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1、高等量子力学2010年9月-2011年1月Advanced Quantum Mechanics Advanced Quantum Mechanics 1参考书目参考书目教材教材喀兴林，高等量子力学喀兴林，高等量子力学（第二版），高教社（第二版），高教社中文参考书目中文参考书目曾谨言，量子力学（卷曾谨言，量子力学（卷I，II）倪光炯，高等量子力学倪光炯，高等量子力学张永德，高等量子力学（上、下册）张永德，高等量子力学（上、下册）狄拉克，量子力学原理狄拉克，量子力学原理2一些英文参考书P A M Dirac,The Principles of Quantum MechanicsJ J Sakura
2、i,Modern Quantum MechanicsR Shankar,Principles of quantum mechanicsC Cohen-Tannoudji,Quantum Mechanics,Vol 1 and 23理论物理丛书费曼，费曼，费曼物理学讲义费曼物理学讲义，共三卷，共三卷吴大猷，理论物理，共七册吴大猷，理论物理，共七册古典动力学古典动力学、量子论与原子结构量子论与原子结构；电磁学电磁学；狭义相对；狭义相对论及广义相对论；论及广义相对论；热力学、气体运动论及统计物理学热力学、气体运动论及统计物理学；量子力学（甲部）量子力学（甲部）；量子力学（乙部）；量子力学（乙部）朗道
3、，理论物理学教程，共十册朗道，理论物理学教程，共十册力学力学；场论；场论；量子力学（非相对论部分）量子力学（非相对论部分）；量子电动；量子电动力学；力学；统计物理学统计物理学 I；流体力学；弹性理论；连续介质；流体力学；弹性理论；连续介质电动力学；电动力学；统计物理学统计物理学 II（凝聚态理论）（凝聚态理论）；物理动理；物理动理学学4学习意义学习意义现代科学的基础现代科学的基础量子力学量子力学相对论：局限于高速相对论：局限于高速量子力学是从事一切研究工作的基础量子力学是从事一切研究工作的基础量子力学的内容量子力学的内容非相对论理论非相对论理论相对论理论相对论理论不涉及粒子数的变化不涉及粒子数
4、的变化量子场论量子场论本课程不讨论量子力学诠释方面的问题本课程不讨论量子力学诠释方面的问题5学习意义学习意义高等量子力学高等量子力学在在量子力学量子力学的基础上系统深的基础上系统深入地学习量子力学的入地学习量子力学的基本概念基本概念，后来发展，后来发展起来的起来的新的方法和概念新的方法和概念二次量子化二次量子化路径积分路径积分角动量与张量理论角动量与张量理论相对论量子力学相对论量子力学形式散射理论形式散射理论6量子力学是研究生的第一门课量子力学是研究生的第一门课 学会学会 自自 学学 学会学会 专业英语专业英语为学习转型打基础为学习转型打基础为后续课程和研究工作服务为后续课程和研究工作服务高等
5、量子力学，高等量子力学，高等高等在何处？在何处？直接提出基本原理，进行逻辑推理，形成严密的科学体系。直接提出基本原理，进行逻辑推理，形成严密的科学体系。要会忘记，一切从头来要会忘记，一切从头来 内容更深入、更全面。内容更深入、更全面。相干态、半经典近似、散射形式理论、等等。相干态、半经典近似、散射形式理论、等等。7课程要求及时复习和补习有关的及时复习和补习有关的物理物理与与数学数学知识知识认真阅读教材及参考材料，认真阅读教材及参考材料，推导推导相关的相关的数数学公式学公式，讨论其，讨论其物理意义物理意义，掌握基本概念，掌握基本概念通过作一定数量的习题掌握基本的方法和通过作一定数量的习题掌握基本
6、的方法和技巧技巧培养良好的学习习惯培养良好的学习习惯关心最新前沿发展关心最新前沿发展8课程内容课程内容1希尔伯特空间希尔伯特空间2量子力学的理论结构量子力学的理论结构3狄拉克方程狄拉克方程4对称性理论对称性理论5角动量理论角动量理论6散射理论散射理论7二次量子化二次量子化8辐射的量子理论辐射的量子理论9第一章第一章 希尔伯特空间希尔伯特空间矢量空间矢量空间（Vecter Space）算符算符（Operaters）本征矢量和本征值本征矢量和本征值（Eigenvectors and Eigenvalues）表象理论表象理论（Theory of Representation）矢量空间的直和直积矢量空
