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1、o平面自然坐标系中的速度、加速度平面自然坐标系中的速度、加速度（Velocity and Acceleration in the Planar Natural Coordinates一一：曲率圆、曲率半径：曲率圆、曲率半径 O O圆称为曲率圆圆称为曲率圆注意注意 1）曲线上任一点曲线上任一点m处的弧元处的弧元d s就是该处就是该处曲率圆上的一小圆弧；或者说曲率圆上的一小圆弧；或者说一条曲线可以看一条曲线可以看。成许多半径不同的圆弧段组成成许多半径不同的圆弧段组成b1b2dsm 称为曲率半径称为曲率半径O O点称为曲率中心点称为曲率中心2022/12/27o 2)曲线越弯曲的地方，曲率半径越小。
2、直线的曲线越弯曲的地方，曲率半径越小。直线的 =定义曲率定义曲率含义含义：反映曲线弯曲：反映曲线弯曲 的程度的程度2022/12/27二）平面自然坐标系二）平面自然坐标系平面内一质点运动，若轨迹平面内一质点运动，若轨迹已知已知其质点运动方程为：其质点运动方程为：为表示矢量建立切向单位矢和法向单位矢为表示矢量建立切向单位矢和法向单位矢XYOO自然坐标的建立自然坐标的建立：选择坐标原点选择坐标原点O，选择坐标正方向选择坐标正方向 ，用用 的弧长度的弧长度S可表示质点的位置可表示质点的位置O2022/12/27三）三）平面自然坐标系中的速度平面自然坐标系中的速度O运动方程为运动方程为cO为瞬时速率为
3、瞬时速率2022/12/27三）三）平面自然坐标系中的速度平面自然坐标系中的速度OcO 有正负，自然坐标中的分量有正负，自然坐标中的分量与直角坐标相比：与直角坐标相比：注意注意:(二维二维平面）平面）结论结论：自然坐标中的速度大小等：自然坐标中的速度大小等于上式中于上式中 的绝对值，方向的绝对值，方向沿切线方向。沿切线方向。2022/12/27O中中四）平面自然坐标中的加速度四）平面自然坐标中的加速度 S+在在a点附近取点附近取 时间时间切向单位矢的增量为切向单位矢的增量为称为法向加速；称为法向加速；是变量是变量SO称为切向加速度称为切向加速度2022/12/27称为法向加速称为法向加速O中中
4、 S+SO2022/12/27称为切向加速称为切向加速切向加速度方向沿切向加速度方向沿切线方向，故平面切线方向，故平面自然坐标中加速度自然坐标中加速度为：为：O中中 S+SO2022/12/27S+s2022/12/27S+S讨论：讨论：2022/12/27讨论：讨论：A):直线运动中直线运动中（匀速直线运动）（匀速直线运动）；又若又若；X则：则：2022/12/27O讨论：讨论：b):圆周运动中圆周运动中又若又若（匀速圆周运动）（匀速圆周运动）2022/12/27例：例：一半径一半径R的滑轮绕的滑轮绕O轴运动，其上绕以绳索，轴运动，其上绕以绳索，绳索的一端挂一重物，已知重物按绳索的一端挂一重
5、物，已知重物按规律下降，求轮沿上一点规律下降，求轮沿上一点M的加速度（绳不伸的加速度（绳不伸长，与轮之间无相对滑动）长，与轮之间无相对滑动）已知：已知：R，求：求：设设M点在点在t=0时的初位置为时的初位置为解：解：建立自然坐标系建立自然坐标系则：运动方程：则：运动方程：SMOR2022/12/27运动方程运动方程SMOR2022/12/27注意注意：同一质点的加速度无论在直角坐标还是：同一质点的加速度无论在直角坐标还是自然坐标中总加速度自然坐标中总加速度 只能是一个值。只能是一个值。YYOOA作业：作业：康书康书1-8、1-10、1-11；1-16 大学物理习题集：大学物理习题集：p5-15
6、、p6-17*2022/12/27 质点圆周运动的角量描述质点圆周运动的角量描述Angle Description for a Particle Motion in a Circle 引入引入：很多物体作圆周运动：很多物体作圆周运动各点的速度各点的速度 加速度不同，用以往的速度加速度加速度不同，用以往的速度加速度描述不便，为此引入角量描述。描述不便，为此引入角量描述。+r nmH原子的玻尔模型原子的玻尔模型2022/12/27OX一）圆周运动的角量描述一）圆周运动的角量描述 1）角位置）角位置 （角坐标）（角坐标）圆心到质点圆心到质点 所在位置所在位置的连线与参考方向之的连线与参考方向之间的夹
