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1、1.5 连 续 函 数一一.函函 数数 的的 连连 续续定义定义1 1（增量式定义）（增量式定义）例例1 1证证定义定义2 2定理定理例例2 2 讨论下列函数在指定点的连续性：讨论下列函数在指定点的连续性：右不连续右不连续 左连续左连续 解解(函数在区间的连续性函数在区间的连续性)连续函数的图形是一条连续不断的曲线连续函数的图形是一条连续不断的曲线.定义定义3 3例例3 3证证例例4 4证证二二.间断点及其分类间断点及其分类义义第第 一一 类类 间间 断断 点点特点特点:第第 二二 类类 间间 断断 点点例例5 5解解解解解解解解解解三三.连续函数的运算连续函数的运算(四则运算四则运算)定理定
2、理1 1（证明从略）（证明从略）在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .(反函数的连续性反函数的连续性)定理定理2 2（证明略）（证明略）在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .结论：结论：常值函数、有理函数、三角函数、常值函数、有理函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数在其反三角函数、指数函数、对数函数在其定定义域区间义域区间上都连续上都连续 .(复合函数的连续性复合函数的连续性)定理定理3 3极限符号可以进入到连续函数的函数符号极限符号可以进入到连续函数的函数符号内，它对
3、求复合函数的极限是很有用的内，它对求复合函数的极限是很有用的.（证明略）（证明略）一般结论：一般结论：四四.初初 等等 函函 数数 的的 连连 续续 性性 结论：结论：初等函数在其初等函数在其定义域区间定义域区间上连续上连续 .基本初等函数：基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函常值函数、幂函数、指数函 其其定义域区间定义域区间上都连续上都连续 .、反三角函数在、反三角函数在 函数、对数函数、三角函数函数、对数函数、三角函数 注意：注意：1.初等函数仅在其初等函数仅在其定义域区间定义域区间上上连续连续,例如：例如：函数在这些函数在这些孤立点孤立点的空心邻域内没有定义的空心邻域内没有定义，因此在这些因此在这些孤立点无法讨论其连续性孤立点无法讨论其连续性.在其在其定义域定义域内内不一定连续不一定连续.又如：又如：函数在函数在 0 点点的空心邻域内没有定义的空心邻域内没有定义，因此在，因此在 0 点无法讨论其连续性点无法讨论其连续性；例例6 6例例7 7解解(i)(ii)