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1、 Chap2 3函数的连续性函数的连续性一、函数连续的定义 函数 f(x)在x0的极限存在与否和 f(x)在x0有无定义无关，有时候，f(x)在x0的极限恰好等于f(x0),这时引进定义1 设 f:U(x0)R,且此时x0称为 f(x)的连续点.若 f(x)在x0不连续,则称 f(x)在x0间断,此时x0称为 f(x)的间断点.连续的三要素:f(x0)和 都存在,且两者相等.“”表述：f(x)在x0连续 0,0,当|x x0|时,|f(x)f(x0)|0,使f(x)在U(x0,)有 界.三、函数连续的性质 局部保号性 若f(x)在x0连续，且 f(x0)0，则 0,xU(x0,)有|f (x)
2、|f (x0)|/2.局部不等式性 若 f(x),g(x)在x0连 续,且 f(x0)0,x U(x0,)有 f(x)g(x).定理(零值性)若 f Ca,b,且 f(a)f(b)0,则(a,b),使得 f()=0.定理(介值性)若 f Ca,b,且f(a)0,0,x,xE且|x x|0,0,x,xE且|x x|0及xn,xnE:limn|xn xn|=0,但 叙述“f 在x0连续的Cauchy准则”！例例14 设f(x)=ax+b,证明 f U.C(R).例例15 说明f(x)=在(0,1)内不一致连续.一致连续的充要条件1.定理(Cantor)f Ca,b f U.Ca,b.2.定理 设 f C(a,b),则 f U.C(a,b)f(a+0)及f(b0)存在.(见习题30)充分性显然，必要性见第三章3.设I为区间,则f U.C(I)按定义验证4.设I为区间,则f U.C(I)xn,xn I,且5.设I为有界区间,则 f U.C(I)xn I为Cauchy列,则f(xn)也为Cauchy列.必要性按定义验证，充分性用反证法必要性按定义验证，充分性见第三章习题3.1(9)