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1、平行四边形性质和判定综合习题精选平行四边形性质和判定综合习题精选一解答题（共 30 小题） 1如图所示，AECF 的对角线相交于点 O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF 交于 B，D 求证：四边形 ABCD 是平行四边形2 如图，已知，ABCD 中，AE=CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点 求证：四边形 MFNE 是平行四边形3 如图，平行四边形 ABCD，E、F 两点在对角线 BD 上，且 BE=DF，连接 AE，EC，CF，FA 求证：四边形 AECF 是平行四边形4在ABCD 中，分别以 AD、BC 为边向内作等边ADE 和等边BCF，连接 BE、DF求证：四边形 BEDF 是
2、平行四边形5 已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC 交 BD 于点 O，四边形 AODE 是平行四边形求证：四边形 ABOE、四边形 DCOE 都是平行四边形6 如图：ABCD 中，MNAC，试说明 MQ=NP7 已知：如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 经过点 O 并且分别和 AB，CD 相交 于点 E，F，点 G，H 分别为 OA，OC 的中点求证：四边形 EHFG 是平行四边形8 如图，已知在ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，BE=DF，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上， 且 AG=CH，连接 GE、EH、HF、FG求
3、证：四边形 GEHF 是平行四边形；9如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上，EFB=60，DC=EF 求证：四边形 EFCD 是平行四边形；答案与评分标准 一解答题（共 30 小题） 1 （2011资阳）如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，AEBD 于 E，CFBD 于 F （1）求证：BE=DF； （2）若 M、N 分别为边 AD、BC 上的点，且 DM=BN，试判断四边形 MENF 的形状（不必说明理由） 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明ABECDF 即可得到 BE=DF； （2）
4、根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形 MENF 的形状 解答：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ABCD， ABD=CDB， AEBD 于 E，CFBD 于 F， AEB=CFD=90， ABECDF（AAS ） ， BE=DF； （2）四边形 MENF 是平行四边形 证明：有（1）可知：BE=DF， 四边形 ABCD 为平行四边行， ADBC， MDB=MBD， DM=BN， DNFBNE， NE=MF，MFD=NEB， MFE=NEF， MFNE， 四边形 MENF 是平行四边形点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和
5、全等三角形的判定以及全等三角形的性质2 （2011昭通）如图所示，AECF 的对角线相交于点 O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF 交于 B，D 求证：四边形 ABCD 是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形解答：证明：四边形 AECF 是平行四边形 OE=OF，OA=OC，AECF， DFO=BEO，FDO=EBO， FDOEBO， OD=OB， OA=OC， 四边形 ABCD 是平行四边形 点评：本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性质3 （201
6、1徐州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F （1）求证：ABECDF； （2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：（1）由 BF=DE，可得 BE=CF，由 AEBD，CFBD，可得AEB=CFD=90，又由 AB=CD，在直角 三角形中利用 HL 即可证得：ABECDF； （2）由ABECDF，即可得ABE=CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得 ABCD，又由 AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形 AB
7、CD 是平行四边形，则可 得 AO=CO 解答：证明：（1）BF=DE，BFEF=DEEF，即 BE=DE， AEBD，CFBD， AEB=CFD=90， AB=CD， RtABERtCDF（HL） ；（2）ABECDF， ABE=CDF， ABCD， AB=CD， 四边形 ABCD 是平行四边形， AO=CO点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意 数形结合思想的应用4 （2011铜仁地区）已知：如图，在ABC 中，BAC=90，DE、DF 是ABC 的中位线，连接 EF、AD求 证：EF=AD考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定
8、理。 专题：证明题。 分析：由 DE、DF 是ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形 AEDF 是平行四边形，又 BAC=90，则可证得平行四边形 AEDF 是矩形，根据矩形的对角线相等即可得 EF=AD 解答：证明：DE，DF 是ABC 的中位线， DEAB，DFAC， 四边形 AEDF 是平行四边形， 又BAC=90， 平行四边形 AEDF 是矩形， EF=AD 点评：此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质此题综合性较强，但难度不 大，解题的关键是注意数形结合思想的应用5 （2011泸州）如图，已知 D 是ABC 的边 AB 上一点，CEAB，D