7、角间的夹角a)一般规定逆时钟转动为正角位置；一般规定逆时钟转动为正角位置；(1)(1)1)式为用角量描述圆周运动的式为用角量描述圆周运动的运动方程运动方程b）角位置的单位角位置的单位 常用弧度（常用弧度（r a d）无量纲；无量纲；c）当当质点随时间在圆周上转动时，质点随时间在圆周上转动时，为时间的为时间的函数函数注意：注意：（先要规定参考方向）（先要规定参考方向）2022/12/272）角位移角位移（）质点在质点在 时间内质点转过的角度时间内质点转过的角度注意：注意：1）的单位为弧度的单位为弧度2）可以证明当）可以证明当 0时时 可以当作可以当作 一个矢量一个矢量 2与转动方向符合与转动方向
8、符合右手螺旋关系右手螺旋关系即定义了一个矢量即定义了一个矢量2022/12/273 3）角速度）角速度a）平均角速度平均角速度定义定义：注意注意：平均角速度不是矢量：平均角速度不是矢量b）瞬时角速度瞬时角速度定义：定义：2注意注意：与转动方向成右手缧与转动方向成右手缧 旋关系旋关系1）通常是画在坐标原点处。通常是画在坐标原点处。OO2022/12/272）单位单位注意注意：与转动方向成右手缧与转动方向成右手缧 旋关系旋关系1）通常是画在坐标原点处。通常是画在坐标原点处。4 4）角加速度）角加速度A）平均角加速度（平均角加速度（）定义：定义：OtT+t含义含义：反映一段时间内角速度变化快慢。：反
9、映一段时间内角速度变化快慢。2022/12/275）瞬时角加速度（）瞬时角加速度（）定义：定义：OtT+dtOtt+dt单位单位：方向方向：的极限方向的极限方向2022/12/27引入了角位置，角位移，角速度，角加速度，引入了角位置，角位移，角速度，角加速度，它们与位矢，速度，加速度一一对应。它们与位矢，速度，加速度一一对应。线量线量角量角量二）角量和线量的关系二）角量和线量的关系甲）角量、线量之间的数量关系甲）角量、线量之间的数量关系SROOS+以参考方向与轨迹交点以参考方向与轨迹交点O作自然坐标的原点作自然坐标的原点设质点作圆周运动设质点作圆周运动2022/12/27二）角量和线量的关系二
10、）角量和线量的关系甲）角量、线量之间的数量关系甲）角量、线量之间的数量关系1）自然坐标与角位置的关系）自然坐标与角位置的关系.(1)2)线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系.(2)3)线加速度的大小与角加速度的大小的关系线加速度的大小与角加速度的大小的关系.(3)SROOS+2022/12/273)线加速度的大小与角加速度的大小的关系线加速度的大小与角加速度的大小的关系.(3).(4).(5)SROOS+2022/12/27.(5)(6)SOS+Ro2022/12/27YXZoROm1)角速度与线速度的矢量关系角速度与线速度的矢量关系矢量关系矢量关系乙乙)在在中：中：2022/12/272
11、)角加速度与线加速度的矢量关系角加速度与线加速度的矢量关系YXZORm2022/12/27方向沿切向方向方向沿切向方向方向沿法向方向方向沿法向方向YXZORm2022/12/27I+bRaX+O介绍一下介绍一下双向标量双向标量：标量中有一类，它不同：标量中有一类，它不同于矢量可有空中任何的一个方向。但有非此于矢量可有空中任何的一个方向。但有非此即彼，非彼即此的两种可能的方向，如电流即彼，非彼即此的两种可能的方向，如电流强度强度 I。此种量称为此种量称为双向标量双向标量。这样的量可以通过规定正这样的量可以通过规定正方向用代数量的正负来表方向用代数量的正负来表示其实际方向。示其实际方向。有时当一个
12、矢量仅有两个非此即彼，非彼即此有时当一个矢量仅有两个非此即彼，非彼即此的方向时，也可当作双向标量处理。如一在直的方向时，也可当作双向标量处理。如一在直线上运动的质点的速度、加速度等线上运动的质点的速度、加速度等-I0I02022/12/27AX例：一刚体作定轴匀速转动（例：一刚体作定轴匀速转动（），求），求其上一质元运动方程。其上一质元运动方程。设：设：解：解：只有两种只有两种可能的方向，故当可能的方向，故当双向标量处理，设双向标量处理，设正方向如图。正方向如图。两边积分：两边积分：(1)A2022/12/27两边积分：两边积分：(2)(1).(2)式消去式消去t得得(3)AAX2022/12/27A(2)(3)(1)何其相似乃尔何其相似乃尔!AX2022/12/27