐标系中方向余弦的函数方向余弦的函数方向余弦的函数方向余弦的函数，即同一点不同，即同一点不同，即同一点不同，即同一点不同方位截面上的应力是不同的。方位截面
19、上的应力是不同的。方位截面上的应力是不同的。方位截面上的应力是不同的。这这这这9 9 9 9个应力分量可用矩阵表示如下：个应力分量可用矩阵表示如下：个应力分量可用矩阵表示如下：个应力分量可用矩阵表示如下：应力作用面应力作用面应力作用面应力作用面x x x xy y y yz z z z应力作应力作应力作应力作用方向用方向用方向用方向x x x xy y y yz z z z提示：提示：提示：提示：正应力正应力正应力正应力是以是以是以是以拉拉拉拉为为为为正正正正，压压压压为为为为负负负负；切应力切应力切应力切应力在单元体是均是在单元体是均是在单元体是均是在单元体是均是正正正正二、点的应力状态二、
20、点的应力状态二、点的应力状态二、点的应力状态点的应力状态指：受力物体内一点任意方位点的应力状态指：受力物体内一点任意方位点的应力状态指：受力物体内一点任意方位点的应力状态指：受力物体内一点任意方位微分面微分面微分面微分面上上上上所受的内力情况。所受的内力情况。所受的内力情况。所受的内力情况。设斜微分面设斜微分面设斜微分面设斜微分面ABCABCABCABC的外法线方向的外法线方向的外法线方向的外法线方向为为为为N N N N，其方向余弦分别为，其方向余弦分别为，其方向余弦分别为，其方向余弦分别为l l l l、m m m m、n n n n，即，即，即，即N N N N设设设设ABCABCABC
21、ABC面积为面积为面积为面积为dAdAdAdA，则，则，则，则QABQABQABQABdAz=ldAdAz=ldAdAz=ldAdAz=ldAQAC=dAy=mdAQAC=dAy=mdAQAC=dAy=mdAQAC=dAy=mdAQBC=dAx=ndAQBC=dAx=ndAQBC=dAx=ndAQBC=dAx=ndAy y y yz z z zx x x x xyxyxyxy xzxzxzxz x x x x z z z z yxyxyxyx yzyzyzyz zxzxzxzx zyzyzyzy y y y yA A A AB B B BC C C CQQy y y yz z z zx x x
22、 x xyxyxyxy xzxzxzxz x x x x z z z z yxyxyxyx yzyzyzyz zxzxzxzx zyzyzyzy y y y yA A A AB B B BC C C CN N N N现设斜微分面现设斜微分面现设斜微分面现设斜微分面ABCABCABCABC上的全应力上的全应力上的全应力上的全应力S S S S，在三个坐标轴上的分量：，在三个坐标轴上的分量：，在三个坐标轴上的分量：，在三个坐标轴上的分量：SxSxSxSx、SySySySy、SzSzSzSz,根据静力平衡条件，根据静力平衡条件，根据静力平衡条件，根据静力平衡条件，SxSxSxSxSySySySySz
23、SzSzSzS S S S推导：推导：推导：推导：因此可求得全应力因此可求得全应力因此可求得全应力因此可求得全应力S S S S的的的的正应力正应力正应力正应力和斜微分平面的和斜微分平面的和斜微分平面的和斜微分平面的切应力切应力切应力切应力点应力状态表达式点应力状态表达式点应力状态表达式点应力状态表达式应力边界条件应力边界条件当在物体边界上，表面力的分量为当在物体边界上，表面力的分量为F Fx x、F Fy y、F Fz z，法线方，法线方向余弦为向余弦为l l、m m、n n，则应力边界条件为，则应力边界条件为练习：受力物体内一点的应力张量练习：受力物体内一点的应力张量 ，试求法线方向，试求