9、E 交 AC 于点 O，且 OA=OC，猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系，并加以证明考点：平行四边形的判定与性质。 专题：探究型。 分析：根据 CEAB，DE 交 AC 于点 O，且 OA=OC，求证ADOECO，然后求证四边形 ADCE 是平行四边 形，即可得出结论 解答：解：猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系是：平行且相等 证明：CEAB， DAO=ECO， OA=OC， ADOECO， AD=CE， 四边形 ADCE 是平行四边形，CDAE 点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证ADO ECO，然后可得证四边
10、形 ADCE 是平行四边形，即可得出结论6 （2010恩施州）如图，已知，ABCD 中，AE=CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点 求证：四边形 MFNE 是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的 条件为 M、N 分别是 DE、BF 的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“一组对边平行且相等的四边形 为平行四边形”来解决 解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，DAE=FCB， 又AE=CF，DAEBCF， DE=BF，AED=CFB 又M、N
11、分别是 DE、BF 的中点，ME=NF 又由 ABDC，得AED=EDC EDC=BFC，MENF 四边形 MFNE 为平行四边形 点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵 活地选择方法7 （2009永州）如图，平行四边形 ABCD，E、F 两点在对角线 BD 上，且 BE=DF，连接 AE，EC，CF，FA 求证：四边形 AECF 是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形 AECF 是平行四边形 解答：证明：连接 AC 交 BD 于点 O， 四边形 ABC
12、D 为平行四边形， OA=OC，OB=OD BE=DF，OE=OF 四边形 AECF 为平行四边形点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵 活地选择方法8 （2009来宾）在ABCD 中，分别以 AD、BC 为边向内作等边ADE 和等边BCF，连接 BE、DF求证： 四边形 BEDF 是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题。 分析：由题意先证DAE=BCF=60，再由 SAS 证DCFBAE，继而题目得证 解答：证明：四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB，AD=CB，DA
13、B=BCD 又ADE 和CBF 都是等边三角形， DE=BF，AE=CF DAE=BCF=60DCF=BCDBCF，BAE=DABDAE，DCF=BAE DCFBAE（SAS） DF=BE 四边形 BEDF 是平行四边形 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种 判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系9 （2006黄冈）如图所示，DBAC，且 DB= AC，E 是 AC 的中点，求证：BC=DE考点：平行四边形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边
14、形证明四边形 DBCE 是平行四边形，即可证明 BC=DE 解答：证明：E 是 AC 的中点，EC= AC，又DB= AC，DB=EC 又DBEC， 四边形 DBCE 是平行四边形 BC=DE 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种 判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系10 （2006巴中）已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动，到 D 点即停止点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动
15、，到 B 点即停止，直线 PQ 截梯形为两个 四边形问当 P，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？考点：平行四边形的判定与性质；梯形。 专题：动点型。 分析：若四边形 PDCQ 或四边形 APQB 是平行四边形，那么 QD=CQ 或 AP=BQ，根据这个结论列出方程就可 以求出时间 解答：解：设 P，Q 同时出发 t 秒后四边形 PDCQ 或四边形 APQB 是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24t，CQ=2t，BQ=302t（1）若四边形 PDCQ 是平行四边形，则 PD=CQ，24t=2tt=88 秒后四边形 PDCQ 是平行四边形；（2）若四边形 APQB 是平行四边
16、形，则 AP=BQ，t=302tt=1010 秒后四边形 APQB 是平行四边形点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应11 （2002三明）如图：已知 D、E、F 分别是ABC 各边的中点， 求证：AE 与 DF 互相平分考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。 专题：证明题。 分析：要证 AE 与 DF 互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形 ADEF 为平行四边形 解答：证明：D、E、F 分别是ABC 各边的中点，根据中位线定理知： DEAC，DE=AF， EFAB，EF=AD， 四边形 ADEF 为平行四边形 故 AE