7、间的直和直积（Direct Summation and Direct Product of Vecter Space）10希尔伯特空间希尔伯特空间以德国数学家大卫以德国数学家大卫希尔伯特的名字命名希尔伯特的名字命名希尔伯特在对积分方程的研究中研究了希尔伯特希尔伯特在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间空间冯冯诺伊曼在其诺伊曼在其1929年的著作中，最早使用了年的著作中，最早使用了【希尔伯特空间希尔伯特空间】这个名词这个名词量子力学理论的公式化量子力学理论的公式化冯冯诺伊曼与希尔伯特诺伊曼与希尔伯特 郎道郎道维格纳维格纳外尔外尔1931年出版的著作年出版的著作群与量子力学的理论群与量子力学的理论
8、中就使用这一名词中就使用这一名词11量子力学量子力学经典力学经典力学坐标空间坐标空间位形空间位形空间相空间相空间希尔伯特空间希尔伯特空间121.1 矢量空间定义（定义（Definitions）正交性和模（正交性和模（Normalization and Moduli）基矢（基矢（Basic Vecters）子空间（子空间（Subspace）右矢和左矢（右矢和左矢（Bras and Kets）13数学对象数学对象实数、复数、有向实数、复数、有向线段、或者物理量线段、或者物理量一、一、定义定义讨论对象讨论对象抽象化抽象化矢量矢量矢量空间矢量空间运算规则运算规则满足一定运算规则的数学对象的集合满足一定
9、运算规则的数学对象的集合加法、数乘、内积加法、数乘、内积运算规则：运算规则：14加法：加法：加法满足的条件：加法满足的条件：条件条件(1)：交换律：交换律条件条件(2)：结合律：结合律条件条件(3)：加法单元存在：加法单元存在条件条件(4)：加法逆元存在：加法逆元存在O 称为零矢量称为零矢量15数乘：数乘：数乘满足的条件：数乘满足的条件：条件条件(5)：条件条件(6)：结合律：结合律条件条件(7)：第一分配率：第一分配率条件条件(8)：第二分配率：第二分配率a为实数：实数域上的矢量空间为实数：实数域上的矢量空间a为复数：复数域上的矢量空间为复数：复数域上的矢量空间16内积：内积：内积满足的条件
10、：内积满足的条件：条件条件(9)：条件条件(10)：分配率：分配率条件条件(11)：条件条件(12)：对任意对任意 成立；若成立；若则必有则必有17矢量空间：矢量空间：具有加法和数乘两种运算并满足条件具有加法和数乘两种运算并满足条件(1)(8)的集合称为的集合称为矢量空间矢量空间或者或者线性空线性空间间内积空间：内积空间：具有加法、数乘和内积三种运算的空间具有加法、数乘和内积三种运算的空间希尔伯特空间：希尔伯特空间：完全的内积空间完全的内积空间空间的完性：空间的完性：空间中任意在空间中任意在Cauchy意义下收敛的序列意义下收敛的序列的极限也必须在本空间中。的极限也必须在本空间中。给定任意小的
11、实数给定任意小的实数有数有数N存在，当存在，当 时时有有18矢量空间的性质：矢量空间的性质：(1)在矢量空间中，零矢量是唯一的。在矢量空间中，零矢量是唯一的。(2)每个矢量的逆元是唯一的每个矢量的逆元是唯一的(3)(4)(5)(6)如果如果那么那么或者或者(7)(8)(9)19矢量空间的例子：矢量空间的例子：(1)数学对象数学对象：所有正负有理数和零：所有正负有理数和零加法加法：算数加法：算数加法数乘数乘：算数乘法，数：算数乘法，数 a 限于所有有理数限于所有有理数内积内积：两个因子的算数乘法：两个因子的算数乘法(2)数学对象数学对象：三维空间中的位置矢量：三维空间中的位置矢量加法加法：服从平
12、行四边形法则：服从平行四边形法则数乘数乘：数：数 a 是实数是实数内积内积：两个矢量的点乘：两个矢量的点乘20(3)数学对象数学对象：一组有序的复数：一组有序的复数加法、数乘和内积的定义加法、数乘和内积的定义：21(4)数学对象数学对象：加法加法：代数加法：代数加法在在 区间定义的实变量区间定义的实变量x的行为较好的的行为较好的复函数复函数f(x)全体，而且都是平方可积的全体，而且都是平方可积的数乘数乘：代数乘法：代数乘法内积内积：函数空间函数空间22二、二、正交性和模正交性和模矢量正交：矢量正交：矢量的模方：矢量的模方：矢量的模：矢量的模：模方的正平方根模方的正平方根归一化的矢量：归一化的矢
13、量：模等于模等于1的矢量的矢量Schwartz不等式：对于任意矢量不等式：对于任意矢量 和和，有，有23Schwartz不等式：对于任意矢量不等式：对于任意矢量 和和，有，有证明：证明：给定矢量给定矢量 和和 后，构造一个矢量后，构造一个矢量 24由于由于所以所以即即三角形不等式：对于任意矢量三角形不等式：对于任意矢量 和和，有，有证明：证明：于是有于是有证毕证毕证毕证毕25三、三、基矢基矢1.线性无关线性无关对于矢量空间中的对于矢量空间中的n个矢量的集合个矢量的集合 ，若，若只有当全部复数只有当全部复数 都为零时才成立都为零时才成立则这则这n个矢量个矢量 是是线性无关线性无关的。的。线性相关