24、法线方向余弦未余弦未l lm m1/21/2，n=1/2n=1/2的斜切平面上的全应力、的斜切平面上的全应力、正应力和切应力正应力和切应力y y y yz z z zx x x x xyxyxyxy xzxzxzxz x x x x z z z z yxyxyxyx yzyzyzyz zxzxzxzx zyzyzyzy y y y yA A A AB B B BC C C CijijijijS S S SSySySySySzSzSzSzSzSzSzSz 解：解：根据题意，应力分析如图，根据题意，应力分析如图，y y y yz z z zx x x x xyxyxyxy xzxzxzxz x x
25、 x x z z z z yxyxyxyx yzyzyzyz zxzxzxzx zyzyzyzy y y y yA A A AB B B BC C C CS S S SSySySySySzSzSzSzSzSzSzSz 因全应力因全应力根据静力平衡，有如下关系根据静力平衡，有如下关系将数值代入求得将数值代入求得所以全应力所以全应力根据点的应力状态方程根据点的应力状态方程三、张量和应力张量三、张量和应力张量三、张量和应力张量三、张量和应力张量（一）张量的基本知识（一）张量的基本知识（一）张量的基本知识（一）张量的基本知识1.1.1.1.角标符号角标符号角标符号角标符号2.2.2.2.求和约定求和约
26、定求和约定求和约定在算式的某一项中，如果有在算式的某一项中，如果有在算式的某一项中，如果有在算式的某一项中，如果有某个角标某个角标某个角标某个角标重复出现重复出现重复出现重复出现，就表，就表，就表，就表示要对该角标自示要对该角标自示要对该角标自示要对该角标自1 1 1 1m m m m的所有元素的所有元素的所有元素的所有元素求和求和求和求和。例如，。例如，。例如，。例如，课堂练习：课堂练习：课堂练习：课堂练习：解：解：解：解：设设设设 i i i ix x x x，y y y y，z z z z，所以，所以，所以，所以l=cos(N,i)l=cos(N,i)l=cos(N,i)l=cos(N,
27、i)i i i i得得得得因因因因 l=cos(N,x)=l l=cos(N,x)=l l=cos(N,x)=l l=cos(N,x)=l m=cos(N,y)=l m=cos(N,y)=l m=cos(N,y)=l m=cos(N,y)=l n=cos(N,z)=l n=cos(N,z)=l n=cos(N,z)=l n=cos(N,z)=lx x x xy y y yz z z z3.3.3.3.张量的基本概念张量的基本概念张量的基本概念张量的基本概念张量是矢量的推广，与矢量类似。由若干个张量是矢量的推广，与矢量类似。由若干个张量是矢量的推广，与矢量类似。由若干个张量是矢量的推广，与矢量类
28、似。由若干个当坐标系当坐标系当坐标系当坐标系改变时满足转换关系的分量改变时满足转换关系的分量改变时满足转换关系的分量改变时满足转换关系的分量所组成的所组成的所组成的所组成的集合集合集合集合X X X Xi i i i（i i i ix x x x，y y y y，z z z z）坐标系，旋转）坐标系，旋转）坐标系，旋转）坐标系，旋转任一角度任一角度任一角度任一角度得新坐标系得新坐标系得新坐标系得新坐标系X X X Xk k k k（k k k kx x x x,y,y,y,y,z,z,z,z)。因两坐标系之间夹。因两坐标系之间夹。因两坐标系之间夹。因两坐标系之间夹角余弦两两相通，所以角余弦两两