17、 与 DF 互相平分 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键三角形的中位线的 性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据12已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC 交 BD 于点 O，四边形 AODE 是平行四边形求证：四边形 ABOE、四边形 DCOE 都是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：因为ABCD，OB=OD，又 AODE 是平行四边形，AE=OD，所以 AE=OB，又 AEOD，根据平行四边形 的判定，可推出四边形 ABOE 是平行四边形同理，也可推出四边形 DCOE 是平行四边形 解答：证明：ABCD 中，对角线
18、 AC 交 BD 于点 O， OB=OD， 又四边形 AODE 是平行四边形， AEOD 且 AE=OD， AEOB 且 AE=OB， 四边形 ABOE 是平行四边形， 同理可证，四边形 DCOE 也是平行四边形 点评：此题要求掌握平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形13如图，已知四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点，并且点 E、F、G、H 有在同一条直线上 求证：EF 和 GH 互相平分考点：平行四边形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：要证明 EF 和 GH 互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行
19、四边形的对角线 互相平分即可证明 解答：证明：连接 EG、GF、FH、HE，点 E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点在ABC 中，EG= BC；在DBC 中，HF= BC，EG=HF 同理 EH=GF 四边形 EGFH 为平行四边形 EF 与 GH 互相平分点评：本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平 行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区 别与联系14如图：ABCD 中，MNAC，试说明 MQ=NP考点：平行四边形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：先证 AMQC 为
20、平行四边形，得 AC=MQ，再证 APNC 为平行四边形，得 AC=NP，进而求解 解答：证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AMQC，APNC 又MNAC， 四边形 AMQC 为平行四边形，四边形 APNC 为平行四边形 AC=MQ AC=NP MQ=NP 点评：本题考查的知识点为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形15已知：如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 经过点 O 并且分别和 AB，CD 相交于点 E，F，点 G，H 分别为 OA，OC 的中点求证：四边形 EHFG 是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题：
21、证明题。 分析：要证四边形 EHFG 是平行四边形，需证 OG=OH，OE=OF，可分别由四边形 ABCD 是平行四边形和 OEBOFD 得出 解答：证明：如答图所示， 点 O 为平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点， OA=OC，OB=OD G，H 分别为 OA，OC 的中点，OG= OA，OH= OC，OG=OH又ABCD， 1=2 在OEB 和OFD 中， 1=2，OB=OD，3=4， OEBOFD， OE=OF 四边形 EHFG 为平行四边形点评：此题主要考查平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形16如图，已知在ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，
22、BE=DF，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上， 且 AG=CH，连接 GE、EH、HF、FG （1）求证：四边形 GEHF 是平行四边形； （2）若点 G、H 分别在线段 BA 和 DC 上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）先由平行四边形的性质，得 AB=CD，ABCD，根据两直线平行内错角相等得GBE=HDF再由 SAS 可证GBEHDF，利用全等的性质，证明GEF=HFE，从而得 GEHF，又 GE=HF，运用一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形得证 （2）
23、仍成立可仿照（1）的证明方法进行证明 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ABCD，GBE=HDF 又AG=CH，BG=DH 又BE=DF，GBEHDF GE=HF，GEB=HFD，GEF=HFE， GEHF，四边形 GEHF 是平行四边形（2）解：仍成立 （证法同上） 点评：本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形17如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC 延长线一点，过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延 长线交于点 F，连接 AE、CF （1）求证：AF=CE； （2）如果 AC=EF，且ACB=135，试判断四边