14、线性相关只要有一组不全为零的复数只要有一组不全为零的复数 存在，使得上式成立存在，使得上式成立则这则这n个矢量个矢量 是是线性相关线性相关的。的。一组不包含零矢量的线性相关矢量中的任何一个都一组不包含零矢量的线性相关矢量中的任何一个都可以表示成其余矢量的线性叠加。可以表示成其余矢量的线性叠加。26 2.完全集：完全集：一个矢量空间中的一个线性无关的矢量集合一个矢量空间中的一个线性无关的矢量集合这个空间中的每一个矢量都可以表示为此矢量集合这个空间中的每一个矢量都可以表示为此矢量集合的线性叠加，即的线性叠加，即则这个线性无关的矢量集合成为一组则这个线性无关的矢量集合成为一组完全集完全集。为一组复数
15、为一组复数3.有限维空间有限维空间 定理：定理：在有限维空间内各种不同的完全集中所含的在有限维空间内各种不同的完全集中所含的矢量的数目是相同的。矢量的数目是相同的。矢量的数目称为矢量空间的矢量的数目称为矢量空间的维数维数274.基矢：基矢：一个矢量空间中的完全集，如果其中的每一个矢量一个矢量空间中的完全集，如果其中的每一个矢量都是归一的，并且各个矢量两两相互正交，这样一都是归一的，并且各个矢量两两相互正交，这样一组完全集成为这个矢量空间的一个组完全集成为这个矢量空间的一个基矢组基矢组，或一组，或一组基矢。基矢。n维空间的一组基矢的正交归一性质可以表示为维空间的一组基矢的正交归一性质可以表示为5
16、.Schmidt正交化方法正交化方法已知已知n维空间的一组不满足正交归一化的完全集维空间的一组不满足正交归一化的完全集现在由此来求此空间的一组基矢现在由此来求此空间的一组基矢正交归一的完全集正交归一的完全集28（1）取）取 为归一化的为归一化的 ：步骤：步骤：（2）取）取 选择选择使得使得（3）取）取 取取 为归一化的为归一化的 ：选择选择使得使得取取 为归一化的为归一化的 ：取取 为归一化的为归一化的 ：29（4）如此继续下去，若已找到）如此继续下去，若已找到m个个，即，即则则而而最后，总可以找到一组基矢最后，总可以找到一组基矢306.完全性定理：完全性定理：如果如果 是矢量空间中的一组是矢
17、量空间中的一组n个正交归一个正交归一的矢量，则下面四个命题是相互等价的：的矢量，则下面四个命题是相互等价的：是空间一组基矢，即空间是是空间一组基矢，即空间是n维的维的（1）（2）对空间中一切矢量对空间中一切矢量 成立成立（3）对空间中一切矢量对空间中一切矢量 和和 成立成立Parseval等式等式（4）对空间中一切矢量对空间中一切矢量 成立成立31四、子空间四、子空间一个矢量空间一个矢量空间R，若其中一个矢量的集合，若其中一个矢量的集合S在原空在原空间的运算定义下又构成一个矢量空间，则间的运算定义下又构成一个矢量空间，则S称为称为R的的子空间子空间R可以称为可以称为大空间大空间大空间中与子空间
18、中所有矢量都正交的矢量全体，大空间中与子空间中所有矢量都正交的矢量全体，构成的矢量空间，称为构成的矢量空间，称为S的的补空间补空间补空间的维数为补空间的维数为32矢量空间中的两个矢量矢量空间中的两个矢量 和和 的内积的内积对于对于右因子右因子 是线性的是线性的对于对于左因子左因子 是反线性的是反线性的狄拉克引入一种记号：狄拉克引入一种记号：右因子右因子右矢右矢左因子左因子右矢右矢五、右矢和左矢五、右矢和左矢内积内积狄拉克记号狄拉克记号33单一空间：矢量空间，元素满足加法、数乘和内积单一空间：矢量空间，元素满足加法、数乘和内积右矢空间右矢空间：加法和数乘满足条件（：加法和数乘满足条件（1）（8）
19、条件条件(1)：交换律：交换律条件条件(2)：结合律：结合律条件条件(3)：加法单元存在：加法单元存在条件条件(4)：加法逆元存在：加法逆元存在34条件条件(5)：条件条件(6)：条件条件(7)：条件条件(8)：左矢空间左矢空间：内积的定义：内积的定义：条件条件(9)：条件条件(10)：条件条件(11)：条件条件(12)：对任意对任意 成立；若成立；若则必有则必有和和35关于右矢和左矢的两条定理关于右矢和左矢的两条定理定理定理1：若三个右矢：若三个右矢满足满足则在左矢空间中与之对应的则在左矢空间中与之对应的必亦满足必亦满足定理定理2：若二右矢：若二右矢满足满足则在左矢空间中与之对应的则在左矢空间中与之对应的必满足必满足注意左矢和右矢的对应关系注意左矢和右矢的对应关系36单一空间的基矢单一空间的基矢左矢空间的基左矢左矢空间的基左矢右矢空间的基右矢右矢空间的基右矢37