29、相通，所以角余弦两两相通，所以角余弦两两相通，所以XiXiXiXi坐标坐标坐标坐标系与系与系与系与XkXkXkXk坐标系中的坐标系中的坐标系中的坐标系中的9 9 9 9个分量个分量个分量个分量P P P Pkrkrkrkr有有有有如下变换关系如下变换关系如下变换关系如下变换关系x x x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z z该物理量该物理量该物理量该物理量P P P P就是就是就是就是张量张量张量张量，其矩阵表示：，其矩阵表示：，其矩阵表示：，其矩阵表示：张量的阶数由下角标的张量的阶数由下角标的张量的阶数由下角标的张量的阶数由下角标的数量数量数量数量表示，矢
30、量是表示，矢量是表示，矢量是表示，矢量是一阶一阶一阶一阶，标量，标量，标量，标量是是是是零阶零阶零阶零阶4.4.4.4.张量的基本性质张量的基本性质张量的基本性质张量的基本性质a.a.a.a.存在张量不变量存在张量不变量存在张量不变量存在张量不变量张量的分量一定可以组成某些函数张量的分量一定可以组成某些函数张量的分量一定可以组成某些函数张量的分量一定可以组成某些函数f f f f（P P P Pijijijij），这些函数，这些函数，这些函数，这些函数值与坐标轴的选取无关，这样的函数称为值与坐标轴的选取无关，这样的函数称为值与坐标轴的选取无关，这样的函数称为值与坐标轴的选取无关，这样的函数称为
31、张量不变量张量不变量张量不变量张量不变量。b.b.b.b.张量可以张量可以张量可以张量可以叠加叠加叠加叠加和和和和分解分解分解分解同阶张量同阶张量同阶张量同阶张量各对应的各对应的各对应的各对应的分量分量分量分量之之之之和和和和或或或或差差差差定义为定义为定义为定义为另一同阶张量另一同阶张量另一同阶张量另一同阶张量，两个两个两个两个相同相同相同相同的张量之差定义为的张量之差定义为的张量之差定义为的张量之差定义为零张量零张量零张量零张量c.c.c.c.张量可分张量可分张量可分张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量对称张量、非对称张量、反对称张量对称张量、非对称张量、反对称张量对称张量、非对称张量
32、、反对称张量d.d.d.d.二阶对称张量二阶对称张量二阶对称张量二阶对称张量存在存在存在存在三个主轴三个主轴三个主轴三个主轴和和和和三个主值三个主值三个主值三个主值（二）应力张量（二）应力张量（二）应力张量（二）应力张量定义定义定义定义：在一定的外力条件下，受力物体内任意点的：在一定的外力条件下，受力物体内任意点的：在一定的外力条件下，受力物体内任意点的：在一定的外力条件下，受力物体内任意点的应应应应力状态力状态力状态力状态已被确定已被确定已被确定已被确定，如果取，如果取，如果取，如果取不同的坐标系不同的坐标系不同的坐标系不同的坐标系，则表示该点，则表示该点，则表示该点，则表示该点应力状态应力
33、状态应力状态应力状态的的的的9 9 9 9个应力分量将有个应力分量将有个应力分量将有个应力分量将有不同的数值不同的数值不同的数值不同的数值，而该点的，而该点的，而该点的，而该点的应力状态应力状态应力状态应力状态并没有变化并没有变化并没有变化并没有变化。设受力物体在设受力物体在设受力物体在设受力物体在X X X Xi i i i（i i i ix x x x，y y y y，z z z z）坐标系中的）坐标系中的）坐标系中的）坐标系中的9 9 9 9个应力个应力个应力个应力分量为分量为分量为分量为ijijijij（i i i i，j j j jx x x x，y y y y，z z z z），当
34、坐标系变换到另一），当坐标系变换到另一），当坐标系变换到另一），当坐标系变换到另一个坐标系个坐标系个坐标系个坐标系X X X Xk k k k（k k k kx x x x,y,y,y,y,z,z,z,z)，其应力分量，其应力分量，其应力分量，其应力分量krkrkrkr（k k k k，r r r rx x x x,y,y,y,y,z,z,z,z），则应力张量式为：），则应力张量式为：），则应力张量式为：），则应力张量式为：根据张量的定义，其应力张量根据张量的定义，其应力张量根据张量的定义，其应力张量根据张量的定义，其应力张量ijijijij，矩阵表示式，矩阵表示式，矩阵表示式，矩阵表示式其中