24、形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论考点：平行四边形的判定与性质；正方形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）由 AFEC，根据平行线的性质得到DFA=DEC，DAF=DCE，而 DA=DC，易证得DAF DCE，得到结论； （2）由 AFEC，AF=CE，根据平行四边形的判定得到四边形 AFCE 是平行四边形，再根据对角线相等即 AC=EF，可判断平行四边形 AFCE 是矩形，则FCE=CFA=90，通过ACB=135，可得到FCA=13590=45，则易判断矩形 AFCE 是正方形解答：（1）证明：AFEC， DFA=DEC，DAF=DCE， D 是 AC 的中点， DA=DC，
25、 DAFDCE， AF=CE；（2）解：四边形 AFCE 是正方形理由如下： AFEC，AF=CE， 四边形 AFCE 是平行四边形， 又AC=EF， 平行四边形 AFCE 是矩形， FCE=CFA=90， 而ACB=135，FCA=13590=45，FAC=45， FC=FA， 矩形 AFCE 是正方形 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形也考查了矩形、正 方形的判定方法18如图平行四边形 ABCD 中，ABC=60，点 E、F 分别在 CD、BC 的延长线上，AEBD，EFBF，垂足为 点 F，DF=2 （1）求证：D 是 EC 中点； （2）求
26、FC 的长考点：平行四边形的判定与性质。分析：（1）根据平行四边形的对边平行可以得到 ABCD，又 AEBD，可以证明四边形 ABDE 是平行四边形， 所以 AB=DE，故 D 是 EC 的中点； （2）连接 EF，则EFC 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到CDF 是等腰 三角形，再利用ABC=60推得DCF=60，所以CDF 是等边三角形，FC=DF，FC 的长度即可求出 解答：（1）证明：在平行四边形 ABCD 中， ABCD，且 AB=CD， 又AEBD， 四边形 ABDE 是平行四边形， AB=DE， CD=DE， 即 D 是 EC 的中点；（2）解：连接
27、 EF，EFBF， EFC 是直角三角形， 又D 是 EC 的中点， DF=CD=DE=2， 在平行四边形 ABCD 中，ABCD， ABC=60， ECF=ABC=60， CDF 是等边三角形， FC=DF=2 故答案为：2点评：本题主要考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的 判定，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键， （2）中连接 EF 构造出直角三角形比较重要19 （2010厦门）如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上，EFB=60，DC=EF （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=E
28、F，求证：AE=AD考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题。 分析：（1）由ABC 是等边三角形得到B=60，而EFB=60，由此可以证明 EFDC，而 DC=EF，然后即可 证明四边形 EFCD 是平行四边形； （2）如图，连接 BE，由 BF=EF，EFB=60可以推出EFB 是等边三角形，然后得到 EB=EF，EBF=60，而 DC=EF，由此得到 EB=DC，又 ABC 是等边三角形，所以得到ACB=60，AB=AC，然后即可证明AEBADC，利用全等三角形的性质就 证明 AE=AD解答：证明：（1）ABC 是等边三角形， ABC=60， EF
29、B=60， ABC=EFB， EFDC（内错角相等，两直线平行） ， DC=EF， 四边形 EFCD 是平行四边形；（2）连接 BE BF=EF，EFB=60， EFB 是等边三角形， EB=EF，EBF=60 DC=EF， EB=DC， ABC 是等边三角形， ACB=60，AB=AC， EBF=ACB， AEBADC， AE=AD点评：此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等 边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题20 （2010滨州）如图，四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点 （
30、1）请判断四边形 EFGH 的形状？并说明为什么； （2）若使四边形 EFGH 为正方形，那么四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的性质？考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的性质。 专题：证明题。 分析：（1）连接 AC，利用中位线定理即可证明四边形 EFGH 是平行四边形； （2）由于四边形 EFGH 为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形 ABCD 的 对角线应该互相垂直且相等 解答：解：（1）如图，四边形 EFGH 是平行四边形 连接 AC， E、F 分别是 AB、BC 的中点，EFAC，EF= AC同理 HGAC，EFHG，EF=HG EFGH
31、 是平行四边形；（2）四边形 ABCD 的对角线垂直且相等 假若四边形 EFGH 为正方形， 它的每一组邻边互相垂直且相等， 根据中位线定理得到四边形 ABCD 的对角线应该互相垂直且相等点评：此题主要考查了三角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知识21 （2008佛山）如图，ACD、ABE、BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形 （1）当 ABAC 时，证明：四边形 ADFE 为平行四边形； （2）当 AB=AC 时，顺次连接 A、D、F、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的 条件考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专