35、其中其中其中3 3 3 3个个个个主轴主轴主轴主轴（3 3 3 3个方向），个方向），个方向），个方向），3 3 3 3个个个个主值主值主值主值（主应力（主应力（主应力（主应力x x x x，y y y y，z z z z），），），），3 3 3 3个独立的个独立的个独立的个独立的应力张量不变量应力张量不变量应力张量不变量应力张量不变量对于轴对称体，可以采用圆柱坐标系，坐标轴取为对于轴对称体，可以采用圆柱坐标系，坐标轴取为对于轴对称体，可以采用圆柱坐标系，坐标轴取为对于轴对称体，可以采用圆柱坐标系，坐标轴取为 ,z z z z。圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系四四四四.主应力、应力张
36、量不变量和应力椭球面主应力、应力张量不变量和应力椭球面主应力、应力张量不变量和应力椭球面主应力、应力张量不变量和应力椭球面1.1.1.1.主应力主应力主应力主应力 特殊条件，特殊条件，特殊条件，特殊条件，全应力全应力全应力全应力S S S S和和和和正正正正应力应力应力应力重合重合重合重合，0 0 0 0，则该，则该，则该，则该平面称为平面称为平面称为平面称为主平面主平面主平面主平面。主平面。主平面。主平面。主平面上的正应力为上的正应力为上的正应力为上的正应力为主应力主应力主应力主应力，法，法，法，法线方向为线方向为线方向为线方向为应力主轴应力主轴应力主轴应力主轴y y y yz z z zx
37、 x x x xyxyxyxy xzxzxzxz x x x x z z z z yxyxyxyx yzyzyzyz zxzxzxzx zyzyzyzy y y y yA A A AB B B BC C C CS=S=S=S=SySySySySzSzSzSzSzSzSzSzy y y yz z z zx x x x xyxyxyxy xzxzxzxz x x x x z z z z yxyxyxyx yzyzyzyz zxzxzxzx zyzyzyzy y y y yA A A AB B B BC C C CS=S=S=S=SySySySySzSzSzSzSzSzSzSz 设斜微分平面设斜微分
38、平面设斜微分平面设斜微分平面ABCABCABCABC是主平面，是主平面，是主平面，是主平面，0 0 0 0，全应力，全应力，全应力，全应力S S S S，则，则，则，则SxSxSxSxScos(N,x)=lScos(N,x)=lScos(N,x)=lScos(N,x)=lSySySySyScos(N,y)=mScos(N,y)=mScos(N,y)=mScos(N,y)=mSzSzSzSzScos(N,z)=nScos(N,z)=nScos(N,z)=nScos(N,z)=n根据静力平衡条件根据静力平衡条件根据静力平衡条件根据静力平衡条件将式子矩阵表示如下将式子矩阵表示如下将式子矩阵表示如下将
39、式子矩阵表示如下根据齐次方程求解法，可知行列式根据齐次方程求解法，可知行列式根据齐次方程求解法，可知行列式根据齐次方程求解法，可知行列式有非零解，才可满足题目要求有非零解，才可满足题目要求有非零解，才可满足题目要求有非零解，才可满足题目要求所以，可得所以，可得所以，可得所以，可得化简化简化简化简（应力状态方程）（应力状态方程）（应力状态方程）（应力状态方程）结论结论结论结论：该方程有：该方程有：该方程有：该方程有3 3 3 3个实根，即个实根，即个实根，即个实根，即3 3 3 3个个个个主应力主应力主应力主应力，用，用，用，用、表示表示表示表示1 1 1 12 2 2 23 3 3 32.2.
40、2.2.应力张量不变量应力张量不变量应力张量不变量应力张量不变量应力状态方程中应力状态方程中应力状态方程中应力状态方程中J1J1J1J1、J2J2J2J2、J3J3J3J3分别为应力张量的分别为应力张量的分别为应力张量的分别为应力张量的第一、第二、第第一、第二、第第一、第二、第第一、第二、第三三三三不变量。不变量。不变量。不变量。对于一个对于一个对于一个对于一个确定的应力状态确定的应力状态确定的应力状态确定的应力状态，根据张量不变量的定义，只有，根据张量不变量的定义，只有，根据张量不变量的定义，只有，根据张量不变量的定义，只有一组一组一组一组主应力主应力主应力主应力，其，其，其，其大小、方向大
41、小、方向大小、方向大小、方向是是是是不随坐标系变化不随坐标系变化不随坐标系变化不随坐标系变化的。的。的。的。斜微分平面上应力分量化简为斜微分平面上应力分量化简为斜微分平面上应力分量化简为斜微分平面上应力分量化简为取主应力方向为坐标轴，取主应力方向为坐标轴，取主应力方向为坐标轴，取主应力方向为坐标轴，则应力张量则应力张量则应力张量则应力张量ijijijij为为为为对于对于对于对于x x1 1,y y1 1,z z1 1对于对于对于对于x x2 2,y y2 2,z z2 2坐标系坐标系坐标系坐标系1 1 1 1坐标系坐标系坐标系坐标系2 2 2 2 应力张量不变量可化为应力张量不变量可化为应力张
42、量不变量可化为应力张量不变量可化为根据应力张量不变量的性质，可以通过应力张量不变量来根据应力张量不变量的性质，可以通过应力张量不变量来根据应力张量不变量的性质，可以通过应力张量不变量来根据应力张量不变量的性质，可以通过应力张量不变量来判断判断判断判断应力状态是否相同。例，应力状态是否相同。例，应力状态是否相同。例，应力状态是否相同。例，求下列应力张量不变量，求下列应力张量不变量，3.3.应力椭球面和主应力图应力椭球面和主应力图 应力椭球面的实质是点的应力状态几何描述。应力椭球面的实质是点的应力状态几何描述。因为因为可得可得变换变换（椭球面方程）（椭球面方程）1 1 1 12 2 2 23 3
43、3 3S S S SS S S S1 1 1 1S S S S2 2 2 2S S S S3 3 3 3 对于应力椭球面来对于应力椭球面来对于应力椭球面来对于应力椭球面来说，说，说，说，1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3是其是其是其是其主半轴长度主半轴长度主半轴长度主半轴长度单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态 点点点点平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态 椭圆或圆椭圆或圆椭圆或圆椭圆或圆轴对称应力状态轴对称应力状态轴对称应力状态轴对称应力状态 旋转椭球面旋转椭球面旋转椭球面旋转椭球面球应力状态球应力状态球应力状态球应力状态 球面球面球面球面 2 2 1 1
44、 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 34 4 4 4、主应力图、主应力图、主应力图、主应力图存在九种主应力状态，主存在九种主应力状态，主存在九种主应力状态，主存在九种主应力状态，主应力状态的不同对金属的应力状态的不同对金属的应力状态的不同对金属的应力状态的不同对金属的塑性有一定影响。塑性有一定影响。塑性有一定影响。塑性有一定影响。单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态 纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态 平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态 轴对称应力状态轴对称应力状态轴对称应力状态轴对称应力状态 球应力状态球应力状态球应力状态球应力状态