32、题：证明题。 分析：（1）要证明 ADEF 是平行四边形，可通过证明 EF=AD，DF=AE 来实现，AD=AC，AE=AB，那么只要 证明ABCDFC 以及FEBCAB 即可AD=DC，CF=CB，又因为FCB=ACD=60，那么都减去一个 ACE 后可得出BCA=FCD，那么就构成了 SAS，ABCDFC，就能求出 AE=DF，同理可通过证明 FEBCAB 得出 EF=AD （2）可按BAC 得度数的不同来分情况讨论，如果BAC=60，EAD+BAC+DAC=180，因此，A 与 F 重 合 A、D、F、E 四点所构成的图形为一条线段 当BAC60时，由（1）AE=AB=AC=AD，因此
33、A、D、F、E 四点所构成的图形是菱形 解答：（1）证明：ABE、BCF 为等边三角形， AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60 CBA=FBE ABCEBF EF=AC 又ADC 为等边三角形， CD=AD=AC EF=AD 同理可得 AE=DF 四边形 AEFD 是平行四边形（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段 当图形为菱形时，BAC60（或 A 与 F 不重合、ABC 不为正三角形） 当图形为线段时，BAC=60（或 A 与 F 重合、ABC 为正三角形） 点评：本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明 三
34、角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了22如图，以ABC 的三边为边，在 BC 的同侧分别作三个等边三角形即ABD、BCE、ACF，那么，四边 形 AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：探究型。 分析：由等边三角形的性质易得BEDBCA，CBACEF，从而得到 DE=FC=AF，AD=BC=EF，再由两 组对边相等的四边形是平行四边形得到四边形 AFED 是平行四边形 解答：解：四边形 AFED 是平行四边形 证明如下： 在BED 与BCA 中，BE=BC，BD=BA（均为同一等
35、边三角形的边）DBE=ABC=60EBABEDBCA（SAS） DE=AC 又AC=AFDE=AF 在CBA 与CEF 中，CB=CE，CA=CF ACB=FCE=60+ACECBACEF（SAS） BA=EF 又BA=DA，DA=EF 故四边形 AFED 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 点评：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细 选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法23 （2007黑龙江）在ABC 中，AB=AC，点 P 为ABC 所在平面内一点，过点 P 分别作 PEAC 交 AB 于点 E，PFAB
36、 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F若点 P 在 BC 边上（如图 1） ，此时 PD=0，可得结论： PD+PE+PF=AB 请直接应用上述信息解决下列问题： 当点 P 分别在ABC 内（如图 2） ，ABC 外（如图 3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成 立，PD，PE，PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明考点：平行四边形的性质。 专题：探究型。 分析：在图 2 中，因为四边形 PEAF 为平行四边形，所以 PE=AF，又三角形 FDC 为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即 PE+PD+PF=AC=AB，在图 3 中，PE=AF 可
37、证，FD=PFPD=CF，即 PFPD+PE=AC=AB解答：解：图 2 结论：PD+PE+PF=AB证明：过点 P 作 MNBC 分别交 AB，AC 于 M，N 两点， 由题意得 PE+PF=AM 四边形 BDPM 是平行四边形，MB=PD PD+PE+PF=MB+AM=AB， 即 PD+PE+PF=AB图 3 结论：PE+PFPD=AB点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键24 （2006大连）如图 1，P 为 RtABC 所在平面内任意一点（不在直线 AC 上） ，ACB=90，M 为 AB 边中 点操作：以 PA、PC 为邻边作平行四边形 P
38、ADC，连续 PM 并延长到点 E，使 ME=PM，连接 DE 探究： （1）请猜想与线段 DE 有关的三个结论； （2）请你利用图 2，图 3 选择不同位置的点 P 按上述方法操作； （3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图 2 或图 3 加以说明； （注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分） （4）若将“RtABC”改为“任意ABC”，其他条件不变，利用图 4 操作，并写出与线段 DE 有关的结论（直接 写答案） 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：探究型。 分析：连接 BE，根据边角边可证三角形 PA
39、M 和三角形 EBM 全等，可得 EB 和 PA 既平行又相等，而 PA 和 CD 既平行且相等，所以 DE 和 BC 平行相等，又 BCAC，所以 DE 也和 AC 垂直以下几种情况虽然图象有 所变化，但是证明方法一致 解答：解：（1）DEBC，DE=BC，DEAC（2）如图 4，如图 5（3）方法一： 如图 6， 连接 BE， PM=ME，AM=MB，PMA=EMB， PMAEMB PA=BE，MPA=MEB， PABE 平行四边形 PADC， PADC，PA=DC BEDC，BE=DC， 四边形 DEBC 是平行四边形 DEBC，DE=BC ACB=90， BCAC， DEAC方法二：