45、一般应力状态一般应力状态一般应力状态一般应力状态 总结和讨论：总结和讨论：总结和讨论：总结和讨论：1 1 1 1、可以证明，在应力空间，、可以证明，在应力空间，、可以证明，在应力空间，、可以证明，在应力空间，主应力平面主应力平面主应力平面主应力平面是存在的；是存在的；是存在的；是存在的；2 2 2 2、三个主平面是、三个主平面是、三个主平面是、三个主平面是相互正交相互正交相互正交相互正交的；的；的；的；3 3 3 3、三个、三个、三个、三个主应力均为实根主应力均为实根主应力均为实根主应力均为实根，不可能为虚根；，不可能为虚根；，不可能为虚根；，不可能为虚根；4 4 4 4、应力特征方程的解是唯
46、一的应力特征方程的解是唯一的应力特征方程的解是唯一的应力特征方程的解是唯一的；5 5 5 5、对于给定的应力状态，、对于给定的应力状态，、对于给定的应力状态，、对于给定的应力状态，应力不变量应力不变量应力不变量应力不变量也具有也具有也具有也具有唯一性唯一性唯一性唯一性；6 6 6 6、应应应应力力力力第第第第一一一一不不不不变变变变量量量量J J J J1 1 1 1反反反反映映映映变变变变形形形形体体体体体体体体积积积积变变变变形形形形的的的的大大大大小小小小，与与与与塑塑塑塑性变形无关性变形无关性变形无关性变形无关；J J J J3 3 3 3也也也也与塑性变形无关与塑性变形无关与塑性变形
47、无关与塑性变形无关；J J J J2 2 2 2与塑性变形有关与塑性变形有关与塑性变形有关与塑性变形有关；7 7 7 7、应应应应力力力力不不不不变变变变量量量量不不不不随随随随坐坐坐坐标标标标而而而而改改改改变变变变，是是是是确确确确定定定定点点点点的的的的应应应应力力力力状状状状态态态态异异异异同的判据。同的判据。同的判据。同的判据。J J J J1 1 1 115151515，J J J J2 2 2 2 60606060，J J J J3 3 3 3 54545454 ijijijij ,1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3代入方程代入方程代入方程代入方程求方向求方向求方向求
48、方向例例例例 求主应力求主应力求主应力求主应力?因式分解法因式分解法因式分解法因式分解法，卡尔丹公式卡尔丹公式卡尔丹公式卡尔丹公式五、主切应力和最大切应力五、主切应力和最大切应力五、主切应力和最大切应力五、主切应力和最大切应力 切应力达到切应力达到切应力达到切应力达到极值极值极值极值的的的的平面平面平面平面称为称为称为称为主切应力平面主切应力平面主切应力平面主切应力平面，其平面上作用，其平面上作用，其平面上作用，其平面上作用的切应力称为的切应力称为的切应力称为的切应力称为主切应力主切应力主切应力主切应力取应力主轴为坐标轴，则切应力公式为取应力主轴为坐标轴，则切应力公式为取应力主轴为坐标轴，则切
49、应力公式为取应力主轴为坐标轴，则切应力公式为因因因因 ，代入公式，得，代入公式，得，代入公式，得，代入公式，得对对对对l l l l、m m m m求一阶偏导，求极值求一阶偏导，求极值求一阶偏导，求极值求一阶偏导，求极值分析讨论分析讨论分析讨论分析讨论1)1)1)1)l l l lm m m m0 0 0 0，n n n n1 1 1 1，第一组解，第一组解，第一组解，第一组解，切应力为切应力为切应力为切应力为0 0 0 0；2 2 2 2）11112 2 2 2 3 3 3 3，0000，无解无解无解无解；3 3 3 3）12 12 12 12 3 3 3 3，则，则，则，则l l l l
50、1/21/21/21/2，所有与，所有与，所有与，所有与1111成成成成45454545（或（或（或（或135135135135）的的的的平面平面平面平面都是都是都是都是主切平面主切平面主切平面主切平面；4 4 4 4）一般情况，）一般情况，）一般情况，）一般情况，12 3 12 3 12 3 12 3 a.l0a.l0a.l0a.l0，m0m0m0m0，则，则，则，则11112 2 2 2，条件不符合，条件不符合，条件不符合，条件不符合，无解无解无解无解；b.lb.lb.lb.l0 0 0 0，m0 m0 m0 m0，斜微分平面始终垂直于，斜微分平面始终垂直于，斜微分平面始终垂直于，斜微分平