40、如图 7，连接 BE，PB，AE， PM=ME，AM=MB， 四边形 PAEB 是平行四边形 PABE，PA=BE， 余下部分同方法一：方法三： 如图 8，连接 PD，交 AC 于 N，连接 MN， 平行四边形 PADC，AN=NC，PN=ND AM=BM，AN=NC，MNBC，MN= BC又PN=ND，PM=ME，MNDE，MN= DEDEBC，DE=BC ACB=90， BCAC DEAC（4）如图 9，DEBC，DE=BC点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中25 （2005贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形 ABCD 分割成四个
41、部分，使含有 一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 无数 组； （2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 考点：平行四边形的性质。 专题：作图题。 分析：注意由于平行四边形是中心对称图形，故只要过它的对称中心画直线即可 解答：解：（1）无数； （2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可如图有： AE=BE=DF=CF，AM=CN （3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点） 点评：平行四边形是中心对称图形，
42、平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两 条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形26如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，BCD=Rt，AB=AD=10cm，BC=8cm点 P 从点 A 出发，以每 秒 3cm 的速度沿折线 ABCD 方向运动，点 Q 从点 D 出发，以每秒 2cm 的速度沿线段 DC 方向向点 C 运动已 知动点 P、Q 同时发，当点 Q 运动到点 C 时，P、Q 运动停止，设运动时间为 t （1）求 CD 的长； （2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，求四边形 PBQD 的周长；（3）在点 P、点 Q 的
43、运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ 的面积为 20cm2？若存在，请求出所有满足 条件的 t 的值；若不存在，请说明理由考点：平行四边形的性质；一元二次方程的应用；直角梯形。 专题：动点型。 分析：（1）过点 A 作 AMCD 于 M，根据勾股定理，可以求出 DM=6 所以 DC=16 （2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，如图示，由题可得：BP=103t，DQ=2t，所以可以列出方程 103t=2t，解得 t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在CBQ 中，根据勾股定理，求出 BQ 即可 （3）此题要分三种情况进行讨论：即当点 P 在
44、线段 AB 上，当点 P 在线段 BC 上，当点 P 在线段 CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定 t 的值 解答：解：（1）过点 A 作 AMCD 于 M， 根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，DM=6，CD=16；（2）当四边形 PBQD 为平行四边形时， 点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，如图，由题知：BP=103t，DQ=2t103t=2t，解得 t=2此时，BP=DQ=4，CQ=12四边形 PBQD 的周长=2（BP+BQ）=；（3）当点 P 在线段 AB 上时，即时，如图当点 P 在线段 BC 上时，即时，如图BP=3t10，CQ=162t化简得：3t234t+
45、100=0，=440，所以方程无实数解当点 P 在线段 CD 上时，若点 P 在 Q 的右侧，即 6t，则有 PQ=345t，6，舍去若点 P 在 Q 的左侧，即，则有 PQ=5t34，t=7.8综合得，满足条件的 t 存在，其值分别为，t2=7.8点评：本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行 解答27已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 O（0，0） 、A（2，0） 、B（1，1） ，则第四个顶点 C 的坐标是多 少？ 考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质。 专题：数形结合。分析：（1）当 BCOA，BC=OA 时，C 和 B 的纵坐标相
46、等，因为 OA=20=2；当 C 在 B 左边时，横坐标为12=1，当 C 在 B 右边时，横坐标为 1+2=3；（2）当 ABOC，AB=OC 时，由点 B 平移到点 A，是横坐标加 1，纵坐标减 1，那么由点 O 平移到 C 也应如此移动：0+1=1，01=1解答：解：当 BCOA，BC=OA 时，C 和 B 的纵坐标相等，若选择 AB 为对角线，则 C1（3，1） ；若选择 OB 为对角线，则 C2（1，1） ；当 ABOC，AB=OC 时，选择 OA 为对角线，则 C3（1，1） 故第四个顶点坐标是：C1（3，1） ，C2（1，1） ，C3（1，1） 点评：平行四边形也可以看作是由一条线段平移得到的图形28已知平行四边形 ABCD 的周长为 36cm，过 D 作 AB，BC 边上的高 DE、DF，且 cm，求平行四边形 ABCD 的面积考点：平行四边形的性质。 分析：对于同一个平行四边形面积是一定的，因此以 AB 为底，DE 为高或者以 BC 为底，DF 为高求出结果应 该是一致的又由题可知，AB 和 BC 之间存在和为 18 的关系，所以可列方程进行解答解答：解：设 AB=x